2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·章丘期末）关于x的方程x ＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）
A．－3 B．－6 C．3 D．6
2．（2022·乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2021九上·新兴期末）若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m，n的值分别为（ ）
A．m=-2，n=8 B．m=-2，n=-8 C．m=2，n=-8 D．m=2，n=8
5．（2021九上·荆州月考）已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·绥化模拟）设，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．6
7．（2022·宜宾）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．-10 C．3 D．10
8．（2022·南海模拟）若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3或1
9．（2022·梁山模拟）已知是方程的两个实数根，则的值等于（ ）
A． B．6 C．10 D．
10．（2022·莘县模拟）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022八下·高青期中）若1和2是方程的两根，则
12．（2022八下·余杭月考）请你构造一个二次项系数为 的一元二次方程，使它的两根分别是2和3： .
13．（2022九下·湖南期中）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是 .
14．（2022八下·杭州月考）已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是 ．
15．（2022九下·南召开学考）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 .
16．（2022九下·乐平期中）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 ．
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021九上·金台期末）若 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
18．用公式法解方程2x2+7x-4=0，并用根与系数的关系检验所求的根是否正确.
19．（2021九上·克东期末）已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求m的值．
20．（2021九上·宿迁月考）在等腰 中， 、 、 的对边分别是a、b、c；已知 ，b、c分别是方程 的两个根，试求 的周长.
21．已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个根.
（1）填空：x1+x2= ，x1·x2= ；
（2）求（x1-3）（x2-3）及x12+x22的值.
22．（2021九上·寿阳月考）若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则 ．现已知一元二次方程 的两根分别为m，n．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
23．（2020九上·永定期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
24．（2021九上·龙山期末）阅读理解：
材料一：若一元二次方程（）的两根为，，则，.
材料二：已知实数，满足，，且，求的值.
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料一得，，
∴.
解决问题：
（1）已知实数，满足，，且，求的值；
（2）已知实数，满足，，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为，
又，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，．
故答案为：A．
【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得，据此求解即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的乘法
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1+x2=-m=-2+4=2，∴m=-2，x1x2=n=4，
∴m=-2，n=-8.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，依此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得，据此可得b的值.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，则
，，
∴，，
∴，
故答案为： D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得出，据此即可求出结论.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，
∴
a＋b＝2k，ab＝4k
∴＝12
解得，
当时，
∴符合题意，
当时，
∴不符合题意，应舍去，
综上，k的值是﹣1．
故答案为：A
【分析】利用根与系数的关系求出a＋b＝2k，ab＝4k，再利用a2＋b2＝12，可得＝12，求出k的值即可。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，．
∴．
故答案为：C．
【分析】将所求分式进行通分，得到含有两根之和、两根之积的式子，结合一元二次方程根与系数的关系得出两根之和、两根之积，代入即可求得分式的值。
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2 (m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m> 1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2 (m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或 1，
∵m> 1，
∴m=2．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合可得，最后求出m的值即可。
11．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵1和2是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此求出m、n的值，再代入求解即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 二次项系数为1的一元二次方程的两个根为2和3，
方程为 ，
故答案为： .
【分析】设方程为ax2＋bx＋c＝0，则由已知得出a＝1，根据根与系数的关系得，2＋3＝ b，2×3＝c，求出即可.
13．【答案】x2+x﹣6＝0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设这个方程为ax2+bx+c＝0.
∵该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，
∴a＝1，＝﹣3+2，＝﹣3×2，
∴b＝1，c＝﹣6，
∴这个方程为x2+x﹣6＝0.
故答案为：x2+x﹣6＝0.
【分析】设这个方程为ax2+bx+c＝0，由于该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，可得a=1，再利用根与系数的关系可求b、c的值，从而得解.
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得： α＋β=-1，αβ=-2，
∴α＋β－αβ=-1+2=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出α＋β和αβ的值，将其代入原式计算，即可求出结果.
15．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根，
∴a2+a-2022=0，a+b=-1，
∴a2+a=2022，
∴=（a2+a）+（a+b）+1=2022-1+1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得a2+a=2022，根据根与系数的关系可得a+b=-1，待求式可变形为(a2+a)+(a+b)+1，据此计算.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；中位数；众数
【解析】【解答】解：一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，
中至少有一个是2，
m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，
，
综上所述，或，
这组数据是2，2，3，5，3，2或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是，
故答案为：．
【分析】根据众数的定义可得m、n中至少有一个是2，再利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=7，然后分两种情况求出m、n的值，最后利用中位数的定义求解即可。
17．【答案】解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为
则 ，
，即方程的另一个根为
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=6，据此可得x2，然后根据x1x2=c可得c的值.
