2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·深圳期中）正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．4 C．8 D．8
2．（2021九上·长沙月考）下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相平分且垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的平行四边形
3．（2020九上·石家庄月考）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 的周长记为c，若 (a为正整数)，则a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021九上·茂南期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
5．（2021九上·城阳期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
6．（2019九上·北碚月考）下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的矩形是正方形
7．（2020九上·顺德期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
8．（2021九上·普宁期中）如图， ，其中 ， ， ，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（ ）．
A．四边形BECF为平行四边形
B．当 时，四边形BECF为矩形
C．当 时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
9．（2021九上·思明期中）如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（2022·绍兴）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021九上·和平期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 ．
12．（2020九上·胶州月考）已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件： ．
13．（2021九上·五常期末）如图，四边形和四边形都是边长为4的正方形，点O是正方形对角线的交点，正方形绕点O旋转过程中分别交，于点E，F，则四边形的面积为 ．
14．（2021九上·惠来月考）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
15．（2021九上·西安月考）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形.
16．（2022·武汉）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接.过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，.若，，则四边形的面积是 .
三、作图题
17．（2020九上·平房期末）如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画一个以 为一边的菱形 ，且菱形 的面积等于20．
（2）在图中画一个以 为对角线的正方形 ，并直接写出正方形 的面积．
四、解答题
18．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
19．（2019九上·龙泉驿期中）如图，已知在矩形 中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线， ， 相交于点 ， ， 相交于点 求证：四边形 是正方形．
20．（2021九上·凤县月考）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.
21．（2022·邵阳）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，.
求证：四边形是正方形.
五、综合题
22．（2021·息县模拟）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
（1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
（3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
23．（2021九上·紫金期中）如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
24．（2020九上·即墨期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积= ×4×4=8，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形 是正方形，一一判断可得答案.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长均为 ，则四边形ABCD的周长为4 ，
∴ =4 ，即 4 ，
解得：4 4 +1,且a为正整数，
故a=6．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出四边形ABCD的各边长度，的带周长c的值，再利用夹值法即可求解。
4．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质，结合图形，对每个条件一一判断即可。
5．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质，对每个条件一一判断即可。
6．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意；
B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形和矩形的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD，
∴∠CEM=∠BFM，
∵M为BC中点，
∴CM=BM，
∴△CEM≌△BFM，
∴CE=BF，
∵AC∥BD，
∴四边形BECF为平行四边形，故A不符合题意；
当 时，若BE⊥AC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴CE≠BF，
∴当 时，四边形BECF不是矩形，故B符合题意；
∵BF=2.5，四边形BECF是平行四边形，
∴CE=BF= 2.5，
∴AE=AC-CE= 2.5，
∴E为AC中点，
∴BE=CE，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴当BF= 2.5时，四边形BECF为菱形，故C不符合题意；
当BF=2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形，故D符合题意．
故答案为：B
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定逐项判断即可。
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋转角为30°.
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质得AB=AD，∠B=∠D=90°，由旋转性质得AE=AF，证Rt△ABE≌Rt△ADF，得∠DAF=∠BAE=30°，然后求出∠EAF的度数，据此可得旋转角.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，
∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
∵四边形MENF是平行四边形，
∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
∵点E，F是BD上的动点，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
【分析】连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，利用平行四边形的性质可证得OA=OC，AD∥BC，OB=OD，利用平行线的性质可得到∠MAO=∠NCO，利用ASA证明△MAO≌△NCO，利用全等三角形的性质去证明OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形MENF是平行四边形，利用M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，可对①作出判断；易证四边形MENF是平行四边形，利用对角线相等的四边形是矩形，可对②作出判断；利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，利用点E，F是动点，可对③作出判断；只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，这样的正方形只有一个，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设，
四边形为正方形，
，，
点为的中点，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：．
【分析】设AB=2a，由正方形的性质和勾股定理求出BE的长，可得EF的长，再求出AF的长，得出AH的长，进而可得结果。
12．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下：
，
四边形ABCD是矩形，
又 ，
矩形ABCD是正方形．
故答案为： 答案不唯一 .
【分析】根据正方形的判定定理进行添加条件，注意答案不唯一.
