课件19张PPT。分数指数幂（1）问 题
某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果分裂一次要10min，那么1个细胞1h后分裂成多少个？解:设细胞分裂的次数为x，相应的细胞个数为y，则细胞1h分裂的次数为6，相应的细胞个数26=64.说明:2x中的x可以是负整数和0；
当指数是整数时，幂的性质如下： y =2x. x?N*运算性质 ( a≠0，b≠0，s、t?Z )
① x0＝1 (x≠0)；
② x－t＝ (x≠0)；
③ as·at＝as＋t， ＝as－t；
④ (as)t＝ast；
⑤ (ab)t＝atbt．问题：2x 中的x可以是负整数和0，可以进一步推广到分数或无理数吗？如果x2＝a，则称x为a的平方根；
如果x3＝a，则称x为a的立方根．x＝± ，a≥0
x＝ ，a?R根式的概念1.平方根与立方根?如果一个实数x满足xn＝a (n＞1，n?N*)，
那么称x为a的n次实数方根．
（1）n为奇数时，a的n次实数方根为 ；
（2） n为偶数时，正数a的n次实数方根为 ；
（3） 0的n次实数方根为0．2. n次实数方根 问题：根据n次方根定义，填空：
（1）25的平方根是 ；
（2） 3的平方根是 ___________ ；
（3）-27的立方根是 ；
（4）-32的5次方根是 ；
（5）16的4次方根是 ；
（6）6的4次方根是 __________;
（7）a6的3次方根是 ；
（8）0的9次方根是 . ±5-3-2±2a20例1：求下列各式的值 （1） ( )n＝a
当n为正奇数时，a?R；
当n为正偶数时，a≥0．
（2） ＝
（3）式子 叫做根式，其中n叫做根指数， a叫做被开方数． a ，n为正奇数，
｜a｜，n为正偶数．3.方根的性质练习
1．若 ，
则实数a的取值范围为( )
A．a?R B．a＝
C．a?[ ，＋?) D．a?(－?， ]
2．D＝5＝－2＝16＝8分数指数幂?规定：
——正数a的正分数指数幂
其中m为被开方数的指数，n为根指数．
——正数a的
负分数指数幂
*注：分数指数幂是根式的一种新的表示形
式．1.分数指数幂的概念( a＞0 ， ) m、n?N* ?规定：
注：0的负分数指数幂没有意义.m、n?N* 为了防止产生歧义，规定a＞0.问题：用根式表示下列各式
练习：P47 12.运算性质 ( a＞0，b＞0，s、t?Q )
① as·at＝as＋t；
② (as)t＝ast；
③ (ab)t＝atbt．
例2 求下列各式的值： 例3 ：将下列根式化为指数幂的形式
根式→指数小 结( a＞0 ， ) m、n?N* 2.运算性质 ( a＞0，b＞0，s、t?Q )
① as·at＝as＋t；② (as)t＝ast；③ (ab)t＝atbt．1.作 业1、 P 48
练习：3
习题：1 2
2、评价手册：P39~P40课件14张PPT。分数指数幂（2）（1） ( )n＝a
当n为正奇数时，a?R；
当n为正偶数时，a≥0．
（2） ＝
a ，n为正奇数，
｜a｜，n为正偶数．1.方根的性质?规定：
——正数a的正分数指数幂
其中m为被开方数的指数，n为根指数．
——正数a的
负分数指数幂
2.分数指数幂的概念( a＞0 ， ) m、n?N* ?规定：
注：0的负分数指数幂没有意义.m、n?N* 规定a＞0.2.运算性质 ( a＞0，b＞0，s、t?Q )
① as·at＝as＋t；
② (as)t＝ast；
③ (ab)t＝atbt．
练习 ：将下列根式化为指数幂的形式根式→指数例1．计算：
（1）
（2）例2．化简下列各式：（1）（2）练 习P48 练习： 4（1）（2） （3） 习题 ：4 （4） （5） 例3．已知 求： （1）（2）（3）例4．解方程：
① 2×4x＝16
② －1＝15 例5．
已知: 8x＝2，8y＝3，8z＝5，
求 83x－2y＋z 的值．
( a＞0 ， ) m、n?N* 2.运算性质 ( a＞0，b＞0，s、t?Q )
① as·at＝as＋t；② (as)t＝ast；③ (ab)t＝atbt．1.小 结作 业1、P48 习题 4 ，5, 6(2)(4)．
2、评价手册：P41~P42课件12张PPT。指数函数(1)创设情境 一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的一半，第二次剪掉剩余绳子的一半，…，剪了x次后剩余绳子的长度为y米，试写出y和x的函数关系． 数学理论这两个函数有什么共同的特点？数学理论问题１ 那么指数函数的定义域是什么？问题２ 函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？问题３ 函数y＝2·3x和y＝23x是不是指数函数？ 指数函数的定义：数学理论① 它们有哪些共同的性质？
② 它们有什么不同的性质？
③ 它们各自在平面直角坐标系中的图像有什么特点？
如：y＝2x 与y＝ x 的图象有什么关系？
更靠近y轴的图象有什么特点？观察y＝2x y＝10x y＝ x y＝ x
