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2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·天津）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
2．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A． ，则
，或
B． ，则
，或
C． ，则
，或
D． ，则
3．（2022·立山模拟）方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（ ）
A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．3 D．1
4．（2021九上·永年期中）用因式分解法把方程 分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·福建竞赛）已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2022八下·北部湾月考）一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法
C．公式法 D．直接开平方法
7．（2022八下·龙游月考）若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021九上·香洲期末）已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
9．（2022·瓯海模拟）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
两边同时除以（x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
10．（2021九上·巢湖月考）已知直角三角形的两条直角边的长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（ ）
A．7 B．2.5 C． D．5
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2022八下·宁波开学考）已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝ ．
12．若代数式x2+5x+6与-x+1的值相等，则x的值为 .
13．（2021九上·天河期末）已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 ．
14．（2022·坪山模拟）若菱形的两条对角线分别是方程x2-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为 ．
15．（）
（1）如果（2m+n）2+3（2m+n）=0，则2m+n的值为 .
（2）若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2-1）=0，则x2+y2的值为 .
16．（2022八下·杭州期中）对于实数m，n，先定义一种断运算“ ”如下： ，若 ，则实数x的值为 .
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2022八下·梧州期中）解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．选择适当的方法解下列方程：
（1）2x2-9x+9=0
（2）（x+4）2=5（x+4）
（3）（x+1）2=4x
（4）2x2-8x-1=0
19．（2022八下·杭州期中）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
20．（2022·滨江）以下是小滨在解方程时的解答过程.
解：原方程可化为
解得原方程的解是.
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
21．（2021·恩施模拟）先化简，再求值： ，其中m为方程 的一根.
22．（2021·路南模拟）已知两个整式 ， ．
（1）若 的值是1，求 和 的值；
（2）若 的值是0，求 的值．
23．（）定义新运算“”如下：当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b.
（1）计算：（-2）（-）
（2）若2x（x+1）=0，求x的值.
24．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、方程的右边不为0，故A错误；
B、∵（2x-2）（3x-4）=0，∴2x-2=0或3x-4=0，故B正确；
C、方程的右边不为0，故B错误；
D、x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，故D错误.
故答案为：B.
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一元一次方程的目的，据此逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：B．
【分析】先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为：C
【分析】先求出，再利用因式分解法求解即可。
5．【答案】A
【知识点】分式的值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，得 ，
即 .
∴ 或 .
即 或 .
∵ ，所以 ， .
故答案为：A.
【分析】原方程可变形为x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以y6，求出的值，根据x2≠y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以y2，然后将=3代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵在方程5x2-2x=0中，常数项为0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故答案为：A.
【分析】观察方程可得常数项为0，利用因式分解法可将方程化为两个一次方程，据此解答.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当k=0时，原方程为－x+1=0，解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1，
综上所述，满足条件的整数k为0、1和﹣1．
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：，
因式分解得：，解得：，，
情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，
情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，
这个直角三角形的斜边长为5或，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，再利用勾股定理即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝1，b＝-4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，不能同时除以x-1，据此判断A；将方程化为一般形式，得到a、b、c的值，据此判断B；根据配方法的步骤可判断C；根据因式分解法可判断D.
10．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x＝3，x＝4；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长＝ ＝5；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：B．
【分析】先求出直角三角形的两条直角边为：3、4，再利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： （x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，
∴（x2+y2）2-（x2+y2）-20=0，
∴[（x2+y2）-5][（x2+y2）+4]=0，
∴x2+y2-5=0或x2+y2+4=0，
∴x2+y2=5或-4（舍去）.
故答案为：5.
【分析】把x2+y2看作一个整体，解关于x2+y2的一元二次方程，结合x2+y2>0，即可求解.
12．【答案】x1=-1，x2=-5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 代数式x2+5x+6与-x+1的值相等 ，
∴x2+5x+6=-x+1
∴x2+6x+5=0
∴（x+1）（x+5）=0
解之：x1=-1，x2=-5.
故答案为：x1=-1，x2=-5.
【分析】利用已知条件可得到方程x2+5x+6=-x+1，再利用因式分解法求出方程的解.
13．【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，
∴，
∵x2+x﹣m＝0，
∴，
解得：或.
故答案为：或.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。
14．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵x2-14x+48=0，
∴x=6或x=8，
∴该菱形的对角线长分别为6或8，
∴由勾股定理可知：菱形的边长为=5，
故答案为：5.
