2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．（2022·龙东）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：B．
【分析】设有x支队伍，根据题意列出方程，再求解即可。
2．（2022八下·余姚竞赛）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x（x＞50）元，月销售利润达8000元．则方程为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
B．（x﹣40）（10x﹣500）＝8000
C．（x﹣40）（500﹣10x）＝8000
D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]＝8000
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价为每千克x（x＞50）元，
根据题意得：（x-40）［500-10（x-50）］=8000.
故答案为：A.
【分析】设销售单价为每千克x（x＞50）元，利用利润=每件的利润×售出的件数，列出方程，即可得出答案.
3．（2022八下·温州期中）如图，在长40米，宽30米的长方形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，草坪面积是道路总面积的4倍．设道路的宽为x米，根据题意下面列出的方程正确的是（ ）
A．40x+30x＝40×30×
B．（40﹣x）（30﹣x）＝40×30×
C．40x+30x﹣x2＝40×30×
D．（40﹣x）（30﹣x）＝40×30×
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：把道路进行平移可得草坪面积为一个矩形的面积，
∴矩形的长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m，
∴可列方程为：（40﹣x）（30﹣x）＝40×30×.
故答案为：D.
【分析】把道路进行平移可得草坪长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m，再根据矩形面积公式，结和草坪面积是道路总面积的4倍，即可列出关于x的方程.
4．（2022八下·义乌期中）某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝45
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，由此列方程即可.
5．（2022八下·湖州期中）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x2﹣3x﹣10＝0，
∴x（x﹣3）＝10，
根据“《方图注》”方法可知，
大正方形面积=4×10+32，
∴每个矩形的面积为10，小正方形的面积为9，
∴D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】先把方程变形为x（x﹣3）＝10，再根据“《方图注》”方法可知，小正方形和矩形对应的面积，据此找到对应的图形即可.
6．（2022八下·萧山期中）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）
A．1+x+x2＝400 B．1+2x＝400
C．x+x（1+x）＝400 D．（1+x）2＝400
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得：（1+x）2=400.
故答案为：D.
【分析】 根据题意得出第一轮传染后，共有（1+x）人患病，第二轮传染人数为（1+x）x，再根据经过两轮传染后，患流感的总人数400，得出1+x+x（1+x）=400，即可得出答案.
7．（2022七下·深圳期中）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（），面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C．y=（12-x）x D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x>0），
∴长方形的另一边长为12 x，
∴y=（12 x） x.
故答案为：C.
【分析】根据长方形边和周长的关系代入到面积关系式中，求出函数关系式
8．（2022九下·浦江月考）如图， 一张长方形桌子的桌面长130 cm，宽 60 cm，一块长方形台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布垂下的长度为 cm，则根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设台布垂下的长度为xcm，则台布的长为（130+2x）cm，宽为（60+2x）cm，
依题意，得：（130+2x）（60+2x）＝1.5×130×60，
故答案为：D.
【分析】设台布垂下的长度为xcm，则台布的长为（130+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据台布的面积是桌面面积的1.5倍，即可得出关于x的一元二次方程．
9．某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x）2=442
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据统计图，2月份产量为180，4月份产量为461
设平均月增长率为x
∴180（x+1）2=461
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的实际运用，列出式子即可。
10．扬帆中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为xm，
根据题意得：（30-2x）（20-x）=
×20×30.
故答案为：D.
【分析】设花带的宽度为xm，得出小长方形的长为（30-2x）m，宽为（20-x）m，再根据小长方形的面积是大长方形面积的
，列出方程即可.
二、填空题
11．（2020·大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 。
【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.
【分析】设矩形的宽为x步， 则长为(x+12)步，然后根据矩形面积等于864平方步列方程即可.
12．（2022九下·杭州期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数k的值等于
【答案】
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵，
∴（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c-a＝k（b-a），
∴k2（b-a）2=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a＞0，
∴k2（b-a）=（b-c），
又∵b-c＝（b-a）-k（b-a），
∴k2（b-a）=（b-a）-k（b-a），
∴k2=1-k，
整理，解得：k＝ ，
∵0≤k≤1，
∴k=.
故答案为：.
【分析】先由变形得（c-a）2=（b-a）（b-c），从而得到k2（b-a）2=（b-a）（b-c），化简得k2（b-a）=（b-c），再根据b-c＝（b-a）-k（b-a），整理可得到关于k的一元二次方程k2=1-k，解之并确定符合的k值即可.