13．【答案】4
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD的对角线交点为O，
∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴OG∥BC，OH∥AB，
∴四边形OGBH是矩形，OG=OH=，∠GOH=90°，
∴=4，
∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°，
∴∠FOH=∠EOG，
∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH，
∴△OGE≌△OHF，
∴，
∴，
∴=4，
故答案为：4．
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，先证明△OGE≌△OHF，再利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再求解即可。
14．【答案】135
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
【分析】先求出∠2+∠BCP＝45°，再求出∠1+∠BCP＝45°，最后计算求解即可。
15．【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形.
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，EH∥BD，EH= BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形.
故答案为：AC⊥BD，AC=BD.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH为平行四边形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形，可以添加：AC⊥BD，AC=BD.
16．【答案】80
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，则∠M=∠FNC=∠FNI=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，∠FCN+∠CFN=90°.
∵四边形ABHL、ACDE、BCFG为正方形，
∴AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，
∴∠DCM+∠ACJ=90°，∠FCN+∠BCJ=90°，
∴∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ.
∵CJ⊥AB，
∴∠AJC=∠BJC=∠AJK=∠BJK=90°，
、∴四边形AJKL、BJKH均为矩形，
∴∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC.
∵∠M=∠AJC，∠CDM=∠ACJ，CD=AC，
∴△CDM≌△ACJ，
∴DM=CJ=4，CM=AJ.
∵∠CNF=∠BJC，∠CFN=∠BCJ，CF=BC，
∴△CFN≌△BCJ，
∴FN=CJ=4，
∴DM=FN=4.
∵∠DIM=∠FIN，∠M=∠FNI，DM=FN，
∴△DMI≌△FNI，
∴DI=FI.
∵∠DCF=∠ACB=90°，
∴CI=DF，
∴DF=10，FI=DI=DF=5，
∴IM==3，
∴AJ=CM=CI+MI=8.
∵AC=DC，∠ACB=∠DCF，BC=FC，
∴△ABC≌△DFC，
∴AB=DF=10，
∴AL=AB=10，
∴S四边形AJKL=AJ·AL=80.
故答案为：80.
【分析】过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，根据正方形的性质很容易得到AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，根据同角的余角相等可得∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ，易得四边形AJKL、BJKH均为矩形，根据矩形的性质得到∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC，证明△CDM≌△ACJ，△CFN≌△BCJ，△DMI≌△FNI，得到DM=CJ=4，FN=CJ=4，DM=FN=4，DI=FI，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CI=DF，据此可得DF、FI、IM的值，然后证明△ABC≌△DFC，求出AB、AL的值，接下来根据S四边形AJKL=AJ·AL进行计算.
17．【答案】（1）解：根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D.如图所示.
（2）解：作线段EF的中线与网格交于G、H，且 ，依次连接E、G、F、H即可，如图所示.
正方形 面积为10.
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D即可．（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且 ，依次连接E、G、F、H即可，利用正方形面积公式即可求得正方形 的面积．
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
19．【答案】证明：∵在矩形ABCD中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴△FDC是等腰直角三角形，
同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形EMFN是矩形，
在△FDC和△EAB中， ，
∴△FDC≌△EAB（ASA），
∴FD＝EA，
又∵MD＝MA，
∴ME＝MF，
∴矩形EMFN是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线定义易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，则∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四边形EMFN是矩形，然后证明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可证得结论．
20．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即BC=BN= AB，
∴BN= BE，即N为BE的中点，
∴EN=NB=BC，
在△△FNE和△ECB中，
∴△FNE≌△ECB，
∴FN=EC.
【知识点】正方形的性质；线段的中点；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，结合AB=2BC可得EN=NB=BC，然后证明△FNE≌△ECB，据此可得结论.
21．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由已知条件知BE=DF，结合线段的和差关系可得OE=OF ，结合OE=OA可得OA=OC=OE=OF，即AC=EF，然后根据正方形的判定定理进行证明.
