2022年苏科版九年级数学上册暑假预习 第1章 预习7 用 一元二次方程解决问题 学案（有答案）

苏科版九年级数学上册暑假预习学案
第1章 一元二次方程
预习7 用一元二次方程解决问题
预习指导：预习教材P24-P29
用一元二次方程解决问题
1.数字问题：解决此类问题，一般设出未知数，用未知数表示数字，然后根据题目中的等量关系列出
一元二次方程，求解即可.
2.面积问题：此类问题一般从图形的面积找相等关系.
3.平均增长(下降)率问题：设增长(下降)前的起始量为a,平均增长(下降)率为x,增长次数为2，
增长(下降)后的结果量为b,则a(1±x)2=b.
4.销售问题：此类问题一般与利润有关，常用的公式有：
(1)利润=售价－进价(成本价)；
(2)利润率=＝；
(3)售价=进价×(1+利润率)；
(4)实际售价=标价×；
(5)总利润=总售价－总成本=单件利润×总销量.
5.图形问题：此类问题一般根据图形的特点，常利用勾股定理作为列方程的依据.
思考
连续的三个整数如何表示？连续的三个偶数呢？连续的三个奇数呢？
答：____________________________________________________________。
例一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采
取了降价措施.在每件盈利不少于30元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，
平均每天可多售出1件.
(1)若降价7元，则平均每天销售数量为________件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
预习反馈
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1.新能源汽车越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2021年销量为136.7万辆，销量逐年增加，预计到2023年销量达到500万辆.若年平均增长率为x,则可列方程为 ( )
A.136.7(1+x)2=500 B.500(1－x)=136.7 C.136.7(1+2x)=500 D.136.7(1+x2)=500
2.某种商品的进价为10元，当售价为x元时，能销售该商品(x+10)个，此时获利1500元，根据
题意，下列方程正确的是 ( )
A.x(x+10)=1500 B.(x－10)(x+10)=1500 C.(x+10)2=1500 D.10(x－10)－x=1500
3.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方正好等于这个两位数，这个两位数是________。
4.某部电影一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x,则可列方程为________________________________。
5.如图，靠墙建一个面积为100平方米的仓库，并在与墙平行的一边开一道宽1米的门，现有长28米的木板，设仓库宽为x米，根据题意，所列方程为________________________。
6.某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低.1元，那么商场平均每天多售出100张.商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
7.某小区在绿化工程中有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
8.2021年国庆期间，某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费115元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出.旅店需对居住的每个床位每天支出15元的费用，每张床位定价为多少元时，当天的利润为11200元？设每张床位定价为x元，则有 ( )
A.(x－15)(100－)=11200 B.(115+x－15)(100－)=11200
C.x(100－)－100×15=11200 D.(x+115)(100－)－100×15=11200
9.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉人木板的钉子的长度后一次为前一次的k(0A.+ k+k2＝1 B.+k＝1 C.k+k2＝1 D.+k＝1
10.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，则原来的两位数是________。
11.如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙脚C的距离为0.7m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m,那么点B将向外移动多少米？
12.某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.
(1)设每张票价增加x元，则现在可售出门票的张数为________；(用含有x的代数式表示)
(2)要使门票收入达到36750元，票价应定为多少元？
13.李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形
(1)要使这两个正方形的面积和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由.
14.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P、0、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向
在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知
在相同时间内，若B0=xcm(x≠0)，则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.当x为何值时，以
PQ、MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形？
【参考答案及解析】
预习7 用一元二次方程解决问题
【预习指导】
思考：设中间的数为x,则连续的三个整数可表示为x－1、x、x+1；连续的三个偶数可表示为x－2、x、x+2；连续的三个奇数可表示为x－2、x、x+2
例(1)34
解析：7÷0.5+20=14+20=34(件).所以若降价7元，则平均每天销售数量为34件.
(2)设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，由题意得(40－x)(2x+20)=1050,解得x1=5,x2=25.当x=25时，40－x=40－25=15<30,故不合题意，舍去.所以当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元.
【预习反馈】
1.A 2.B
3.25或36
4.8(1+x)2=11.52
5.x(28－2x+1)=100
6.设每张贺年卡应降价x元，由题意可得(0.3－x)(500+1000x)=120,解得x=0.1(负值舍去).
答：每张贺年卡应降价0.1元.
7.设人行通道的宽度为x米，根据题意得(18－3x)(6－2x)=60,解得x=1或x=8(不合题意，舍去).
答：人行通道的宽度是1米.
8.A
9.A
解析：第一次进入木板的铁钉长度为，第二次进入木板的铁钉长度为子k,第三次进入木板的铁钉长度为k2，所以+k +k2=1故选A
10.23或32
解析：设原来的两位数十位上的数字是x,则个位上的数字是5－x,由题意得[10x+(5－x)]·[10(5－x)+x]=736,解得x=2或x=3.当x=2时，5－x=3,符合题意，原来的两位数是23；当x=3时，5－x=2,符合题意，原来的两位数是32，所以原来的两位数是23或32.
11.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= =
=2.4(m).设点B将向外移动xm.根据题意，得(x+0.7)2+(2.4－0.4)2=2.52,解得x1=0.8,x2=－2.2(舍去).
答：点B将向外移动0.8m.
12.(1)1200－30x
(2)依题意，得(30+x)(1200－30x)=36750,整理得x2－10x+25=0,
解得x1=x2=5,∴30+x=35.
答：票价应定为35元.
13.(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(10－x)cm.
根据题意，得x2+(10－x)2=58.
解得x1=3,x2=7.
当x=3时，10－x=7；当x=7时，10－x=3.
∴这两个正方形的周长分别为4×3=12(cm),4×7=28(cm).
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段.
(2)李明的说法正确.理由如下：
设其中一个正方形的边长为ycm,则另一个正方形的边长为(10－y)cm.
根据题意，得y2+(10－y)2=48,
∴y2－10y+26=0.
∵b2－4ac=(－10)2－4×1×26=－4<0,此方程没有实数根.
∴这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.
∴李明的说法是正确的
14.当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ、MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时，由x2+2x=20,得x1=－1,x2=－21－1(舍去).
∵BQ+CM=x+3x=4(－1)<20,此时点Q与点M不重合，∴x=－1.
②当点Q与点M重合时，由x+3x=20,得x=5.
此时DN=x2=25>20,不符合题意，
故点0与点M不能重合.
综上所述，所求x的值为－1.