2022-2023学年初数北师大版九年级上册第二章 一元二次方程 章末检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·六盘水月考）解一元二次方程最适宜的方法是（ ）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1），
∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）.
故答案为：C.
【分析】观察方程可得含有公因式(x-1)，据此判断.
2．（2022八下·杭州期中）下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程；
② 此方程是一元二次方程；
③ 此方程是分式方程；
④ 此方程是一元三次方程；
⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程；
⑥，此方程是是一元一次方程；
其中一元二次方程有②.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案.
3．（2021九上·绵阳月考）根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（ ）
x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
x2+5x﹣3 -3.00 -1.69 -0.25 1.31 3.00
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.50
C．0.50＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，
∴方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是0.50＜x＜0.75，
故答案为：C.
【分析】由于方程x2+5x﹣3＝0的解即是函数y=x2+5x﹣3与x轴交点的横坐标，由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，据此即可判断.
4．（2022八下·余姚竞赛）用配方法解方程 x2 + 6x -1 = 0 时，配方结果正确的是（ ）
A．(x - 3)2 = 10 B．(x - 3)2 = 8
C．(x + 3)2 = 8 D．(x + 3)2 = 10
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+6x-1=0，
∴x2+6x=1，
∴x2+6x+9=1+9，
∴（x+3）2=10.
故答案为：D.
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方9，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
5．（2022·瓯海模拟）如图是小明在解方程 x2-2x-1= 0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x-1=0，
∴x2-4x-2=0，
∴x2-4x=2，
∴x2-4x+4=2+4，
∴（x-2）2=6，
∴x=2±，
∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，方程两边都乘以2，将二次项系数化为1，再将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方4，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
6．（2021九上·正定月考）若 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的求根公式为 ，而 是某个一元二次方程的根，
∴ ， ， ，
∴该一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0，
故答案为：D．
【分析】先求出 ， ， ，再计算求解即可。
7．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
8．（2021九上·青龙期中）在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义可将代数式化为，再利用十字相乘法求解即可。
9．（2022·齐河模拟）若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+2mx+m2+3m 2=0的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m 2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2，
x1 (x2+x1)+x22
=-2mx1-2mx2-m2-3m+2
=-2m(x1+x2)-m2-3m+2
=4m2-m2-3m+2
=3m2-3m+2
=3(m-)2+，
∵3≥0，
∴m=时，x1 (x2+x1)+x22的最小值为．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的根可得x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m 2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2，再将x1 (x2+x1)+x22变形为3(m-)2+，最后利用二次函数的性质求解即可。
10．（2022·海珠模拟）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据题意得，
故答案为：C．
【分析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，再利用矩形的面积公式可得。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·龙港期中）写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： .
【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程，
∴x2-3x+5=4-3×2+5=3
∴这个方程可以是x2-3x+2=0.
故答案为：x2-3x+2=0.
【分析】利用已知可以写一个关于x的二次三项式或关于x的二次二项式，将x=2代入可求出其值，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程.
12．（2021九上·潮安期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ．
【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864.
故答案为：x（x+12）＝864.
【分析】由题意可得矩形的长为(x+12)步，然后根据面积=长×宽=864就可列出方程.
13．（初中数学浙教版八下精彩练第二章质量评估卷）若关于
的一元二次方程
通过配方法可以化成
的形式，则
的值可以是 .(写出一个符合要求的
值).
【答案】8(只要满足k≤9)
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程
变形得
，
配方得
，即
，
∴ ，即只要满足
.
故答案为：8(只要满足k≤9)
【分析】先把方程配方得出
，再根据偶次方的非负性得出
，写出一个小于等于9的数即可.
14．（2018九上·建邺月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号Max{a，b}表示a、b中的较大数，如：Max{﹣2，﹣4}=﹣2.按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 的解为 .
【答案】﹣1或1+
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】当x＞0时，
此时Max{x， x}＝x，
∴x＝ ，
解得：x＝1＋ ，x＝1 （舍去）
当x＜0时，
此时Max{x， x}＝ x，
∴ x＝
∴x＝ 1，
故答案为： 1或1＋
【分析】由题意可知，应分两种情况：①当x＞0时，根据新定义可得x＝ ，解方程求出符合条件的x的值即可；②当x＜0时，根据新定义可得 x＝ ，解方程求出符合条件的x的值即可.
15．（2022九下·长沙开学考）三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 .
【答案】15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去；
当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15，
故答案为：15.