22．【答案】（1）相等；互相垂直
（2）解：AH⊥DF，AH=DF，
证明：连接AE、DE，
∵∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH，
即：∠FED=∠AEH，
又∵EH=EF，EA=ED，
∴△FED≌△AEH（SAS），
∴DF=AH，
∵∠AHE+∠HOE=90°，
∴∠EFD+∠AOF=90°，
∴FD⊥AH；
（3）解：①S△BMN+S△CEN=10；②答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）延长HA交FD于T，
∵AB=AD，HB=AF，∠ABH=∠DAH=180°-45°=135°，
∴△ABH≌△DAF（SAS），
∴AH=DF，∠AHE=∠AFD，
又∵∠HAE=∠FAT，
∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHE，
即∠FTA=∠AEH=90°，
∴AH⊥DF，
故答案为：AH=DF，AH⊥DF（相等；互相垂直）；
（3）①连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FEH=90°，
∴∠MEB+∠BEN=∠NEC+∠BEN，
∴∠MEB=∠NEC，
∴△MBE≌△NCE（ASA），
∴BM=CN，
∵AM=2，AB=6，
∴BM=CN=4，BN=2，
∴S△BMN+S△CEN= ；
②若α=45°，如下图：
答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【分析】（1）延长HA交FD于T，易证△ABH≌△DAF，得到AH=DF，∠AHE=∠AFD，结合内角和定理可得∠FTA=∠AEH=90°，据此解答；
（2）连接AE、DE，根据角的和差关系可得∠FED=∠AEH，证明△FED≌△AEH，得到DF=AH，根据∠AHE+∠HOE=90°可得∠EFD+∠AOF=90°，据此解答；
（3）①连接BE，根据正方形的性质可得BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，∠FEH=90°，证明△MBE≌△NCE，得到BM=CN，易得BM=CN=4，BN=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
②根据正方形、平行四边形的判定定理进行解答.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，OB=OD，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠DAC=∠EAD+∠AED， ∠ADB=∠EAD+∠AED，
∴∠DAC=∠ADB，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出AO=CO，OB=OD，再根据等腰三角形的性质得出EO⊥AC，
即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）根据三角形外角性质得出∠ADB=∠EAD+∠AED，从而得出∠DAC=∠ADB，根据等角对等边得出OA=OD，从而得出AC=BD，即可得出四边形ABCD是正方形.
24．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先证四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）先证出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据正方形的判定推出即可；
（3）由（2）可知，四边形BECD是菱形，得出∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，由此得出△ABC是等腰直角三角形。
1 / 12022-2023学年初数北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·深圳期中）正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．4 C．8 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积= ×4×4=8，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
2．（2021九上·长沙月考）下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相平分且垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的平行四边形
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形 是正方形，一一判断可得答案.
3．（2020九上·石家庄月考）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 的周长记为c，若 (a为正整数)，则a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长均为 ，则四边形ABCD的周长为4 ，
∴ =4 ，即 4 ，
解得：4 4 +1,且a为正整数，
故a=6．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出四边形ABCD的各边长度，的带周长c的值，再利用夹值法即可求解。
4．（2021九上·茂南期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质，结合图形，对每个条件一一判断即可。
5．（2021九上·城阳期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质，对每个条件一一判断即可。
6．（2019九上·北碚月考）下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
7．（2020九上·顺德期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意；
B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形和矩形的性质逐项判断即可。
8．（2021九上·普宁期中）如图， ，其中 ， ， ，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（ ）．
A．四边形BECF为平行四边形
B．当 时，四边形BECF为矩形
C．当 时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD，
∴∠CEM=∠BFM，
∵M为BC中点，
∴CM=BM，
∴△CEM≌△BFM，
∴CE=BF，
∵AC∥BD，
∴四边形BECF为平行四边形，故A不符合题意；
当 时，若BE⊥AC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴CE≠BF，
∴当 时，四边形BECF不是矩形，故B符合题意；
∵BF=2.5，四边形BECF是平行四边形，
∴CE=BF= 2.5，
∴AE=AC-CE= 2.5，
∴E为AC中点，
∴BE=CE，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴当BF= 2.5时，四边形BECF为菱形，故C不符合题意；
当BF=2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形，故D符合题意．
故答案为：B
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定逐项判断即可。
9．（2021九上·思明期中）如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋转角为30°.
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质得AB=AD，∠B=∠D=90°，由旋转性质得AE=AF，证Rt△ABE≌Rt△ADF，得∠DAF=∠BAE=30°，然后求出∠EAF的度数，据此可得旋转角.