的图象，思考下列问题：数学理论 一般地，指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：(1) 定义域为：R(2) 值域为：（0，+∞）(3)图象恒过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 (4) R上的增函数 (4) R上的减函数数学理论
① 注意指数的图象只能位于x轴上方；
② 函数图象均过定点（0，1）；
③ 函数图象向下逐渐接近x轴，但不能和x轴相交；
④ 图象经过（1，a）点。
0
a>1 单调增函数如何快速画出指数函数的简图？例题讲解说明：
虽然指数函数 （1）分式的分母为能为0；
（2）偶次根式的被开方数大于或等于0；
（3）0的0次幂没有意义；
（4）在实际问题中必须使实际问题有意义．的定义域R，但是在求例1：求下列函数定义域： 与指数函数有关的复合函数的定义域时，必须注意以前我们求函数定义域时的一些限制条件：例题讲解例2 试比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.52.5 1.53.2
（2）0. 51.2 0. 51.5
（3）1.50.3 0.81.2 一般情况下是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如（1）（2）．
当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，常用来过渡的值有0或±１等．课堂总结1、指数函数的定义：
函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫做指数函数．2、指数函数的图象和性质：
(1)指数函数的定义域和值域均为R，图象 恒过点（0，1），
(2)当0＜a＜1时，指数函数在R上递减；
当a＞1时，指数函数在R上递增．3、利用指数函数的性质进行大小比较．练 习P52 1 2 3 5３、补充：求下列函数定义域：作 业１、P52 2 P54 2、 4 ２、评价手册 Ｐ４３ １、２、３、６ 课件17张PPT。指数函数(2)y=ax图象和性质：(1) 定义域为：R(2) 值域为：（0，+∞）(3)图象恒过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 (4) R上的增函数 (4) R上的减函数例题讲解例1 （1）已知 3x≥30.5，求实数x的取值范围；
（2）已知0.2x＜25，求实数x的取值范围．
（3）2x+2 - 6×2x-1 >1
（4）3×25x - 5×9x ＜0说明
本例是指数函数单调性质的应用．例题讲解例2 函数若f(x)>g(x),求x的取值范围.(a>0且a≠0)注意: 对a分类讨论问题: f(x)＝x2（1）f(x)－1=（2）f(x－1)= ( x-1 ) 2x2 -1它们的图象有什么关系?f(x) 与 f(x) ±h 呢？f(x) 与 f(x ±h) 呢?如果 f(x)=2x ( 或 y=2x）
你能猜出它们图象之间的关系吗？f(x+2)=2x+2f(x-2)=2x-2( 或 y=2x+2）( 或 y=2x-2）通过上面的讨论，你能得出
y=ax 与 y=ax+h
的图象之间的关系吗？ h>0 :
h<0:把y=ax的图象向左平移h个单位把y=ax的图象向右平移h个单位如果是 y=ax+h 呢？平移变换函数y＝ax 与y＝a－x 的图象关于y轴对称；结论：
y＝ax 与 y＝a－x 的图象关于y轴对称；
y＝ax 与 y＝－ax 的图象关于x轴对称；
y＝ax 与 y＝－a－x 的图象关于原点对称． y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称；对称变换y＝2x与y＝－2x的图象y＝2x 与y＝－2－x的图象关于x轴对称关于原点对称．填空： (1)把y＝10x的图象向右平移1个单位，得到____的图象；
(2)把y＝10x的图象向下平移1个单位，得到____的图象；
(3)y＝10x的图象与 的图象关于x轴对称；
(4)y＝10x的图象与 的图象关于y轴对称；
(5)y＝10x的图象与 的图象关于原点对称；
(6)y＝10x的图象与 的图象相同．(1)(3)(2)(5)(4)(6)例3 函数y＝3x的图象经过怎样的变换，可得到函数y＝3x＋1＋1的图象，并画出它的图象．解：把函数y＝3x的图象向左平移一个单位得到函数y＝3x＋1的图象；
再把函数y＝3x＋1的图象向上平移1个单位就得到函数y＝3x＋1＋1的图象。例题讲解课堂小结 1、利用指数函数的单调性求范围。
2、图象变换问题．平移变换对称变换y=ax y=ax+h y=ax+hf(x) f(x ±h ) f(x) ±hy＝ax y＝a－x y＝－ax y＝－a－x课后思考 函数y＝2x ，y＝2|x|和y＝2|x－2|图象之间有什么关系吗？
你能利用图象的变换得到后面两个函数的图象吗？作 业P52 4
P55 5 7
评价手册 P45-P46
一般地，
（1）y＝f(x) 与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
（2）y＝f(x) 与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
（3）y＝f(x) 与函数y＝－f(－x)的图象关于原
点对称．对称变换课堂小结 1、利用指数函数的单调性求范围。