【分析】先求出方程的解为x1＝3，x2＝6，分两种情况：第三边长为3或6，根据三角形的三边关系进行解答即可.
16．（2022·海门模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若 ， 满足 ，则m的值为
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，
①当x2≥0时，3x1=x2+2，
，解得 ，
∴m=4；
②当x2＜0时，3x1=2﹣x2，
，解得 ，不合题意，舍去.
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】利用一元二次方程根与系数可得到x1+x2和x1·x2的值；再分情况讨论：当x2≥0时，3x1=x2+2；当x2＜0时，3x1=2﹣x2；分别建立方程组，分别求出x1，x2的值，然后求出m的值.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·锦州期末）用适当方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x＝1；
（2）x2﹣4＝3（x﹣2）．
【答案】（1）解：两边同加．得，
即，
两边开平方，得，
即，或，
∴，
（2）解：，
∴，
∴，
∴，或，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可。
18．（2021九上·淮南月考）当m为何值时，关于x的方程 为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
【答案】解：根据题意得：
解得：m=﹣2．
即原方程为：﹣4x2+8x=0，解得：x1=0，x2=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的含义，求出m的值即可。
19．（2020九上·吴江期中）
（1）根据要求，解答下列问题：
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 .
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性.
【答案】（1）；；
（2）；
（3）解:
，
故猜想正确.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①
（x-1）（x-1）=0
②
（x-1）（x-2）=0
③
（x-1）（x-3）=0
；
（ 2 ）①
（x-1）（x-9）=0
②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为 ；
【分析】（1）利用因式分解法分别解方程即可；
（2）①利用（1）中特征解方程即得；②根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即得；
（3）根据配方法将方程变形为（x-5）2=16，然后利用直接开平方求出方程的解即可.
20．（2021·汝阳模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值.
21．（2021九上·章贡期末）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程是倍根方程；
（2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是 （直接写出结果）
【答案】（1）解：是倍根方程，理由如下：
解方程，
得，，
∵2是1的2倍，
∴一元二次方程是倍根方程；
（2）解：是倍根方程，且，
，或，
∴，或
（3）
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】(3)解：是倍根方程，
，或
即或
或
即或
故答案为：
【分析】（1）利用因式分解法解方程求出 ，， 再求解即可；
（2）先求出 ，或， 再求解即可；
（3）先求出，或，再求出或，最后求解即可。
22．（2019九上·平定月考）阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。
他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解：
将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。
所以(x＋1)2＝36，则 x＝5.
任务：请回答下列问题
（1）上述求解过程中所用的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
（3）运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形
【答案】（1）C
（2）B
（3）解：如图所示，
大正方形边长为x+4，四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16，
而x2+8x 9=x2+8x+16 25=0.
所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1.
【知识点】列式表示数量关系；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法，
故答案为：C.（2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的，
故答案为：B.
【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法；（2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想；（3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题．
23．（2022八下·余姚期中）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件.
（1）若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？
【答案】（1）解：（100﹣60﹣5）×（30+3×5）
＝（100﹣60﹣5）×（30+15）
＝35×45
＝1575（元）．
答：商家平均每天能盈利1575元；
（2）解：设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（30+3x）件，
依题意得：（100﹣60﹣x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵让利于顾客并且商家平均每天能盈利1800元，
∴商家每件应降价20元.
答：每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，列式计算，即可求解；
（2）设每件冰墩墩周边降价x元，每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（30+3x）件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之并确定符合题意的值即可解决问题.
24．（2022八下·长兴期中）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE= ▲ 米；(用含 x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：①45-3x；
②由题意得：x(45-3x)= 132，解得：x1=4，x2=11
当x1=4时，BF=33> BC，∴x1=4舍去；当x2=11时，BF=12< BC，
答：若围成的饲养场BDEF的面积为132 平方米，饲养场的宽EF的长为11米
（2）解：设EF的长为x米，则DE=
则x·=15.6
整理得：x2-20x+104=0，此方程无实根，
∴不能达到
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①∵BD=EF=x，AB=3，
∴AD=x-3，
∴DE-4=38-（x-3）-x-x，
∴DE=（45-3x）米，
故答案为：45-3x；
【分析】（1）①根据题意得出AD=x-3，从而得出DE-4=38-（x-3）-x-x，即可得出答案；
②根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）设EF=x，得出DE=，再根据题意列出方程，得出方程没有实数根，即可得出答案.