10．（2022·绍兴）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，
∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
∵四边形MENF是平行四边形，
∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
∵点E，F是BD上的动点，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
【分析】连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，利用平行四边形的性质可证得OA=OC，AD∥BC，OB=OD，利用平行线的性质可得到∠MAO=∠NCO，利用ASA证明△MAO≌△NCO，利用全等三角形的性质去证明OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形MENF是平行四边形，利用M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，可对①作出判断；易证四边形MENF是平行四边形，利用对角线相等的四边形是矩形，可对②作出判断；利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，利用点E，F是动点，可对③作出判断；只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，这样的正方形只有一个，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
11．（2021九上·和平期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设，
四边形为正方形，
，，
点为的中点，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：．
【分析】设AB=2a，由正方形的性质和勾股定理求出BE的长，可得EF的长，再求出AF的长，得出AH的长，进而可得结果。
12．（2020九上·胶州月考）已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件： ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下：
，
四边形ABCD是矩形，
又 ，
矩形ABCD是正方形．
故答案为： 答案不唯一 .
【分析】根据正方形的判定定理进行添加条件，注意答案不唯一.
13．（2021九上·五常期末）如图，四边形和四边形都是边长为4的正方形，点O是正方形对角线的交点，正方形绕点O旋转过程中分别交，于点E，F，则四边形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD的对角线交点为O，
∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴OG∥BC，OH∥AB，
∴四边形OGBH是矩形，OG=OH=，∠GOH=90°，
∴=4，
∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°，
∴∠FOH=∠EOG，
∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH，
∴△OGE≌△OHF，
∴，
∴，
∴=4，
故答案为：4．
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，先证明△OGE≌△OHF，再利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再求解即可。
14．（2021九上·惠来月考）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
【答案】135
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
【分析】先求出∠2+∠BCP＝45°，再求出∠1+∠BCP＝45°，最后计算求解即可。
15．（2021九上·西安月考）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形.
【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形.
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，EH∥BD，EH= BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形.
故答案为：AC⊥BD，AC=BD.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH为平行四边形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形，可以添加：AC⊥BD，AC=BD.
16．（2022·武汉）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接.过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，.若，，则四边形的面积是 .
【答案】80
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，则∠M=∠FNC=∠FNI=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，∠FCN+∠CFN=90°.
∵四边形ABHL、ACDE、BCFG为正方形，
∴AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，
∴∠DCM+∠ACJ=90°，∠FCN+∠BCJ=90°，
∴∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ.
∵CJ⊥AB，
∴∠AJC=∠BJC=∠AJK=∠BJK=90°，
、∴四边形AJKL、BJKH均为矩形，
∴∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC.
∵∠M=∠AJC，∠CDM=∠ACJ，CD=AC，
∴△CDM≌△ACJ，
∴DM=CJ=4，CM=AJ.
∵∠CNF=∠BJC，∠CFN=∠BCJ，CF=BC，
∴△CFN≌△BCJ，
∴FN=CJ=4，
∴DM=FN=4.
∵∠DIM=∠FIN，∠M=∠FNI，DM=FN，
∴△DMI≌△FNI，
∴DI=FI.
∵∠DCF=∠ACB=90°，
∴CI=DF，
∴DF=10，FI=DI=DF=5，
∴IM==3，
∴AJ=CM=CI+MI=8.
∵AC=DC，∠ACB=∠DCF，BC=FC，
∴△ABC≌△DFC，
∴AB=DF=10，
∴AL=AB=10，
∴S四边形AJKL=AJ·AL=80.
故答案为：80.
【分析】过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，根据正方形的性质很容易得到AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，根据同角的余角相等可得∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ，易得四边形AJKL、BJKH均为矩形，根据矩形的性质得到∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC，证明△CDM≌△ACJ，△CFN≌△BCJ，△DMI≌△FNI，得到DM=CJ=4，FN=CJ=4，DM=FN=4，DI=FI，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CI=DF，据此可得DF、FI、IM的值，然后证明△ABC≌△DFC，求出AB、AL的值，接下来根据S四边形AJKL=AJ·AL进行计算.
三、作图题
17．（2020九上·平房期末）如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画一个以 为一边的菱形 ，且菱形 的面积等于20．
（2）在图中画一个以 为对角线的正方形 ，并直接写出正方形 的面积．
【答案】（1）解：根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D.如图所示.
