2007年3月上海市复旦附中专题测试（函数与方程）[下学期]

2007年3月上海市复旦附中专题测试（函数与方程）
本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。
班级＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿　姓名____________　得分____________
一、填空题（本大题满分48分）本大体共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数y =x2－x+2(x≤0)的反函数是______________。
2．函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x－θ)为偶函数，则θ=_______________。
3．若f(x－1)=x2－4x，则f(x+1)=0的解集是_______________。
4．方程(log3x)2－log3x2－2=0的两根是α、β，则logαβ+logβα= 。
5．已知函数f(x)=x2，集合A={x| f(x+1)=ax, x∈R}，且A∪R+=R+，则实数a的取值范围是________________。
6． 已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax－a +2，且g(b)=a，则f(2)等
于______________。
7．设f(x)=，则f－1(2)等于_____________。
8．若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=ex，则g(x)为___________。
9．在首项为正数的等差数列{an}中，Sn表示前n项和，若S4=S10，那么要使Sn最大，则应使n= 。
10．若指数方程9x+(4+a)3x+4=0有解，则a的取值范围是 。
11．如果存在x∈(0, )，使cos2x－sinx+a=0成立 ，则实数a的取值范围是_____。
12．设f(x)=4x－2x+1, x∈,用下列方法求f－1(0)：
① f－1(0)=(40－20+1)－1=－1；
②由观察得x=1时, f(1)=0, ∴ f－1(0)=1；
③ 由y=4x－2x+1=(2x－1)2－1得2x=1±, ∴ f－1(x)=log2(1±),
∴ f－1(0)=1或f－1(0)无意义；
④ 求f－1(0)即求f(x)=0所对应的x的值，由4x－2x+1=0，解得x=1, ∴f－1(0)=1；
⑤ f－1(x)=log2(1+),∴f－1(0)=1,
其中不正确的解法的序号是____________(把你认为不正确的命题序号都填上)。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．已知sinθ=, cosθ=，其中<θ<π，则实数m的取值范围是
（A）314．方程log3x+x=3的解所在的区间是 ( )
（A）(0, 1) （B）(1, 2) （C）(2, 3) （D）(3, +∞)
15．数列{an}中的a1=－56, an+1=an+12，当该数列前n项和最小时，n的值应是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）5或6 ( )
16．设x0是方程lg=x2的一个实根，则x0范围属于 ( )
（A）(0, ) （B）(, 1) （C）(1, 2) （D）(1, +∞)
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）如果函数y =的最小值是－1，最大值是4，求a、b的值。
18．（本题满分12分）若关于x的方程lg(ax－1)－lg(x－1)=lg(x－2)有实数解，求实数a的取值范围。
19．（本题满分14分）已知对于x的所有值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12 (a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程=|a －1|+2的根的取值范围。
20．（本题满分14分）关于x的方程有实根，且根小于3，求实数a的范围．
21．（本题满分16分）已知是定义域上的奇函数。
求实数的值；
求的反函数；
对任意给定的，解不等式。
22．（本题满分18分）如果函数同时满足：①在定义域D内单调递增或递减；②存在区间，使得当时，函数的值域也为。则称函数是区间上的闭函数。
①．若函数是区间上的闭函数，求区间；
②．判断函数在区间上是否为闭函数，说明理由；
③．若函数在区间上是闭函数，求实数的取值范围。
上海市复旦附中专题测试答案（函数与方程）
一、1．y =1－(x≥2) 2．kπ－, k ∈Z 3．{－2, 2} 4． 5．(0, +∞)
6． 7．－ 8．(ex－e－x) 9．7 10．(－∞, －8 11． 12．①③
二、13．D 14．C 15．B 16．B
三、17．由y=得： ∵
∴…………（1）
由题意知不等式(1)的解为：
由韦达定理得： a=±4, b=3
18．解：原方程等价于如下条件方程：
19．解：∵的值恒为非负 ∴
(1)．当时：
(2)．当时：
由(1) (2)知方程根的范围为：。
20．解：先将原方程化简为ax=3，但要注意0????若将ax=3变形为，令，现研究指数函数a=3t，由021．解：①．∵函数的定义域是R ，由奇函数的定义知：
②．由①得： ∴
③．由得：

(1)当时，原不等式的解集为区间；
(2) 当时，原不等式的解集为区间。
22．解：①．因为函数是R上是递减函数，由闭函数的定义得：
∴ 所求的区间为:
②． ∵当 ， ，
∴函数在区间上不是单调函数，故不是闭函数。
③．∵函数在区间上是单调递增函数。
由闭函数的定义有：
∴实数是方程的两个不同的实根。
即函数与函数的图象在区间 上有两个不同的交点。
如图易求出