2022-2023学年人教版八年级数学上册暑假预习 第十一章 学时1 与三角形有关的线段 学案（有答案）

第十一章 三角形
学时1 与三角形有关的线段
预习指导：预习教材P2-P7
一、三角形及其相关概念
1.概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.表示方法：三角形用符号“△”来表示，三角形ABC表示为△ABC.
3.构成元素：如图，(1)边：三角形ABC的3条边可分别表示为AB,AC,BC.AB可用边AB所对的∠C的小写字母c表示，同理AC可用b表示，BC可用a表示.
(2)角：三角形ABC的3个内角可分别表示为∠A,∠B,∠C.
(3)顶点：三角形ABC的3个顶点可分别表示为点A、点B、点C.
思考：
回顾以前所学，初中三角形定义和小学有什么不同？
答：________________________________________________________________________________。
二、三角形的分类
三角形按边划分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形又可以分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形.
思考：
除了按边来分类外，还可以用什么标准来划分？(写出分类结果)
答：________________________________________________________________________________。
三、三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边.(依据原理：两点之间，线段最短)
思考：
三角形两边的差与第三边的关系是什么呢？
答：________________________________________
例1用一条长为32cm的细绳围成一个等腰三角形
(1)如果腰长是底边长的3.5倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是8cm的等腰三角形吗？为什么？
四、三角形的高、中线与角平分线
1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
3.三角形的角平分线：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
思考
三角形的三条角平分线交于一点吗？三角形的三条高呢？
答：____________________________________________________________。
例2如图，在△ABC中，
(1)由AE是中线，得到BE=________；
(2)由AD是角平分线，得到∠BAD=________；
(3)由AF是高线，得到________＝________=90°.
五、三角形的稳定性
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性
思考
如何增加四边形物体的稳定性？
答：________________________________________________________________________________。
预习反馈
检验一下你的预习成果！
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 ( )
2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是 ( )
A.3 cm,4 cm,8 cm B.8 cm,7 cm,15 cm C.10 cm,10 cm,1 cm D.5 cm,5 cm,11 cm
3.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是 ( )
A.房屋顶支撑架 B.自行车三角架 C.伸缩门 D.旧木门上钉木条
4.如图，过△ABC的顶点A,作BC边上的高，以下作法正确的是 ( )
5.下列说法正确的有 ( )
①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④
6.如图所示.
(1)图中共有________个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是________,以∠EAD为内角的三角形是________；
(2)在△ABD中，∠BAD的对边是________；在△ABE中，∠ABE的对边是________；
(3)AB既是△________中∠________的对边，又是△________中∠________的对边，还是△________中∠________的对边
7.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=60°，则∠EAC=________。
8.如图，若AD,AE分别是△ABC的高和中线，AD=BE=2,求△ABC的面积
9.如图，为估计池塘两岸A,B之间的距离，甲、乙二人在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米，0B=10米，则A,B之间的距离可能是 ( )
A.5米 B.15米 C.25米 D.30米
10.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3Cm,则AB与AC的差为 ( )
A.2 cm B.3cm C.4 cm D.6 cm
11.(2021·淮安)一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是________
12.如图，BE为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,已知∠DEB=34°，则LADE=________。
13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是________.
14.如图，已知AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C,且AC与BD交于点E.
(1)△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________；
(2)若AE=5,ED=2,CD=，求AB的长
15.若a,b,c分别为三角形的三边，化简：+|b－c－a|+.
16.如图，点P是△ABC内部的一点.
(1)度量线段AB,AC,PB,PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小.
(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？
(3)你能说明上述结论为什么正确吗？
【参考答案及解析】
第十一章 三角形
学时1 与三角形有关的线段
【预习指导】
一、思考：定义更加严谨，强调“首尾顺次相接”
二、思考：按角分类，分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形
三、思考：三角形两边的差小于第三边
例1(1)设底边长为xcm,则腰长为3.5xcm.依题意，得3.5x+3.5x+x=32,解得x=4.∴.3.5x=14.∴三角形三边的长分别为4cm,14cm,14cm.
(2)能.理由：若腰长为8cm,则底边长为32－8－8=16(cm).而8+8=16，所以不能围成腰长为8cm的等腰三
角形.若底边长为8cm,则腰长为×(32－8)=12(cm)
此时能围成等腰三角形，三边长分别为8cm,12cm,12cm.
四、思考：三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三
条高不一定交于一点，而是三条高所在的直线交于一点
例2(1)EC(2)∠CAD(3)∠BFA∠CFA
五、思考：把四边形通过连线分成多个三角形
【预习反馈】
1.C 2.C 3.C 4.A 5.C
6.(1)8 △BCE,△BCD,△ABC △ADE,△AEC
(2)BD AE (3)ABE AEB ABD ADB ABC ACB
7.45°
8.∵AD,AE分别是△ABC的高和中线，AD=BE=2,
∴CE=BE=2,BC=4.
△ABC的面积为BC·AD=×4×2=4.
9.B
10.B
解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC,∴△ABD与△ACD的周长之差为(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)
=AB－AC.
∵△ABD比△ACD的周长大3cm,∴AB与AC的差为3cm.
11.4
解析：设第三边为a,根据三角形的三边关系知，4－1又∵第三边的长是偶数，∴a为4.故答案为4.
12.68°
解析：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠EBC=∠DEB=34°.又BE平分∠ABC,∴∠ABC=68°，
∴∠ADE=68°.
13.4
解析：∵AD是BC边上的中线，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC。∵BE是△ABD中AD边上的中线∴S△ABE=S△BED=S△ABD,
∴S△ABE=S△ABC.∵△ABC的面积是16，∴S△ABE=×16=4
14.(1)AB DC
(2)∵边DE上的高为AB,边AE上的高为DC,
∴×AE× CD=×DE×AB.∵AE=5,ED=2,CD=
∴×5×＝×2×AB,∴AB=
15.∵a,b,c为三角形三边的长，∴a+b>c,a+c>b,b+c>a,
∴原式= ++
=b+c－ata+c－b+c+b－a=－a+b+3c.
16.(1)AB+AC>PB+PC.
(2)改变点P的位置，上述结论还成立.
(3)如图，连接AP,BP,CP,延长BP交AC于点E.
在△ABE中，AB+AE>BE=BP+PE,①
在△CEP中，PE+CE>PC,②
①+②得，AB+AE+PE+CE>BP+PE+PC,
即AB+AC+PE>BP+PE+PC,∴AB+AC>BP+PC.