（2）解：作线段EF的中线与网格交于G、H，且 ，依次连接E、G、F、H即可，如图所示.
正方形 面积为10.
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D即可．（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且 ，依次连接E、G、F、H即可，利用正方形面积公式即可求得正方形 的面积．
四、解答题
18．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
19．（2019九上·龙泉驿期中）如图，已知在矩形 中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线， ， 相交于点 ， ， 相交于点 求证：四边形 是正方形．
【答案】证明：∵在矩形ABCD中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴△FDC是等腰直角三角形，
同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形EMFN是矩形，
在△FDC和△EAB中， ，
∴△FDC≌△EAB（ASA），
∴FD＝EA，
又∵MD＝MA，
∴ME＝MF，
∴矩形EMFN是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线定义易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，则∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四边形EMFN是矩形，然后证明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可证得结论．
20．（2021九上·凤县月考）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.
【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即BC=BN= AB，
∴BN= BE，即N为BE的中点，
∴EN=NB=BC，
在△△FNE和△ECB中，
∴△FNE≌△ECB，
∴FN=EC.
【知识点】正方形的性质；线段的中点；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，结合AB=2BC可得EN=NB=BC，然后证明△FNE≌△ECB，据此可得结论.
21．（2022·邵阳）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，.
求证：四边形是正方形.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由已知条件知BE=DF，结合线段的和差关系可得OE=OF ，结合OE=OA可得OA=OC=OE=OF，即AC=EF，然后根据正方形的判定定理进行证明.
五、综合题
22．（2021·息县模拟）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
（1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
（3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
【答案】（1）相等；互相垂直
（2）解：AH⊥DF，AH=DF，
证明：连接AE、DE，
∵∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH，
即：∠FED=∠AEH，
又∵EH=EF，EA=ED，
∴△FED≌△AEH（SAS），
∴DF=AH，
∵∠AHE+∠HOE=90°，
∴∠EFD+∠AOF=90°，
∴FD⊥AH；
（3）解：①S△BMN+S△CEN=10；②答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）延长HA交FD于T，
∵AB=AD，HB=AF，∠ABH=∠DAH=180°-45°=135°，
∴△ABH≌△DAF（SAS），
∴AH=DF，∠AHE=∠AFD，
又∵∠HAE=∠FAT，
∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHE，
即∠FTA=∠AEH=90°，
∴AH⊥DF，
故答案为：AH=DF，AH⊥DF（相等；互相垂直）；
（3）①连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FEH=90°，
∴∠MEB+∠BEN=∠NEC+∠BEN，
∴∠MEB=∠NEC，
∴△MBE≌△NCE（ASA），
∴BM=CN，
∵AM=2，AB=6，
∴BM=CN=4，BN=2，
∴S△BMN+S△CEN= ；
②若α=45°，如下图：
答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【分析】（1）延长HA交FD于T，易证△ABH≌△DAF，得到AH=DF，∠AHE=∠AFD，结合内角和定理可得∠FTA=∠AEH=90°，据此解答；
（2）连接AE、DE，根据角的和差关系可得∠FED=∠AEH，证明△FED≌△AEH，得到DF=AH，根据∠AHE+∠HOE=90°可得∠EFD+∠AOF=90°，据此解答；
（3）①连接BE，根据正方形的性质可得BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，∠FEH=90°，证明△MBE≌△NCE，得到BM=CN，易得BM=CN=4，BN=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
②根据正方形、平行四边形的判定定理进行解答.
23．（2021九上·紫金期中）如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，OB=OD，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠DAC=∠EAD+∠AED， ∠ADB=∠EAD+∠AED，
∴∠DAC=∠ADB，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出AO=CO，OB=OD，再根据等腰三角形的性质得出EO⊥AC，
即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）根据三角形外角性质得出∠ADB=∠EAD+∠AED，从而得出∠DAC=∠ADB，根据等角对等边得出OA=OD，从而得出AC=BD，即可得出四边形ABCD是正方形.
24．（2020九上·即墨期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先证四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）先证出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据正方形的判定推出即可；
（3）由（2）可知，四边形BECD是菱形，得出∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，由此得出△ABC是等腰直角三角形。
1 / 1