13．（2022八下·浙江月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 米．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的AB边长为x，
则BC的长为：45+1+1+1-3x= (48-3x) 米，
由题意得：x (48-3x) =180
∴(x-6)(x-10)=0，
解得：x1=6，x2=10，
∵1< 48-3x≤27， 1∴9∴x=10.
故答案为：10.
【分析】设矩形ABCD的AB边长为x，先含x的代数式表示BC边的长，根据矩形面积等于180平米，建立关于x的一元二次方程求解，结合实际意义确定AB长即可.
14．某年某月的月历表如图所示，在此月历表上可以用个长方形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 .
【答案】144
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设最小的数为x（x＞0），则其它的8个数依次为x+1，x+2，x+7，x+8，x+9，x+14，x+15，x+16，根据题意得
x（x+16）=192
解之：x1=8，x2=-24（舍去）
∴这9个数依次为8，9，10，15，16，17，22，23，24，25.
∴它们的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
故答案为：144.
【分析】观察数据排列的特点：上下相邻的数相差7，左右相邻的数相差1，因此设最小的数为x（x＞0），可表示出其它的8个数，根据最大数与最小数的积为192，列方程，然后求出方程的解，最后求出这9个数的和.
15．（2021九上·临江期末）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场
【答案】5
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 解：设这个航空公司有机场x个，
根据题意得：，
解得x=5或x=-4（不符合题意，舍去），
∴ 这个航空公司共有5个机场.
【分析】设这个航空公司有机场x个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
16．（2021九上·荆州月考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为，面积为，则可列方程为 .（要求：用原始数据列方程，不必化简.）
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为xm，则垂直于住房墙的一边长为 ，根据题意得： .
故答案为：.
【分析】设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为xm，则垂直于住房墙的一边长为，接下来根据矩形的面积=长×宽就可列出方程.
三、解答题
17．（2021·菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【答案】解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，
整理得，
或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】每千克利润=售价-进价，总利润=每千克利润×销售量
解题关键：找等量关系，列出一元二次方程。
18．（2022七下·大同期中）为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，市教育局举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．各学校积极响应组织开展手工绘制精美贺卡活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】解：设长方形信封的长为，则宽为，
依题意，得，
解得，
∴信封的长为，宽为．
∵贺卡为正方形，且面积为，
∴正方形贺卡的边长为．
∵，
∴正方形贺卡的边长小于信封的宽，
∴能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设长方形信封的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意列出方程求出，再求解即可。
19．（2021九上·太原期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．
【答案】解：设每张书签应降价x元．依题意得
，
整理得，
解得x1=0.05，x2=0.2，
答：每张书签应降价0.05元或0.2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张书签应降价x元，根据题意列出方程求解即可。
四、综合题
20．（2021·烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元
（2）解：设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。
21．（2022八下·北仑期中）近几年宁波市推出了“微公交”，“微公交”是国内首创的纯电动汽车租赁服务．它作为一种绿色出行方式，对缓解交通堵塞和停车困难，改善城市大气环境，都可以起到积极作用．据了解某租赁点拥有“微公交”20辆．据统计，当每辆车的年租金为9千元时可全部租出；每辆车的年租金每增加0.5千元，未租出的车将增加1辆．
（1）当每辆车的年租金定为10.5千元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的年租金增加多少千元时，租赁公司的年收益（不计车辆维护等其他费用）可达到176千元？
【答案】（1）解：∵年租金每增加0.5千元时，未租出的车将增加一辆，
∴年租金一共增加了10.5-9=1.5千元，
∴未租出的车辆数为1.5÷0.5=3辆，
∴租出的车辆数为20-3=17辆，
答：当每辆车的年租金定为10.5千元时，能租出17辆；
（2）解：设每辆车的年租金增加x千元，
整理得 ，
x1=-1（舍），x2=2，
答：每辆车的年租金增加2千元时，年收益可达到176千元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出年租一共金增加的租金，由当每辆车的年租金每增加0.5千元时，未租出的车将增加一辆，用增加的租金除以0.5可求出未租出的车辆，进而求得租出的车俩数即可解决问题；
（2）设每辆车的年租金增加x千元，由“每辆车的年租金增加多少千元时，租赁公司的年收益达到176千元”，可列一元二次方程为，解之并确定符合题意的x值，即可解决问题.