【分析】先利用十字相乘法求出x=6或x=8，再利用菱形的性质和勾股定理可得菱形的边长。
15．【答案】（1）0或-3
（2）1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ （2m+n）2+3（2m+n）=0，
∴（2m+n）（2m+n+3）=0
解之：2m+n=0或2m+n+3=0
∴2m+n=0或-3.
故答案为：0或-3.
（2）∵ （x2+y2+2）（x2+y2-1）=0
∴x2+y2+2=0或x2+y2-1=0
解之：x2+y2=1或x2+y2=-2，
∵x2+y2≥0
∴x2+y2=1.
故答案为：1.
【分析】（1）将（2m+n）看着整体，利用因式分解法求出2m+n的值.
（2）观察方程，将x2+y2看着整体，可得到x2+y2+2=0或x2+y2-1=0，可求出x2+y2的值；再根据x2+y2≥0，可确定出x2+y2的值.
16．【答案】3
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当x≥－2时，x2+x－2=10，
解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）；
当x＜－2时，（－2）2+x－2=10，
解得：x=8（不合题意，舍去）；
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】当x≥-2时，根据定义的新运算可得x2+x-2=10，求解即可；当x＜-2时，根据定义的新运算可得(-2)2+x-2=10，求解即可.
17．【答案】（1）解：方程分解因式得：（2x＋3）（2x 3）＝0，
可得2x＋3＝0或2x 3＝0，
解得： ；
（2）解： ，
a=1，b=6，c=-5，
∵△=b2-4ac=62-4×1×（-5）=56>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴
（3）解： ，
整理，得： ，
分解因式得：（x ）2＝0，
解得：x1＝x2＝ ；
（4）解： ，
整理，得： ，
分解因式得：（x+2）（x 4）＝0，
解得：x1＝-2，x2＝4.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用平方差公式分解因式，故此题利用因式分解法求解即可；
（2）首先求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算；
（3）首先将方程化为一般形式，发现方程的左边易于利用完全平方公式分解因式，接下来利用直接开平方法进行计算；
（4）对右边的式子进行分解，然后移至左边，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.
18．【答案】（1）解：2x2-9x+9=0
∴（2x-3）（x-3）=0
∴2x-3=0或x-3=0
解之： x1=3，x2=.
（2）解：将原方程转化为：
（x+4）2-5（x+4）=0
∴（x+4）（x+4-5）=0\
∴x+4=0或x-1=0
解之： x1=-4，x2=1
（3）解：（x+1）2=4x
∴x2-2x+1=0
∴（x-1）2=0
∴x-1=0
解之： x1=x2=1.
（4）解： 2x2-8x-1=0 ，
∵b2-4ac=64+8=72
∴
∴.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：左边可以分解因式，延长利用十字相乘法解方程.
（2）将（x+4）看着整体，先移项，再利用因式分解法解方程.
（3）首先将方程化为一般形式可得x2-2x+1=0，利用完全平方公式分解可得(x-1)2=0，据此求解；
（4）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
19．【答案】（1）解：x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝1，x2＝
（2）解：（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后方程的两边都除以2，将二次项系数化为1，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“ ”，将方程的左边配方成一个完全平方式，然后利用直接开方法进行计算；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此方程利用因式分解法求解即可.
20．【答案】解：有错；
正确解答过程如下：
原方程化为，，
移项，得，
提公因式，得，
∴或，
∴解得原方程的解是或；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察分析小滨的解题过程可知错误在于方程两边同时除以（x-3），而当x-3=0时，就违背了等式的性质，原方程的解就减少了，正确的解法是：移项，提公因式（x-3）可将原方程化为两个一元一次方程求解.
21．【答案】解：原式 ；
，
，
或 ，
或1，
由题意可知， ，
将 代入原式得，原式 .
【知识点】利用分式运算化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的解，选取一个使分式有意义的m的值代入化简后的式子中计算即可.
22．【答案】（1）解：∵ 的值是1，∴ ，
∴ ；
∴
（2）解：∵ 的值是0，
∴ ，
即 ，
，∴ 或
【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先求出x+2=1， 再求出x=-1，最后计算求解即可；
（2）先求出x2+3x+2=0，再计算求解即可。
23．【答案】（1）解：原式=（-2）×（-）-=
（2）解：当2x≥x+1，即x≥1时，2x（x+1）-2x=0，
解得x=0（不合题意，舍去）；
当2x（x+1）（2x+1）=0，
解得x1=-1，x2=-
故x的值为-1或-.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用定义新运算的法则： 当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b；先列式，再进行计算.