18．【答案】解：∵a=2，b=7，c=-4，
∴b2-4ac=72-4×2×（-4）=81>0，
∴x= = ，
∴x1= ，x2=-4
检验：∵x1+ x2= -4= =-
x1·x2= ×（-4）=-2= ，
∴x1= ，x2=-4是原方程的根.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先利用公式法解一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数的关系分别验证即可.
19．【答案】解：∵，是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先求出 ，， 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
20．【答案】解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵ ，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴ ，
此时三角形三边为6，6，3，周长为 ，
综上， 的周长为15.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据根与系数的关系，把b+c和bc表示出来，然后分两种情况讨论，即当a=3为其腰时，当a=3为其底时， 结合等腰三角形的性质分别求出三边长，再根据三角形三边的关系判断三角形是否存在，最后求周长即可.
21．【答案】（1）3；-5
（2）解：∵x1+x2=3，x1·x2=-5，
∴（x1-3）（x2-3）=x1·x2-3（x1+x2）+9
=-5-3×3+9
x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=9+10=19
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1) x1+x2=3，x1·x2= -5；
故答案为：3，-5.
【分析】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，依此解答即可.
(2)分别把原式变形，再整体代入两根之和与两根之积的值，即可计算出结果.
22．【答案】（1）解：∵已知一元二次方程 的两根分别为m，n，
∴ ．
当 时，
，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴
（2）解：当 时，
．
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此即可求解；
（2）由结合已知，代入计算即可.
23．【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k 1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；
（2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。
24．【答案】（1）解：∵s、t满足，，
∴s、t可看作方程的两实数解，
∴s+t=1，st=，
∴==×1=；
（2）解：设t=2q，代入，化简为，
则p与t（即2q）为方程的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴= =13.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，由根与系数的关系可得s+t=1，st=，将待求式变形为st(s+t)，据此计算；
（2）设t=2q，代入2q2=3q+1中可得t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，由根与系数的关系可得p+2q=3，p 2q=-2，将待求式变形为(p+2q)2-2p·2q，据此计算.
1 / 12022-2023学年初数北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步训练
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·章丘期末）关于x的方程x ＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）
A．－3 B．－6 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为，
又，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，．
故答案为：A．
【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得，据此求解即可.
2．（2022·乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的乘法
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
3．（2021九上·新兴期末）若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。
4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m，n的值分别为（ ）
A．m=-2，n=8 B．m=-2，n=-8 C．m=2，n=-8 D．m=2，n=8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1+x2=-m=-2+4=2，∴m=-2，x1x2=n=4，
∴m=-2，n=-8.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，依此解答即可.
5．（2021九上·荆州月考）已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得，据此可得b的值.
6．（2022·绥化模拟）设，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，则
，，
∴，，
∴，
故答案为： D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得出，据此即可求出结论.
7．（2022·宜宾）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．-10 C．3 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
8．（2022·南海模拟）若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3或1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，
∴
a＋b＝2k，ab＝4k
∴＝12
解得，
当时，
∴符合题意，
当时，
∴不符合题意，应舍去，
综上，k的值是﹣1．
故答案为：A
【分析】利用根与系数的关系求出a＋b＝2k，ab＝4k，再利用a2＋b2＝12，可得＝12，求出k的值即可。
9．（2022·梁山模拟）已知是方程的两个实数根，则的值等于（ ）
A． B．6 C．10 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，．
∴．
故答案为：C．
【分析】将所求分式进行通分，得到含有两根之和、两根之积的式子，结合一元二次方程根与系数的关系得出两根之和、两根之积，代入即可求得分式的值。
10．（2022·莘县模拟）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2 (m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m> 1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2 (m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或 1，
∵m> 1，
∴m=2．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合可得，最后求出m的值即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022八下·高青期中）若1和2是方程的两根，则
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵1和2是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此求出m、n的值，再代入求解即可.
12．（2022八下·余杭月考）请你构造一个二次项系数为 的一元二次方程，使它的两根分别是2和3： .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 二次项系数为1的一元二次方程的两个根为2和3，
方程为 ，
故答案为： .
【分析】设方程为ax2＋bx＋c＝0，则由已知得出a＝1，根据根与系数的关系得，2＋3＝ b，2×3＝c，求出即可.
