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2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
2．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
3．（2021九上·奈曼旗月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意；
B、 的解为 ，不符合题意；
C、 的解为 ，符合题意；
D、 的解为 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。
4．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
5．（2021九上·呼和浩特期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 ，
，
，
，
则较小的根 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
6．（2020八下·扬州期中）用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B． 4 C． D．64
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.
7．（2021九上·涡阳期末）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】利用公式法解一元二次方程及定义新运算的性质阶解题即可。
8．（2021·四川模拟）已知 是方程 的根，那么代数式 的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】利用分式运算化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得
当 时，原式
∴原式 或 .
故答案为：D.
【分析】将括号里的-x-2添括号为-（x+2），再通分计算，将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后利用公式法求出方程的解，将x的值代入化简后的代数式进行计算.
9．（2020九上·汾阳月考）当 满足 时，方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解得
因为方程 ,
所以 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．
10．（2020九上·姜堰期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 的一个根（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a
在Rt△BCD中，由勾股定理得， ，
∴BF= ，
解方程 得 ，
∴线段BF的长是方程 的一个根.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得CD=AB=a，由勾股定理表示出BD、BF，求出方程x2+2ax-4=0的根，据此判断.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
12．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
13．如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
14．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
15．（2020九上·姜堰期中）若关于 的一元二次方程 有一个正整数解，则正整数 = .
【答案】1或2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0，△= ，
∴x= ，
∴ ，
∵关于x的一元二次方程 有一个整数根，而a为正整数，
∴ 不符合题意， 必为整数，
∴a=1或2，
故答案为：1或2.
【分析】根据题意可得a≠0，然后求出x的值，然后根据方程有一个整数根可得a的取值.
16．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
三、解答题（共8题，共52分）
17．用公式法解方程
（1）x2+4x-1=0
（2）5x2- x-6=0
（3） x2-2x-6=0
【答案】（1）解：∵a=1，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=42-4×1×（-1）=20>0
∴x= = ，
∴x=-2± ，
即x1=-2+ ，x2=-2-
（2）解：∵a=5，b=- ，c=-6，
∴b2-4ac=5-4×5×（-6）=125>0，
∴x= =
∴x1= ，x2=- .
（3）解：化简方程，得x2-4x-12=0则a=1，b=-4
∴b2-4ac=（-4）2-4×1×（-12）=64>0
∴x= = ，
∴x=-2±4，
即x1=6，x2=-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先求出根的判别式 =20>0，再根据求根公式即可得出方程的解；
（2）先求出根的判别式 =125>0，再根据求根公式即可得出方程的解；
（3）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式 =64>0，再根据求根公式即可得出方程的解.
18．（2021九上·博兴期中）根据要求解下列方程：
（1） （公式法）；
（2） （配方法）．
【答案】（1）解： ，
整理，得 ，
， ， ，
，
， ；
（2）解： ，
， ，
，
，
， ；
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法求解一元二次方程即可。
19．（2021八上·宝山月考）已知 和 都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2．
【答案】解：∵ 和 都有意义，
∴ ，
解得： ，
又∵a是整数，
∴ ，
当 时，方程为 ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时，方程为 ，
即 ，此方程为一元一次方程，不符合题意，
∴ 舍去，
当 时，方程为 ，
整理得： ，
∵ ，
∴此方程没有实数根，
综上所述，当 时，方程的根为 ， ；当 时，方程没有实数根．
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意 和 都有意义，可得出a的去值范围，因为a是整数，当 时，当 时，当 时，列出方程，解之取其正确的值即可。
20．（2020九上·二道期末）定义运算： ，例如： ．解方程： ．
【答案】解：∵
∴ = ，
，
∴ ，
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】先利用新定义得到 ，再利用公式法解方程。
21．（2019九上·翠屏期中）先化简再计算： ，其中x是一元二次方程 的正数根.
【答案】原式=
=
= ．
解方程x2﹣2x﹣2=0得：
x1=1+ ＞0，x2=1﹣ ＜0，
所以原式=
【知识点】利用分式运算化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可．
22．已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0
（1）求出方程的根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【答案】（1）解：根据题意，得m≠1.
∵a=m-1，b=-2m，c=m+1，
b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4，
∴x1= = ，x2= =1
（2）解：由（1）知，x1= =1+ ，x2=1
∵方程的两个根都为正整数，
∴ 是正整数，
∴m-1=1或m-1=2，解得m=2或3
∴当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的概念可得m≠1，然后根据△=b2-4ac求出判别式的值，接下来借助求根公式x=进行求解；
（2）由（1）知：x1= =1+ ，x2=1，由方程的两个根都为正整数可得m-1=1或m-1=2，求解即可.
23．（2021九上·淮南月考）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）用“转化”的思想求方程 ＝x的解．
（3）试直接写出 的解 ．
【答案】（1）1；-2
（2）解：∵ ＝x，
∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3．
（3） ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0
∴x（x2+x﹣2）＝0，
∴x（x﹣1）（x+2）＝0
则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0
解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，
故答案为1，-2；
（3）∵ ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
故答案为 ， ．
【分析】（1）首先意公因式x，继而因式分解，求出解即可；
（2）将式子的两边平方后整理得到式子，解出答案即可；
（3）将方程组进行转化，解二元一次方程组即可。
24．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
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2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
2．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·奈曼旗月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·呼和浩特期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
6．（2020八下·扬州期中）用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B． 4 C． D．64
7．（2021九上·涡阳期末）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·四川模拟）已知 是方程 的根，那么代数式 的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
9．（2020九上·汾阳月考）当 满足 时，方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·姜堰期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 的一个根（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
12．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
13．如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
14．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
15．（2020九上·姜堰期中）若关于 的一元二次方程 有一个正整数解，则正整数 = .