（2）利用定义新运算，分情况讨论：当2x≥x+1；当2x24．【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
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2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·天津）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。
2．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A． ，则
，或
B． ，则
，或
C． ，则
，或
D． ，则
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、方程的右边不为0，故A错误；
B、∵（2x-2）（3x-4）=0，∴2x-2=0或3x-4=0，故B正确；
C、方程的右边不为0，故B错误；
D、x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，故D错误.
故答案为：B.
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一元一次方程的目的，据此逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2022·立山模拟）方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（ ）
A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．3 D．1
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：B．
【分析】先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
4．（2021九上·永年期中）用因式分解法把方程 分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为：C
【分析】先求出，再利用因式分解法求解即可。
5．（2022九上·福建竞赛）已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】分式的值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，得 ，
即 .
∴ 或 .
即 或 .
∵ ，所以 ， .
故答案为：A.
【分析】原方程可变形为x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以y6，求出的值，根据x2≠y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以y2，然后将=3代入计算即可.
6．（2022八下·北部湾月考）一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法
C．公式法 D．直接开平方法
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵在方程5x2-2x=0中，常数项为0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故答案为：A.
【分析】观察方程可得常数项为0，利用因式分解法可将方程化为两个一次方程，据此解答.
7．（2022八下·龙游月考）若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当k=0时，原方程为－x+1=0，解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1，
综上所述，满足条件的整数k为0、1和﹣1．
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
8．（2021九上·香洲期末）已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：，
因式分解得：，解得：，，
情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，
情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，
这个直角三角形的斜边长为5或，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，再利用勾股定理即可得出答案。
9．（2022·瓯海模拟）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
两边同时除以（x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝1，b＝-4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，不能同时除以x-1，据此判断A；将方程化为一般形式，得到a、b、c的值，据此判断B；根据配方法的步骤可判断C；根据因式分解法可判断D.
10．（2021九上·巢湖月考）已知直角三角形的两条直角边的长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（ ）
A．7 B．2.5 C． D．5
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x＝3，x＝4；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长＝ ＝5；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：B．
【分析】先求出直角三角形的两条直角边为：3、4，再利用勾股定理计算求解即可。
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2022八下·宁波开学考）已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝ ．
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： （x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，
∴（x2+y2）2-（x2+y2）-20=0，
∴[（x2+y2）-5][（x2+y2）+4]=0，
∴x2+y2-5=0或x2+y2+4=0，
∴x2+y2=5或-4（舍去）.
故答案为：5.
【分析】把x2+y2看作一个整体，解关于x2+y2的一元二次方程，结合x2+y2>0，即可求解.
12．若代数式x2+5x+6与-x+1的值相等，则x的值为 .
【答案】x1=-1，x2=-5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 代数式x2+5x+6与-x+1的值相等 ，
∴x2+5x+6=-x+1
∴x2+6x+5=0
∴（x+1）（x+5）=0
解之：x1=-1，x2=-5.
故答案为：x1=-1，x2=-5.
【分析】利用已知条件可得到方程x2+5x+6=-x+1，再利用因式分解法求出方程的解.
13．（2021九上·天河期末）已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 ．
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，
∴，
∵x2+x﹣m＝0，
∴，
解得：或.
故答案为：或.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。
14．（2022·坪山模拟）若菱形的两条对角线分别是方程x2-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为 ．
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵x2-14x+48=0，
∴x=6或x=8，
∴该菱形的对角线长分别为6或8，
∴由勾股定理可知：菱形的边长为=5，
故答案为：5.
【分析】先利用十字相乘法求出x=6或x=8，再利用菱形的性质和勾股定理可得菱形的边长。
15．（）
（1）如果（2m+n）2+3（2m+n）=0，则2m+n的值为 .
（2）若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2-1）=0，则x2+y2的值为 .
【答案】（1）0或-3
（2）1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ （2m+n）2+3（2m+n）=0，
∴（2m+n）（2m+n+3）=0
解之：2m+n=0或2m+n+3=0
∴2m+n=0或-3.
故答案为：0或-3.
（2）∵ （x2+y2+2）（x2+y2-1）=0
∴x2+y2+2=0或x2+y2-1=0
解之：x2+y2=1或x2+y2=-2，
∵x2+y2≥0
∴x2+y2=1.
故答案为：1.
【分析】（1）将（2m+n）看着整体，利用因式分解法求出2m+n的值.
（2）观察方程，将x2+y2看着整体，可得到x2+y2+2=0或x2+y2-1=0，可求出x2+y2的值；再根据x2+y2≥0，可确定出x2+y2的值.