13．（2022九下·湖南期中）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是 .
【答案】x2+x﹣6＝0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设这个方程为ax2+bx+c＝0.
∵该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，
∴a＝1，＝﹣3+2，＝﹣3×2，
∴b＝1，c＝﹣6，
∴这个方程为x2+x﹣6＝0.
故答案为：x2+x﹣6＝0.
【分析】设这个方程为ax2+bx+c＝0，由于该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，可得a=1，再利用根与系数的关系可求b、c的值，从而得解.
14．（2022八下·杭州月考）已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得： α＋β=-1，αβ=-2，
∴α＋β－αβ=-1+2=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出α＋β和αβ的值，将其代入原式计算，即可求出结果.
15．（2022九下·南召开学考）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 .
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根，
∴a2+a-2022=0，a+b=-1，
∴a2+a=2022，
∴=（a2+a）+（a+b）+1=2022-1+1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得a2+a=2022，根据根与系数的关系可得a+b=-1，待求式可变形为(a2+a)+(a+b)+1，据此计算.
16．（2022九下·乐平期中）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；中位数；众数
【解析】【解答】解：一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，
中至少有一个是2，
m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，
，
综上所述，或，
这组数据是2，2，3，5，3，2或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是，
故答案为：．
【分析】根据众数的定义可得m、n中至少有一个是2，再利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=7，然后分两种情况求出m、n的值，最后利用中位数的定义求解即可。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021九上·金台期末）若 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为
则 ，
，即方程的另一个根为
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=6，据此可得x2，然后根据x1x2=c可得c的值.
18．用公式法解方程2x2+7x-4=0，并用根与系数的关系检验所求的根是否正确.
【答案】解：∵a=2，b=7，c=-4，
∴b2-4ac=72-4×2×（-4）=81>0，
∴x= = ，
∴x1= ，x2=-4
检验：∵x1+ x2= -4= =-
x1·x2= ×（-4）=-2= ，
∴x1= ，x2=-4是原方程的根.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先利用公式法解一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数的关系分别验证即可.
19．（2021九上·克东期末）已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求m的值．
【答案】解：∵，是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先求出 ，， 再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
20．（2021九上·宿迁月考）在等腰 中， 、 、 的对边分别是a、b、c；已知 ，b、c分别是方程 的两个根，试求 的周长.
【答案】解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵ ，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴ ，
此时三角形三边为6，6，3，周长为 ，
综上， 的周长为15.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据根与系数的关系，把b+c和bc表示出来，然后分两种情况讨论，即当a=3为其腰时，当a=3为其底时， 结合等腰三角形的性质分别求出三边长，再根据三角形三边的关系判断三角形是否存在，最后求周长即可.
21．已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个根.
（1）填空：x1+x2= ，x1·x2= ；
（2）求（x1-3）（x2-3）及x12+x22的值.
【答案】（1）3；-5
（2）解：∵x1+x2=3，x1·x2=-5，
∴（x1-3）（x2-3）=x1·x2-3（x1+x2）+9
=-5-3×3+9
x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=9+10=19
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1) x1+x2=3，x1·x2= -5；
故答案为：3，-5.
【分析】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，依此解答即可.
(2)分别把原式变形，再整体代入两根之和与两根之积的值，即可计算出结果.
22．（2021九上·寿阳月考）若 是关于x的一元二次方程 的两个根，则 ．现已知一元二次方程 的两根分别为m，n．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：∵已知一元二次方程 的两根分别为m，n，
∴ ．
当 时，
，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴
（2）解：当 时，
．
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，据此即可求解；
（2）由结合已知，代入计算即可.
23．（2020九上·永定期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k 1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；
（2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。
24．（2021九上·龙山期末）阅读理解：
材料一：若一元二次方程（）的两根为，，则，.
材料二：已知实数，满足，，且，求的值.
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料一得，，
∴.
解决问题：
（1）已知实数，满足，，且，求的值；
（2）已知实数，满足，，且，求的值.
【答案】（1）解：∵s、t满足，，
∴s、t可看作方程的两实数解，
∴s+t=1，st=，
∴==×1=；
（2）解：设t=2q，代入，化简为，
则p与t（即2q）为方程的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴= =13.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，由根与系数的关系可得s+t=1，st=，将待求式变形为st(s+t)，据此计算；
（2）设t=2q，代入2q2=3q+1中可得t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，由根与系数的关系可得p+2q=3，p 2q=-2，将待求式变形为(p+2q)2-2p·2q，据此计算.
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