2、图象变换问题．平移变换对称变换y=ax y=ax+h y=ax+hf(x) f(x ±h ) f(x) ±hy＝f(x) y＝f(－x) y＝－f(x) y＝－f(－x)y＝ax y＝a－x y＝－ax y＝－a－x课件13张PPT。指数函数(3)作业问题1、求函数的定义域3、底数与图象的关系平移变换对称变换y=ax y=ax+h y=ax+hf(x) f(x ±h ) f(x) ±hy＝ax y＝a－x y＝－ax y＝－a－xA B C DB 3、函数y＝2x ，y＝2|x|和y＝2|x－2|图象之间有什么关系吗？
你能利用图象的变换得到后面两个函数的图象吗？（1）y＝2|x| 是奇函数还是偶函数？（2）如果f(x) =2|x| 那么f(x -2 )=2|x－2|图象该怎么变换？图象怎么画？说出它的值域和单调区间课后思考含 ax 、a-x 的函数例题讲解例1 判断 f(x) = ax+ a－x (a＞0，a≠1)的奇偶性，并证明． 变式1：判断f(x)=ax－a－x(a＞0，a≠1)的奇偶性． （奇） （偶） 变式2：判断 f(x)= （a＞0，且a≠1）
的奇偶性． 例2 已知函数f(x)=
（1）求函数的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；
（3）判断f(x)的单调性，并加以证明．例3．若 f(x)是奇函数，在(0, +∞)上 f(x)=2x-1 ，当在(-∞ , 0) 时，求f(x)的表达式 ．例4．若指数函数 y=ax 在[1，2]上的最大值减去最小值是2，求 a 的值．作 业书P55 6 8 9
评价手册
P44 5
P46 3 4 5 课件11张PPT。指数函数(4)例题讲解例1 截止到1999年底我国人口约13亿．如果今后能将人口平均增长北控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少（精确到亿）？解 设经过x年后，我国人口数为y(亿)． 经过1年，即2000年底，人口约为经过2年，即2001年底，人口约为 13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%=13(1＋1%)2（亿）；经过3年，即2002年底，人口约为 13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%=13(1＋1%)3（亿）； …所以，经过x年，人口数为y＝13(1＋1%)x＝13×1.01x(亿)．1999年底，我国人口约为13亿；13＋13×1%=13(1＋1%)（亿）；当x＝20时 ，y＝13×1.0120≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数约为16亿． 例题讲解点评 （1）在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型， 设原有基数（如本例中的1999年底的人口数）为m，平均增长率为p，则对于经过时间x后的数值y要以用y＝m(1＋p)x表示．我们把形如y＝kax(k∈R，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．（2）对于实际应用问题还有两点必需注意：一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度；二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义．课堂训练 2000－2002年，我国年国内生产总值年平均增长7.8%左右，按照这个速度，从2000年开始，x年后我国年国内生产总值为y，y与x的函数关系为_______________．解 设2000年年初国内生产总值为，则 （N*）． 例题讲解例2 某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y=kat的图象．
（1）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效，若某病人第一次服药时间为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？
（2）若按（1）中最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到0．1微克）例题讲解解 （1）由题，当0≤t＜1时，y=8t，