22．（2022八下·龙港期中）图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图(长方形)，设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域Ⅰ摆放冰箱，区域Ⅱ为活动区，区域Ⅲ为台面区，其中区域Ⅰ、区域Ⅱ为长方形.现测得FG与墙面BC之间的距离等于HG与墙面CD之间的距离，比EF与墙面AB之间的距离少0.1m.设AE为x（m），回答下列问题：
（1）用含x的代数式表示FG，则FG= m.
（2）当AE为何值时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2
（3）测得JF=0.35m，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，则选择购买 款冰箱更合适.
【答案】（1）（3.2-2x）
（2）解：GH=1.9-（x-0.1）=（2-x）m，
∴（3.2-2x）（2-x）=2.34
解之：x1=0.7，x2=2.9（舍去）
∴x=0.7，
∴当x=0.7时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2.
（3）B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）3100mm=3.1m，1900mm=1.9m
∵AE=xm，DH=（x-0.1）m，
∴FG=AD-AE-DH=3.1-x-（x-0.1）=3.2-2x
故答案为：3.2-2x
（3）由（2）得
EF=GH=2-x=2-0.7=1.3m
EJ=EF-JF=1.3-0.35=0.95m，
EJ=950mm，AE=0.7=700mm，
950-2×20=910mm，
∵910＞908且680＞677，
∴应该选择B冰箱更合适.
故答案为：B.
【分析】（1）用含x的代数式表示出DH的长，根据FG=AD-AE-DH，代入化简，可表示出FG的长.
（2）用含x的代数式表示出GH的长，再根据长方形的面积=长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）将x的值代入计算求出EF，EJ的长，根据要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，利用A，B，C三款冰箱的尺寸，可得答案.
23．（2022九下·江津期中）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A， B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器
和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
【答案】（1）解：设B型空气净化器的进价为x元，则A型空气净化器的进价为（x+300）元，
由题意得
解得x=1200
经检验x=1200 是原方程的解且符合题意
当 x=1200，x+300=1500
答：商社电器应将B型空气净化器的售价定1500元。
（2）解：设B型空气净化器在1800元的基础上降低a个50元，得
（1800-50a-1200）（4+a）=3200
解得a=4
B型空气净化器的售价1800-50a=1600元
答：商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元。
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台B型空气净化器为x元，则A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，可列方程，求解方程即可解决问题；
（2）设B型空气净化器在1800元的基础上降低a个50元， 再根据总利润＝单件利润×销量，可列出方程（1800-50a-1200）（4+a）=3200 ，求解方程解得a，再由1800-50a计算即可求得应将B型空气净化器的售价 ．
24．（2022九下·重庆市期中）冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖.钥匙扣，手办两用冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆.
（1）开售第一天，旗舰店共花费84000元从授权生产厂家购进两种挂件各1000件，其中1件雪容融挂件成本比1件冰墩墩挂件成本少6元，则1件雪容融挂件成本和1件冰墩墩挂件成本分别是多少元？
（2）开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为65元和55元.第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了0.05a元，销售比第一天减少了2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了0.125a件，最终旗舰店第二天销售两种挂件共获利36000元，求a的值.
【答案】（1）解：设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 （x+6）元，
由题意得：1000x+1000（x+6）=84000，
解得：x=39，
x+6=45，
答：1件雪容融挂件成本为39元，则1件冰墩墩挂件成本为45元；
（2）解：由题意知：第一天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出1000件；
第二天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出（1000+0.125a）件；
所以，第二天通过雪容融挂件获利：（1000+0.125a）（55-39）=16（1000+0.125a）=16000+2a；
第一天，1件冰墩墩挂件售价为65元，成本为45元，共售出1000件；
第二天，1件冰墩墩挂件售价为（65+0.05a）元，成本为45元，共售出（1000-2a）件；
所以，第二天通过冰墩墩挂件获利：（1000-2a）（65+0.05a-45）=20000+10a-0.1a2；
∵两件挂件共获利36000元，
∴16000+2a+20000+10a-0.1a2=36000，
整理得：a（a-120）=0，
解得a=120或a=0（舍去） ，
故a的值为120.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 （x+6）元，根据数量×单价=总价结合花费84000元购进两种挂件各1000件列出关于x的方程，求解即可；
（2）根据题意可得第一天、第二天1件雪容融挂件的售价、成本以及数量，根据(售价-成本)×销量可得第二天通过雪容融挂件的利润，同理可得第二天通过冰墩墩挂件的获利，然后根据两件挂件共获利36000元列出关于a的方程，求解即可.
