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2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.2矩形的性质与判定 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·禅城期末）菱形、矩形同时具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
2．（2021九上·毕节月考）下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
3．（2021九上·萍乡期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2021九上·毕节月考）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021九上·郑州月考）若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．对角线相等的四边形
C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形
6．（2021九上·北京开学考）如图， 、 、 分别是 各边中点，则以下说法中错误的是（ ）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是矩形
D．若 ，则四边形 是菱形
7．（2020九上·福州月考）如图， 是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点， ，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
8．（2021九上·陕西开学考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝BC＝4，D为边BC上一动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
9．（2020九上·深圳期中） ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC=BD C．∠A=∠B D．BC= CD
10．（2022·孝感）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC EF＝CF CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022·邵阳）已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为 .
12．（2021九上·兴宁期末）若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是 ．
13．（2021九上·禅城期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
14．（2021九上·黑山期中）M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足 时，四边形PEMF为矩形.
15．（2019九上·平遥月考）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 使平行四边形ABCD是矩形。
16．（2021九上·达州期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不相互垂直，不符合题意；
B、矩形对角线相等，菱形对角线不相等，不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线互相平分，符合题意；
D、矩形的四个角都为90°，菱形的对角相等，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形的性质：①对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角；②对边平行，四条边都相等；③对角相等，邻角互补；④菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形的性质：①对角线相等且互相平分；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对边平行且相等；④矩形形是轴对称图形，也是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AF，
根据折叠的性知AF=CF，AC⊥EF，OA=OC，由AD=2，CD=4，根据勾股定理可求得AC=，所以OC=，然后根据矩形的性质可得△COF∽△CDA，因此根据相似的性质可得，代入数值可得，可求得OF=，所以EF=2OF=．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再求出△COF∽△CDA，最后利用相似三角形的性质求解即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质可得∠FEH=90°，易得EF是三角形ABD的中位线，EH是三角形ACD的中位线，则EF∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质可得∠FEH=∠OMH=90°，∠OMH=∠COB=90°，据此判断.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】如图，连接EF
∵ 、 、 分别是 各边中点
∴EF∥BC，DF∥AB
∴四边形BEFD是平行四边形
同理：四边形EFCD、四边形AEDF都是平行四边形
∴ ，
∴
从而选项A、B均不符合题意；
∵四边形AEDF是平行四边形
当∠A=90°时，则四边形AEDF是矩形，C不符合题意；
若四边形 是菱形，则AE=AF
∴AB=AC
∵AB=BC
则△ABC是等边三角形，D符合题意
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判定即可。
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称的性质得出AC′=BC，BC′=AC，利用两组对边分别相等可证四边形ACBC′是平行四边形，由∠C=90°，可证平行四边形ACBC′是矩形．
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠AFD＝∠EDF＝∠AED＝90°，
∴四边形AFDE为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝BC＝4，
∴AF＝ ＝2 ，
∴DE的最小值为2 .
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得AE∥BC，故当DE⊥BC时，DE有最小值，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形AFDE为矩形，由矩形的性质可得DE＝AF，求出AF的值，据此可得DE的最小值.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD为矩形，A正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，B正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠B
∴∠A=∠B=90°
∴平行四边形ABCD为矩形，C正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，BC=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，D错误。
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理，计算得到答案即可。
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
，
四边形AECF是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC EF＝CF CD；故③不正确，
④四边形ABCD是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF.故④正确；
故答案为：B.
【分析】设AC与MN的交点为O，由作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据矩形以及平行线的性质可得∠EAO=∠OCF，证明△AOE≌△COF，得到AE=FC，推出四边形AECF是平行四边形，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，然后结合菱形的判定定理可判断①；根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠FAC，结合外角的性质可判断②；根据菱形的面积公式可判断③；根据矩形的性质可得∠ABC=90°，根据角平分线的性质可得BF=FO，由等腰三角形的性质可得∠BAF=∠FAC，结合∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°，则∠ACB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得FO=FC，据此判断④.
11．【答案】48
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，
∴在中，(cm)，
∴.
故答案为：48.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算.
12．【答案】20cm
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=x cm，BC=y cm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y=26，
∴x+y=13，
∵对角线的长是cm，
∴x2+y2=129，
∴（x+y）2-2xy=129，
∴132-2xy=129，
∴xy=20（cm2），
∴矩形面积为20cm2．
故答案为：20cm2．
【分析】先求出x+y=13，再求出xy=20（cm2），最后求矩形的面积即可。
13．【答案】1
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，
∴，
∵DE平分∠AEC，
∴
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
故答案为：1
【分析】先证明，再利用勾股定理求出，最后利用计算即可。
14．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．故答案为AB= BC.
【分析】利用矩形的性质和判定方法求解即可。
15．【答案】AC=BD或∠ABC=90°
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴当∠ABC=90° 时， 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【分析】根据矩形的判定方法求解即可。
16．【答案】16
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N.
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，
∴S阴=8+8=16.
故答案为：16.
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，则四边形AEPM、DFPM、CFPN、BEPN都是矩形，推出S△DFP=S△PBE，据此求解.