16．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
三、解答题（共8题，共52分）
17．用公式法解方程
（1）x2+4x-1=0
（2）5x2- x-6=0
（3） x2-2x-6=0
18．（2021九上·博兴期中）根据要求解下列方程：
（1） （公式法）；
（2） （配方法）．
19．（2021八上·宝山月考）已知 和 都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2．
20．（2020九上·二道期末）定义运算： ，例如： ．解方程： ．
21．（2019九上·翠屏期中）先化简再计算： ，其中x是一元二次方程 的正数根.
22．已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0
（1）求出方程的根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
23．（2021九上·淮南月考）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）用“转化”的思想求方程 ＝x的解．
（3）试直接写出 的解 ．
24．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
3．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意；
B、 的解为 ，不符合题意；
C、 的解为 ，符合题意；
D、 的解为 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。
4．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 ，
，
，
，
则较小的根 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
6．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.
7．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】利用公式法解一元二次方程及定义新运算的性质阶解题即可。
8．【答案】D
【知识点】利用分式运算化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得
当 时，原式
∴原式 或 .
故答案为：D.
【分析】将括号里的-x-2添括号为-（x+2），再通分计算，将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后利用公式法求出方程的解，将x的值代入化简后的代数式进行计算.
9．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解得
因为方程 ,
所以 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．
10．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a
在Rt△BCD中，由勾股定理得， ，
∴BF= ，
解方程 得 ，
∴线段BF的长是方程 的一个根.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得CD=AB=a，由勾股定理表示出BD、BF，求出方程x2+2ax-4=0的根，据此判断.
11．【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
12．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
13．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
14．【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
15．【答案】1或2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0，△= ，
∴x= ，
∴ ，
∵关于x的一元二次方程 有一个整数根，而a为正整数，
∴ 不符合题意， 必为整数，
∴a=1或2，
故答案为：1或2.
【分析】根据题意可得a≠0，然后求出x的值，然后根据方程有一个整数根可得a的取值.
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
17．【答案】（1）解：∵a=1，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=42-4×1×（-1）=20>0
∴x= = ，
∴x=-2± ，
即x1=-2+ ，x2=-2-
（2）解：∵a=5，b=- ，c=-6，
∴b2-4ac=5-4×5×（-6）=125>0，
∴x= =
∴x1= ，x2=- .
（3）解：化简方程，得x2-4x-12=0则a=1，b=-4
∴b2-4ac=（-4）2-4×1×（-12）=64>0
∴x= = ，
∴x=-2±4，
即x1=6，x2=-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先求出根的判别式 =20>0，再根据求根公式即可得出方程的解；
（2）先求出根的判别式 =125>0，再根据求根公式即可得出方程的解；
（3）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式 =64>0，再根据求根公式即可得出方程的解.
18．【答案】（1）解： ，
整理，得 ，
， ， ，
，
， ；
（2）解： ，
， ，
，
，
， ；
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法求解一元二次方程即可。
19．【答案】解：∵ 和 都有意义，
∴ ，
解得： ，
又∵a是整数，
∴ ，
当 时，方程为 ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时，方程为 ，
即 ，此方程为一元一次方程，不符合题意，
∴ 舍去，
当 时，方程为 ，
整理得： ，
∵ ，
∴此方程没有实数根，
综上所述，当 时，方程的根为 ， ；当 时，方程没有实数根．
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意 和 都有意义，可得出a的去值范围，因为a是整数，当 时，当 时，当 时，列出方程，解之取其正确的值即可。
20．【答案】解：∵
∴ = ，
，
∴ ，
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】先利用新定义得到 ，再利用公式法解方程。
21．【答案】原式=
=
= ．
解方程x2﹣2x﹣2=0得：
x1=1+ ＞0，x2=1﹣ ＜0，
所以原式=
【知识点】利用分式运算化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可．
22．【答案】（1）解：根据题意，得m≠1.
∵a=m-1，b=-2m，c=m+1，
b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4，
∴x1= = ，x2= =1
（2）解：由（1）知，x1= =1+ ，x2=1
∵方程的两个根都为正整数，
∴ 是正整数，
∴m-1=1或m-1=2，解得m=2或3
∴当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的概念可得m≠1，然后根据△=b2-4ac求出判别式的值，接下来借助求根公式x=进行求解；
（2）由（1）知：x1= =1+ ，x2=1，由方程的两个根都为正整数可得m-1=1或m-1=2，求解即可.
23．【答案】（1）1；-2
（2）解：∵ ＝x，
∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3．
（3） ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0
∴x（x2+x﹣2）＝0，
∴x（x﹣1）（x+2）＝0
则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0
解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，
故答案为1，-2；
（3）∵ ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
故答案为 ， ．
【分析】（1）首先意公因式x，继而因式分解，求出解即可；
（2）将式子的两边平方后整理得到式子，解出答案即可；
（3）将方程组进行转化，解二元一次方程组即可。
24．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
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