1 / 12022-2023学年初数北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．（2022·龙东）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．（2022八下·余姚竞赛）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x（x＞50）元，月销售利润达8000元．则方程为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
B．（x﹣40）（10x﹣500）＝8000
C．（x﹣40）（500﹣10x）＝8000
D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]＝8000
3．（2022八下·温州期中）如图，在长40米，宽30米的长方形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，草坪面积是道路总面积的4倍．设道路的宽为x米，根据题意下面列出的方程正确的是（ ）
A．40x+30x＝40×30×
B．（40﹣x）（30﹣x）＝40×30×
C．40x+30x﹣x2＝40×30×
D．（40﹣x）（30﹣x）＝40×30×
4．（2022八下·义乌期中）某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
5．（2022八下·湖州期中）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·萧山期中）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）
A．1+x+x2＝400 B．1+2x＝400
C．x+x（1+x）＝400 D．（1+x）2＝400
7．（2022七下·深圳期中）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（），面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C．y=（12-x）x D．
8．（2022九下·浦江月考）如图， 一张长方形桌子的桌面长130 cm，宽 60 cm，一块长方形台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布垂下的长度为 cm，则根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1-x）2=442 D．368（1+x）2=442
10．扬帆中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2020·大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 。
12．（2022九下·杭州期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数k的值等于
13．（2022八下·浙江月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 米．
14．某年某月的月历表如图所示，在此月历表上可以用个长方形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 .
15．（2021九上·临江期末）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场
16．（2021九上·荆州月考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为，面积为，则可列方程为 .（要求：用原始数据列方程，不必化简.）
三、解答题
17．（2021·菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
18．（2022七下·大同期中）为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，市教育局举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．各学校积极响应组织开展手工绘制精美贺卡活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．
19．（2021九上·太原期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．
四、综合题
20．（2021·烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
21．（2022八下·北仑期中）近几年宁波市推出了“微公交”，“微公交”是国内首创的纯电动汽车租赁服务．它作为一种绿色出行方式，对缓解交通堵塞和停车困难，改善城市大气环境，都可以起到积极作用．据了解某租赁点拥有“微公交”20辆．据统计，当每辆车的年租金为9千元时可全部租出；每辆车的年租金每增加0.5千元，未租出的车将增加1辆．
（1）当每辆车的年租金定为10.5千元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的年租金增加多少千元时，租赁公司的年收益（不计车辆维护等其他费用）可达到176千元？
22．（2022八下·龙港期中）图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图(长方形)，设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域Ⅰ摆放冰箱，区域Ⅱ为活动区，区域Ⅲ为台面区，其中区域Ⅰ、区域Ⅱ为长方形.现测得FG与墙面BC之间的距离等于HG与墙面CD之间的距离，比EF与墙面AB之间的距离少0.1m.设AE为x（m），回答下列问题：
（1）用含x的代数式表示FG，则FG= m.
（2）当AE为何值时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2
（3）测得JF=0.35m，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，则选择购买 款冰箱更合适.
23．（2022九下·江津期中）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A， B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器
和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
24．（2022九下·重庆市期中）冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖.钥匙扣，手办两用冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆.
（1）开售第一天，旗舰店共花费84000元从授权生产厂家购进两种挂件各1000件，其中1件雪容融挂件成本比1件冰墩墩挂件成本少6元，则1件雪容融挂件成本和1件冰墩墩挂件成本分别是多少元？
（2）开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为65元和55元.第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了0.05a元，销售比第一天减少了2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了0.125a件，最终旗舰店第二天销售两种挂件共获利36000元，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：B．
【分析】设有x支队伍，根据题意列出方程，再求解即可。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价为每千克x（x＞50）元，
根据题意得：（x-40）［500-10（x-50）］=8000.
故答案为：A.
【分析】设销售单价为每千克x（x＞50）元，利用利润=每件的利润×售出的件数，列出方程，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：把道路进行平移可得草坪面积为一个矩形的面积，
∴矩形的长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m，
∴可列方程为：（40﹣x）（30﹣x）＝40×30×.
故答案为：D.
【分析】把道路进行平移可得草坪长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m，再根据矩形面积公式，结和草坪面积是道路总面积的4倍，即可列出关于x的方程.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝45
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，由此列方程即可.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x2﹣3x﹣10＝0，
∴x（x﹣3）＝10，
根据“《方图注》”方法可知，
大正方形面积=4×10+32，
∴每个矩形的面积为10，小正方形的面积为9，
∴D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】先把方程变形为x（x﹣3）＝10，再根据“《方图注》”方法可知，小正方形和矩形对应的面积，据此找到对应的图形即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得：（1+x）2=400.