当t≥1时，把A，B两点的坐标代入y=kat，解得所以y= 因此第二次服药最迟应在第一次服药5小时后，即上午11时． 答：第二次服药最迟应该在当天的11点钟． 例题讲解（2）第二次服药3小时后，每毫升血液中含第一次所服药的药量为 每毫升血液中含第二次所服药的药量为 因此该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．答：第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．例题讲解例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84％．画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留一个有效数字)．解设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y． 经过1年，剩留量y=1×84%=0.841； 经过2年，剩留量y=0.84×0.84=0.842；……一般地，经过x年，剩留量为:y=0.84x（x＞0）．根据这个函数关系可以列表如下：画出指数函数y=0.84x的图象(如图)．从图上看出y=0.5只需x≈4．答：约经过4年，剩留量是原来的一半．例题讲解例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r设存期是x，本利和为y元．
（1）写出本利和随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2．25%，试计算第5期后的本利和．解（1）已知本金为a元，利率为r，则 1期后的本利和为 y=a+ar=a(1+r) ， 2期后的本利和为 y=a(1+r)+a(1+r)r =a(1+r)2 ， 3期后的本利和为 y=a(1+r)2+a(1+r)2r =a(1+r)3 ， …… x期后的本利和为 y=a(1+r)x， (2) 将a=1000，r=2.25%, x=5代入，得 y=1000(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元)，即第5期后的本利和约为1117.68元．课堂训练例5 对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽树苗，也可让其继续生长5年，按10年的情形考虑哪一种方案可获得较大的木材量．解设新栽树苗的木材量为a，则10年后有两种结果: （1）连续生长10年，木材量为M=a(1+18%)5(1+10%)5． （2）生长5年后重栽，木材量为N=2a(1+18%)5． 所以N＞M，因此生长5年后重载可获得更大木材量． 说明 （1）1.15＝1.61051．
（2）也可作差N－M＝a(1＋18)5(2－1.1)5>0．课堂总结通过这节课的学习我们可以体会到指数型函数：
y＝kax(k∈R，a＞0，且a≠1)是非常有用的函数模型，
在实际生活中有着广泛的应用.课件13张PPT。某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.问题情境:实际问题需要注意定义域指数函数的应用例按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x.
（1）试写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？新课讲解思考：
（1）第几期后的本利和超过本金的1.5倍？
（2）要使10期后的本利和翻一番，利率应为多少？（精确到0.001)1、南钢集团今年生产钢铁a万吨，在今后的8年内，计划使年产量平均每年比上一年增加P%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.练一练:解：设年产量经过x年增加到y万吨，y=a(1+P%)x(x∈N*且x≤8)解：设成本经过x年降低到y元，2、南京肉联厂生产的牛肉成本每公斤a元，在今后6年内，计划使每公斤成本平均每年比上一年降低P%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.y=a(1-P%)x(x∈N*且x≤6) 3、2000~2002年,我国国内生产总值年平均增长7.8%左右.按照这个增长速度,画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍.
(结果取整数)练一练:增长率问题的函数模型 如果原来的基础数为a,平均增长率为 p%，则关于时间x的总量y可表示为：
总量基础数平均增长率时间y=a(1+p%)x小
结 函数应用题的解题步骤可以用下面的框图表示:数学模型的解实际应用问题数学模型 第一步：弄清题意，理顺关系；
(审题) 第二步：引入变量，建立函数关系式；
(建模) 第三步：解决这个已转化成的函数问题；
(求解) 解函数应用问题的基本步骤: 第四步：将所得结论转译成具体问题的解答
(还原)作业：
1、P55 3 10
2、截止到1999年底，我国人口约13亿，如果能将人口的年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国的人口最多为多少（精确到亿）
3、评价手册 P47 —P48
一片树林中有木材30000m3,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材ym3,写出x,y间的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到40000m3 .
(结果保留一个有效数字)交流探讨 复利是一种计算利息的方法，即:
把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。
小知识：利滚利