1 / 12022-2023学年初数北师大版九年级上册第二章 一元二次方程 章末检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·六盘水月考）解一元二次方程最适宜的方法是（ ）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
2．（2022八下·杭州期中）下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021九上·绵阳月考）根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（ ）
x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
x2+5x﹣3 -3.00 -1.69 -0.25 1.31 3.00
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.50
C．0.50＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
4．（2022八下·余姚竞赛）用配方法解方程 x2 + 6x -1 = 0 时，配方结果正确的是（ ）
A．(x - 3)2 = 10 B．(x - 3)2 = 8
C．(x + 3)2 = 8 D．(x + 3)2 = 10
5．（2022·瓯海模拟）如图是小明在解方程 x2-2x-1= 0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
6．（2021九上·正定月考）若 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
7．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·青龙期中）在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·齐河模拟）若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．
10．（2022·海珠模拟）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·龙港期中）写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： .
12．（2021九上·潮安期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ．
13．（初中数学浙教版八下精彩练第二章质量评估卷）若关于
的一元二次方程
通过配方法可以化成
的形式，则
的值可以是 .(写出一个符合要求的
值).
14．（2018九上·建邺月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号Max{a，b}表示a、b中的较大数，如：Max{﹣2，﹣4}=﹣2.按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 的解为 .
15．（2022九下·长沙开学考）三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 .
16．（2022·海门模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若 ， 满足 ，则m的值为
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·锦州期末）用适当方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x＝1；
（2）x2﹣4＝3（x﹣2）．
18．（2021九上·淮南月考）当m为何值时，关于x的方程 为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
19．（2020九上·吴江期中）
（1）根据要求，解答下列问题：
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 .
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性.
20．（2021·汝阳模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
21．（2021九上·章贡期末）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程是倍根方程；
（2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是 （直接写出结果）
22．（2019九上·平定月考）阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。
他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解：
将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。
所以(x＋1)2＝36，则 x＝5.
任务：请回答下列问题
（1）上述求解过程中所用的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
（3）运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形
23．（2022八下·余姚期中）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件.
（1）若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？
24．（2022八下·长兴期中）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE= ▲ 米；(用含 x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1），
∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）.
故答案为：C.
【分析】观察方程可得含有公因式(x-1)，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程；
② 此方程是一元二次方程；
③ 此方程是分式方程；
④ 此方程是一元三次方程；
⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程；
⑥，此方程是是一元一次方程；
其中一元二次方程有②.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案.
3．【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，
∴方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是0.50＜x＜0.75，
故答案为：C.
【分析】由于方程x2+5x﹣3＝0的解即是函数y=x2+5x﹣3与x轴交点的横坐标，由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，据此即可判断.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+6x-1=0，
∴x2+6x=1，
∴x2+6x+9=1+9，
∴（x+3）2=10.
故答案为：D.
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方9，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x-1=0，
∴x2-4x-2=0，
∴x2-4x=2，
∴x2-4x+4=2+4，
∴（x-2）2=6，
∴x=2±，
∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，方程两边都乘以2，将二次项系数化为1，再将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方4，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的求根公式为 ，而 是某个一元二次方程的根，
∴ ， ， ，
∴该一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0，
故答案为：D．
【分析】先求出 ， ， ，再计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义可将代数式化为，再利用十字相乘法求解即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+2mx+m2+3m 2=0的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m 2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2，
x1 (x2+x1)+x22
=-2mx1-2mx2-m2-3m+2
=-2m(x1+x2)-m2-3m+2
=4m2-m2-3m+2
=3m2-3m+2
=3(m-)2+，
∵3≥0，
∴m=时，x1 (x2+x1)+x22的最小值为．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的根可得x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m 2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2，再将x1 (x2+x1)+x22变形为3(m-)2+，最后利用二次函数的性质求解即可。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据题意得，
故答案为：C．
【分析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，再利用矩形的面积公式可得。
11．【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程，
∴x2-3x+5=4-3×2+5=3
∴这个方程可以是x2-3x+2=0.
故答案为：x2-3x+2=0.
【分析】利用已知可以写一个关于x的二次三项式或关于x的二次二项式，将x=2代入可求出其值，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程.
12．【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864.
故答案为：x（x+12）＝864.
【分析】由题意可得矩形的长为(x+12)步，然后根据面积=长×宽=864就可列出方程.
13．【答案】8(只要满足k≤9)
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程
变形得
，
配方得
，即
，
∴ ，即只要满足
.