故答案为：D.
【分析】 根据题意得出第一轮传染后，共有（1+x）人患病，第二轮传染人数为（1+x）x，再根据经过两轮传染后，患流感的总人数400，得出1+x+x（1+x）=400，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x>0），
∴长方形的另一边长为12 x，
∴y=（12 x） x.
故答案为：C.
【分析】根据长方形边和周长的关系代入到面积关系式中，求出函数关系式
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设台布垂下的长度为xcm，则台布的长为（130+2x）cm，宽为（60+2x）cm，
依题意，得：（130+2x）（60+2x）＝1.5×130×60，
故答案为：D.
【分析】设台布垂下的长度为xcm，则台布的长为（130+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据台布的面积是桌面面积的1.5倍，即可得出关于x的一元二次方程．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据统计图，2月份产量为180，4月份产量为461
设平均月增长率为x
∴180（x+1）2=461
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的实际运用，列出式子即可。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为xm，
根据题意得：（30-2x）（20-x）=
×20×30.
故答案为：D.
【分析】设花带的宽度为xm，得出小长方形的长为（30-2x）m，宽为（20-x）m，再根据小长方形的面积是大长方形面积的
，列出方程即可.
11．【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.
【分析】设矩形的宽为x步， 则长为(x+12)步，然后根据矩形面积等于864平方步列方程即可.
12．【答案】
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵，
∴（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c-a＝k（b-a），
∴k2（b-a）2=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a＞0，
∴k2（b-a）=（b-c），
又∵b-c＝（b-a）-k（b-a），
∴k2（b-a）=（b-a）-k（b-a），
∴k2=1-k，
整理，解得：k＝ ，
∵0≤k≤1，
∴k=.
故答案为：.
【分析】先由变形得（c-a）2=（b-a）（b-c），从而得到k2（b-a）2=（b-a）（b-c），化简得k2（b-a）=（b-c），再根据b-c＝（b-a）-k（b-a），整理可得到关于k的一元二次方程k2=1-k，解之并确定符合的k值即可.
13．【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的AB边长为x，
则BC的长为：45+1+1+1-3x= (48-3x) 米，
由题意得：x (48-3x) =180
∴(x-6)(x-10)=0，
解得：x1=6，x2=10，
∵1< 48-3x≤27， 1∴9∴x=10.
故答案为：10.
【分析】设矩形ABCD的AB边长为x，先含x的代数式表示BC边的长，根据矩形面积等于180平米，建立关于x的一元二次方程求解，结合实际意义确定AB长即可.
14．【答案】144
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设最小的数为x（x＞0），则其它的8个数依次为x+1，x+2，x+7，x+8，x+9，x+14，x+15，x+16，根据题意得
x（x+16）=192
解之：x1=8，x2=-24（舍去）
∴这9个数依次为8，9，10，15，16，17，22，23，24，25.
∴它们的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
故答案为：144.
【分析】观察数据排列的特点：上下相邻的数相差7，左右相邻的数相差1，因此设最小的数为x（x＞0），可表示出其它的8个数，根据最大数与最小数的积为192，列方程，然后求出方程的解，最后求出这9个数的和.
15．【答案】5
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 解：设这个航空公司有机场x个，
根据题意得：，
解得x=5或x=-4（不符合题意，舍去），
∴ 这个航空公司共有5个机场.
【分析】设这个航空公司有机场x个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为xm，则垂直于住房墙的一边长为 ，根据题意得： .
故答案为：.
【分析】设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为xm，则垂直于住房墙的一边长为，接下来根据矩形的面积=长×宽就可列出方程.