16．（2022八下·杭州期中）对于实数m，n，先定义一种断运算“ ”如下： ，若 ，则实数x的值为 .
【答案】3
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当x≥－2时，x2+x－2=10，
解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）；
当x＜－2时，（－2）2+x－2=10，
解得：x=8（不合题意，舍去）；
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】当x≥-2时，根据定义的新运算可得x2+x-2=10，求解即可；当x＜-2时，根据定义的新运算可得(-2)2+x-2=10，求解即可.
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2022八下·梧州期中）解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：方程分解因式得：（2x＋3）（2x 3）＝0，
可得2x＋3＝0或2x 3＝0，
解得： ；
（2）解： ，
a=1，b=6，c=-5，
∵△=b2-4ac=62-4×1×（-5）=56>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴
（3）解： ，
整理，得： ，
分解因式得：（x ）2＝0，
解得：x1＝x2＝ ；
（4）解： ，
整理，得： ，
分解因式得：（x+2）（x 4）＝0，
解得：x1＝-2，x2＝4.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用平方差公式分解因式，故此题利用因式分解法求解即可；
（2）首先求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算；
（3）首先将方程化为一般形式，发现方程的左边易于利用完全平方公式分解因式，接下来利用直接开平方法进行计算；
（4）对右边的式子进行分解，然后移至左边，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.
18．选择适当的方法解下列方程：
（1）2x2-9x+9=0
（2）（x+4）2=5（x+4）
（3）（x+1）2=4x
（4）2x2-8x-1=0
【答案】（1）解：2x2-9x+9=0
∴（2x-3）（x-3）=0
∴2x-3=0或x-3=0
解之： x1=3，x2=.
（2）解：将原方程转化为：
（x+4）2-5（x+4）=0
∴（x+4）（x+4-5）=0\
∴x+4=0或x-1=0
解之： x1=-4，x2=1
（3）解：（x+1）2=4x
∴x2-2x+1=0
∴（x-1）2=0
∴x-1=0
解之： x1=x2=1.
（4）解： 2x2-8x-1=0 ，
∵b2-4ac=64+8=72
∴
∴.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：左边可以分解因式，延长利用十字相乘法解方程.
（2）将（x+4）看着整体，先移项，再利用因式分解法解方程.
（3）首先将方程化为一般形式可得x2-2x+1=0，利用完全平方公式分解可得(x-1)2=0，据此求解；
（4）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
19．（2022八下·杭州期中）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
【答案】（1）解：x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝1，x2＝
（2）解：（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后方程的两边都除以2，将二次项系数化为1，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“ ”，将方程的左边配方成一个完全平方式，然后利用直接开方法进行计算；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此方程利用因式分解法求解即可.
20．（2022·滨江）以下是小滨在解方程时的解答过程.
解：原方程可化为
解得原方程的解是.
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：有错；
正确解答过程如下：
原方程化为，，
移项，得，
提公因式，得，
∴或，
∴解得原方程的解是或；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察分析小滨的解题过程可知错误在于方程两边同时除以（x-3），而当x-3=0时，就违背了等式的性质，原方程的解就减少了，正确的解法是：移项，提公因式（x-3）可将原方程化为两个一元一次方程求解.
21．（2021·恩施模拟）先化简，再求值： ，其中m为方程 的一根.
【答案】解：原式 ；
，
，
或 ，
或1，
由题意可知， ，
将 代入原式得，原式 .
【知识点】利用分式运算化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的解，选取一个使分式有意义的m的值代入化简后的式子中计算即可.
22．（2021·路南模拟）已知两个整式 ， ．
（1）若 的值是1，求 和 的值；
（2）若 的值是0，求 的值．
【答案】（1）解：∵ 的值是1，∴ ，
∴ ；
∴
（2）解：∵ 的值是0，
∴ ，
即 ，
，∴ 或
【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先求出x+2=1， 再求出x=-1，最后计算求解即可；
（2）先求出x2+3x+2=0，再计算求解即可。
23．（）定义新运算“”如下：当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b.
（1）计算：（-2）（-）
（2）若2x（x+1）=0，求x的值.
【答案】（1）解：原式=（-2）×（-）-=
（2）解：当2x≥x+1，即x≥1时，2x（x+1）-2x=0，
解得x=0（不合题意，舍去）；
当2x（x+1）（2x+1）=0，
解得x1=-1，x2=-
故x的值为-1或-.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用定义新运算的法则： 当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b；先列式，再进行计算.
（2）利用定义新运算，分情况讨论：当2x≥x+1；当2x24．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
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