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2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.2矩形的性质与判定 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·禅城期末）菱形、矩形同时具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不相互垂直，不符合题意；
B、矩形对角线相等，菱形对角线不相等，不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线互相平分，符合题意；
D、矩形的四个角都为90°，菱形的对角相等，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形的性质：①对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角；②对边平行，四条边都相等；③对角相等，邻角互补；④菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形的性质：①对角线相等且互相平分；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对边平行且相等；④矩形形是轴对称图形，也是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．（2021九上·毕节月考）下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.
3．（2021九上·萍乡期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AF，
根据折叠的性知AF=CF，AC⊥EF，OA=OC，由AD=2，CD=4，根据勾股定理可求得AC=，所以OC=，然后根据矩形的性质可得△COF∽△CDA，因此根据相似的性质可得，代入数值可得，可求得OF=，所以EF=2OF=．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再求出△COF∽△CDA，最后利用相似三角形的性质求解即可。
4．（2021九上·毕节月考）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
5．（2021九上·郑州月考）若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．对角线相等的四边形
C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】D
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质可得∠FEH=90°，易得EF是三角形ABD的中位线，EH是三角形ACD的中位线，则EF∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质可得∠FEH=∠OMH=90°，∠OMH=∠COB=90°，据此判断.
6．（2021九上·北京开学考）如图， 、 、 分别是 各边中点，则以下说法中错误的是（ ）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是矩形
D．若 ，则四边形 是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】如图，连接EF
∵ 、 、 分别是 各边中点
∴EF∥BC，DF∥AB
∴四边形BEFD是平行四边形
同理：四边形EFCD、四边形AEDF都是平行四边形
∴ ，
∴
从而选项A、B均不符合题意；
∵四边形AEDF是平行四边形
当∠A=90°时，则四边形AEDF是矩形，C不符合题意；
若四边形 是菱形，则AE=AF
∴AB=AC
∵AB=BC
则△ABC是等边三角形，D符合题意
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判定即可。
7．（2020九上·福州月考）如图， 是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点， ，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【知识点】矩形的判定；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称的性质得出AC′=BC，BC′=AC，利用两组对边分别相等可证四边形ACBC′是平行四边形，由∠C=90°，可证平行四边形ACBC′是矩形．
8．（2021九上·陕西开学考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝BC＝4，D为边BC上一动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】D
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠AFD＝∠EDF＝∠AED＝90°，
∴四边形AFDE为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝BC＝4，
∴AF＝ ＝2 ，
∴DE的最小值为2 .
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得AE∥BC，故当DE⊥BC时，DE有最小值，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形AFDE为矩形，由矩形的性质可得DE＝AF，求出AF的值，据此可得DE的最小值.
9．（2020九上·深圳期中） ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC=BD C．∠A=∠B D．BC= CD
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD为矩形，A正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，B正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠B
∴∠A=∠B=90°
∴平行四边形ABCD为矩形，C正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，BC=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，D错误。
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理，计算得到答案即可。
10．（2022·孝感）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC EF＝CF CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
，
四边形AECF是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC EF＝CF CD；故③不正确，
④四边形ABCD是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF.故④正确；
故答案为：B.
【分析】设AC与MN的交点为O，由作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据矩形以及平行线的性质可得∠EAO=∠OCF，证明△AOE≌△COF，得到AE=FC，推出四边形AECF是平行四边形，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，然后结合菱形的判定定理可判断①；根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠FAC，结合外角的性质可判断②；根据菱形的面积公式可判断③；根据矩形的性质可得∠ABC=90°，根据角平分线的性质可得BF=FO，由等腰三角形的性质可得∠BAF=∠FAC，结合∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°，则∠ACB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得FO=FC，据此判断④.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022·邵阳）已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为 .
【答案】48
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，
∴在中，(cm)，
∴.
故答案为：48.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算.
12．（2021九上·兴宁期末）若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是 ．
【答案】20cm
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=x cm，BC=y cm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y=26，
∴x+y=13，
∵对角线的长是cm，
∴x2+y2=129，
∴（x+y）2-2xy=129，
∴132-2xy=129，
∴xy=20（cm2），
∴矩形面积为20cm2．
故答案为：20cm2．
【分析】先求出x+y=13，再求出xy=20（cm2），最后求矩形的面积即可。
13．（2021九上·禅城期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
【答案】1
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，
∴，
∵DE平分∠AEC，
∴
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
故答案为：1
【分析】先证明，再利用勾股定理求出，最后利用计算即可。
14．（2021九上·黑山期中）M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足 时，四边形PEMF为矩形.
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．故答案为AB= BC.
【分析】利用矩形的性质和判定方法求解即可。
15．（2019九上·平遥月考）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 使平行四边形ABCD是矩形。
【答案】AC=BD或∠ABC=90°
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴当∠ABC=90° 时， 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【分析】根据矩形的判定方法求解即可。
16．（2021九上·达州期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为 .
【答案】16
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N.
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，
∴S阴=8+8=16.
故答案为：16.
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，则四边形AEPM、DFPM、CFPN、BEPN都是矩形，推出S△DFP=S△PBE，据此求解.
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