17．【答案】解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，
整理得，
或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】每千克利润=售价-进价，总利润=每千克利润×销售量
解题关键：找等量关系，列出一元二次方程。
18．【答案】解：设长方形信封的长为，则宽为，
依题意，得，
解得，
∴信封的长为，宽为．
∵贺卡为正方形，且面积为，
∴正方形贺卡的边长为．
∵，
∴正方形贺卡的边长小于信封的宽，
∴能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设长方形信封的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意列出方程求出，再求解即可。
19．【答案】解：设每张书签应降价x元．依题意得
，
整理得，
解得x1=0.05，x2=0.2，
答：每张书签应降价0.05元或0.2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张书签应降价x元，根据题意列出方程求解即可。
20．【答案】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元
（2）解：设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。
21．【答案】（1）解：∵年租金每增加0.5千元时，未租出的车将增加一辆，
∴年租金一共增加了10.5-9=1.5千元，
∴未租出的车辆数为1.5÷0.5=3辆，
∴租出的车辆数为20-3=17辆，
答：当每辆车的年租金定为10.5千元时，能租出17辆；
（2）解：设每辆车的年租金增加x千元，
整理得 ，
x1=-1（舍），x2=2，
答：每辆车的年租金增加2千元时，年收益可达到176千元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出年租一共金增加的租金，由当每辆车的年租金每增加0.5千元时，未租出的车将增加一辆，用增加的租金除以0.5可求出未租出的车辆，进而求得租出的车俩数即可解决问题；
（2）设每辆车的年租金增加x千元，由“每辆车的年租金增加多少千元时，租赁公司的年收益达到176千元”，可列一元二次方程为，解之并确定符合题意的x值，即可解决问题.
22．【答案】（1）（3.2-2x）
（2）解：GH=1.9-（x-0.1）=（2-x）m，
∴（3.2-2x）（2-x）=2.34
解之：x1=0.7，x2=2.9（舍去）
∴x=0.7，
∴当x=0.7时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2.
（3）B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）3100mm=3.1m，1900mm=1.9m
∵AE=xm，DH=（x-0.1）m，
∴FG=AD-AE-DH=3.1-x-（x-0.1）=3.2-2x
故答案为：3.2-2x
（3）由（2）得
EF=GH=2-x=2-0.7=1.3m
EJ=EF-JF=1.3-0.35=0.95m，
EJ=950mm，AE=0.7=700mm，
950-2×20=910mm，
∵910＞908且680＞677，
∴应该选择B冰箱更合适.
故答案为：B.
【分析】（1）用含x的代数式表示出DH的长，根据FG=AD-AE-DH，代入化简，可表示出FG的长.
（2）用含x的代数式表示出GH的长，再根据长方形的面积=长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）将x的值代入计算求出EF，EJ的长，根据要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，利用A，B，C三款冰箱的尺寸，可得答案.
23．【答案】（1）解：设B型空气净化器的进价为x元，则A型空气净化器的进价为（x+300）元，
由题意得
解得x=1200
经检验x=1200 是原方程的解且符合题意
当 x=1200，x+300=1500
答：商社电器应将B型空气净化器的售价定1500元。
（2）解：设B型空气净化器在1800元的基础上降低a个50元，得
（1800-50a-1200）（4+a）=3200
解得a=4
B型空气净化器的售价1800-50a=1600元
答：商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元。
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台B型空气净化器为x元，则A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，可列方程，求解方程即可解决问题；
（2）设B型空气净化器在1800元的基础上降低a个50元， 再根据总利润＝单件利润×销量，可列出方程（1800-50a-1200）（4+a）=3200 ，求解方程解得a，再由1800-50a计算即可求得应将B型空气净化器的售价 ．
24．【答案】（1）解：设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 （x+6）元，
由题意得：1000x+1000（x+6）=84000，
解得：x=39，
x+6=45，
答：1件雪容融挂件成本为39元，则1件冰墩墩挂件成本为45元；
（2）解：由题意知：第一天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出1000件；
第二天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出（1000+0.125a）件；
所以，第二天通过雪容融挂件获利：（1000+0.125a）（55-39）=16（1000+0.125a）=16000+2a；
第一天，1件冰墩墩挂件售价为65元，成本为45元，共售出1000件；
第二天，1件冰墩墩挂件售价为（65+0.05a）元，成本为45元，共售出（1000-2a）件；
所以，第二天通过冰墩墩挂件获利：（1000-2a）（65+0.05a-45）=20000+10a-0.1a2；
∵两件挂件共获利36000元，
∴16000+2a+20000+10a-0.1a2=36000，
整理得：a（a-120）=0，
解得a=120或a=0（舍去） ，
故a的值为120.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 （x+6）元，根据数量×单价=总价结合花费84000元购进两种挂件各1000件列出关于x的方程，求解即可；
（2）根据题意可得第一天、第二天1件雪容融挂件的售价、成本以及数量，根据(售价-成本)×销量可得第二天通过雪容融挂件的利润，同理可得第二天通过冰墩墩挂件的获利，然后根据两件挂件共获利36000元列出关于a的方程，求解即可.
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