故答案为：8(只要满足k≤9)
【分析】先把方程配方得出
，再根据偶次方的非负性得出
，写出一个小于等于9的数即可.
14．【答案】﹣1或1+
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】当x＞0时，
此时Max{x， x}＝x，
∴x＝ ，
解得：x＝1＋ ，x＝1 （舍去）
当x＜0时，
此时Max{x， x}＝ x，
∴ x＝
∴x＝ 1，
故答案为： 1或1＋
【分析】由题意可知，应分两种情况：①当x＞0时，根据新定义可得x＝ ，解方程求出符合条件的x的值即可；②当x＜0时，根据新定义可得 x＝ ，解方程求出符合条件的x的值即可.
15．【答案】15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去；
当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15，
故答案为：15.
【分析】先求出方程的解为x1＝3，x2＝6，分两种情况：第三边长为3或6，根据三角形的三边关系进行解答即可.
16．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，
①当x2≥0时，3x1=x2+2，
，解得 ，
∴m=4；
②当x2＜0时，3x1=2﹣x2，
，解得 ，不合题意，舍去.
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】利用一元二次方程根与系数可得到x1+x2和x1·x2的值；再分情况讨论：当x2≥0时，3x1=x2+2；当x2＜0时，3x1=2﹣x2；分别建立方程组，分别求出x1，x2的值，然后求出m的值.
17．【答案】（1）解：两边同加．得，
即，
两边开平方，得，
即，或，
∴，
（2）解：，
∴，
∴，
∴，或，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】解：根据题意得：
解得：m=﹣2．
即原方程为：﹣4x2+8x=0，解得：x1=0，x2=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的含义，求出m的值即可。
19．【答案】（1）；；
（2）；
（3）解:
，
故猜想正确.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①
（x-1）（x-1）=0
②
（x-1）（x-2）=0
③
（x-1）（x-3）=0
；
（ 2 ）①
（x-1）（x-9）=0
②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为 ；
【分析】（1）利用因式分解法分别解方程即可；
（2）①利用（1）中特征解方程即得；②根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即得；
（3）根据配方法将方程变形为（x-5）2=16，然后利用直接开平方求出方程的解即可.
20．【答案】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值.
21．【答案】（1）解：是倍根方程，理由如下：
解方程，
得，，
∵2是1的2倍，
∴一元二次方程是倍根方程；
（2）解：是倍根方程，且，
，或，
∴，或
（3）
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】(3)解：是倍根方程，
，或
即或
或
即或
故答案为：
【分析】（1）利用因式分解法解方程求出 ，， 再求解即可；
（2）先求出 ，或， 再求解即可；
（3）先求出，或，再求出或，最后求解即可。
22．【答案】（1）C
（2）B
（3）解：如图所示，
大正方形边长为x+4，四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16，
而x2+8x 9=x2+8x+16 25=0.
所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1.
【知识点】列式表示数量关系；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法，
故答案为：C.（2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的，
故答案为：B.
【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法；（2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想；（3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题．
23．【答案】（1）解：（100﹣60﹣5）×（30+3×5）
＝（100﹣60﹣5）×（30+15）
＝35×45
＝1575（元）．
答：商家平均每天能盈利1575元；
（2）解：设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（30+3x）件，
依题意得：（100﹣60﹣x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵让利于顾客并且商家平均每天能盈利1800元，
∴商家每件应降价20元.
答：每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，列式计算，即可求解；
（2）设每件冰墩墩周边降价x元，每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（30+3x）件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之并确定符合题意的值即可解决问题.
24．【答案】（1）解：①45-3x；
②由题意得：x(45-3x)= 132，解得：x1=4，x2=11
当x1=4时，BF=33> BC，∴x1=4舍去；当x2=11时，BF=12< BC，
答：若围成的饲养场BDEF的面积为132 平方米，饲养场的宽EF的长为11米
（2）解：设EF的长为x米，则DE=
则x·=15.6
整理得：x2-20x+104=0，此方程无实根，
∴不能达到
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①∵BD=EF=x，AB=3，
∴AD=x-3，
∴DE-4=38-（x-3）-x-x，
∴DE=（45-3x）米，
故答案为：45-3x；
【分析】（1）①根据题意得出AD=x-3，从而得出DE-4=38-（x-3）-x-x，即可得出答案；
②根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）设EF=x，得出DE=，再根据题意列出方程，得出方程没有实数根，即可得出答案.
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