2022-2023学年人教版八年级数学上册暑假预习 第十一章 学时2 与三角形有关的角 学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册暑假预习 第十一章 学时2 与三角形有关的角 学案（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 897.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-06 10:53:08 | ||
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文档简介
第十一章 三角形
学时2 与三角形有关的角
预习指导：预习教材P11-P16
一、三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°
思考
根据三角形的内角和定理，可知：任何一个三角形至少有________个锐角，最多有________个锐角，最多有________个钝角，最多有________个直角.
例1证明三角形内角和的常见思路是“拼角”，下列三种辅助线，其中能证明“三角形内角和是180°”的有________(填序号).
①如图①，过点C作DE∥AB；
②如图②，过点C作CE∥AB；
③如图③，过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC.
二、直角三角形的性质与判定
1.概念及表示方法：如图，有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC表示方法：Rt△ABC.
2.性质：直角三角形的两个锐角互余.
思考
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
答：________________________________________________________________________________。
三、三角形的外角及其性质
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图，∠ACD=∠A+∠B.
思考
(1)三角形共有________个外角.
(2)①三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，该三角形是________三角形；
②三角形的每个外角都大于与它相邻的内角时，该三角形是________三角形；
③三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，该三角形是________三角形
例2定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.下面给出该定理的两种证法.
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证：∠ACD=∠A+∠B.
.
下列说法正确的是 ( )
A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
C.证法2用特殊到一般法证明了该定理
D.证法1用严谨的推理证明了该定理
预习反馈
检验一下你的预习成果！
1.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=65°，则∠C等于 ( )
A.65° B.55° C.45° D.75°
2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是 ( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
3.如图，AB∥CD,∠A=50°，∠C=30°，则∠1的大小为 ( )
A.20° B.30° C.50° D.80°
4.已知在△ABC中，∠A=∠B－∠C,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能
5.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=________。
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD⊥AB于D,则∠ACD=________度.
7.如图，根据三角形的有关知识可得x+y=________。
8.如图，已知∠B=38°，∠C=55°，∠DEC=23°，求∠F的度数
9.如图，一艘轮船上午8时在A处沿正东方向行驶，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东2O°方向上，求△ABC各内角的度数
10.(2021·常州)如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB,则∠AED=________
11.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACD的度数为 ( )
A.105° B.110° C.115° D.130°
12.如图，∠BAC=80°，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BOC=________
13.(2021·毕节)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为________。
14.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数
15.如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=76°，∠BED=64.求∠BAC的度数.
16.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D度数.
(2)由第(1)小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系？它们是不是一定有这种关系？请说明理由.
【参考答案及解析】
学时2 与三角形有关的角
【预习指导】
一、思考：2 3 1 1
例1 ①②③
二、思考：是
三、思考：(1)6 (2)①直角 ②锐角 ③钝角
例2 D
【预习反馈】
1.B 2.D 3.D 4.C 5.40°
6.25
7.110
8.∵∠B=38°，∠C=55°，∴.∠BAC=180°－38°－55°=87°.
又∵∠DEC=23°，∴∠AEF=23°，∴∠F=∠BAC－∠AEF=87°－23°=64°.
9.∵在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，
∴∠FAC=60°，∴∠CAB=90°－∠FAC=30°.
∵在B处测得灯塔C在北偏东20°方向上，
∴∠EBC=20°，∴∠ABC=90°+∠EBC=110°.
则∠C=180°－∠CAB－∠ABC=180°－30°－110°=40°.
故∠CAB=30°，∠ABC=110°，∠C=40°.
10.100°
11.B
12.130°
解析：∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°－∠BAC=180°－80°=100°.
∵B0,C0分别是∠ABC,∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°，
∴∠BOC=180°－(∠OBC+∠OCB)=180°－50°=130°.
13.75°
解析：如图，
∵∠2=90°－30°=60°，
∴∠3=180°－45°－60°=75°.
∵ab,∴∠1=∠3=75.
14.设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.∵∠BAC=63°，∴∠2+∠4=180°－∠BAC=180°－63°=117°，
即x+2x=117°，
∴x=39°，∴∠3=∠4=78°，∠DAC=180°－∠3－∠4=24°.
15.∵AD是△ABC的高，∠C=76°，∴∠DAC=14°.∵BE平分∠ABC交AD于E,
∴∠ABE=∠EBD.∵∠BED=64°，∴.∠ABE+∠BAE=64°，∠EBD+64°=90°，
∴∠EBD=∠ABE=26°，∴∠BAE=38°，∴∠BAC=∠BAE+∠CAD=38°+14°=52°.
16.(1)在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，∴∠A=180°－∠ABC－∠ACB=80°.
∵BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∵∠DCE=∠ACD=(180°－∠ACB)=×140°=70°.∴∠DCE=∠DBC+∠D,∴∠D=∠DCE－∠DBC=70°－30°=40°，
∴.∠A=80°，∠D=40°.
(2)通过(1)的计算，得到∠A=2∠D.它们一定有这种关系.
理由：∵∠ACE=∠A+∠ABC,∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE,∠DCE=∠D+∠DBC.
又BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,∴∠ABD=∠DBE,∠ACD=∠ECD,
∴∠A=2(∠DCE－∠DBC),∠D=∠DCE－∠DBC,∴∠A=2∠D.
学时2 与三角形有关的角
预习指导：预习教材P11-P16
一、三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°
思考
根据三角形的内角和定理，可知：任何一个三角形至少有________个锐角，最多有________个锐角，最多有________个钝角，最多有________个直角.
例1证明三角形内角和的常见思路是“拼角”，下列三种辅助线，其中能证明“三角形内角和是180°”的有________(填序号).
①如图①，过点C作DE∥AB；
②如图②，过点C作CE∥AB；
③如图③，过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC.
二、直角三角形的性质与判定
1.概念及表示方法：如图，有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC表示方法：Rt△ABC.
2.性质：直角三角形的两个锐角互余.
思考
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
答：________________________________________________________________________________。
三、三角形的外角及其性质
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图，∠ACD=∠A+∠B.
思考
(1)三角形共有________个外角.
(2)①三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，该三角形是________三角形；
②三角形的每个外角都大于与它相邻的内角时，该三角形是________三角形；
③三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，该三角形是________三角形
例2定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.下面给出该定理的两种证法.
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证：∠ACD=∠A+∠B.
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下列说法正确的是 ( )
A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
C.证法2用特殊到一般法证明了该定理
D.证法1用严谨的推理证明了该定理
预习反馈
检验一下你的预习成果！
1.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=65°，则∠C等于 ( )
A.65° B.55° C.45° D.75°
2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是 ( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
3.如图，AB∥CD,∠A=50°，∠C=30°，则∠1的大小为 ( )
A.20° B.30° C.50° D.80°
4.已知在△ABC中，∠A=∠B－∠C,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能
5.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=________。
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD⊥AB于D,则∠ACD=________度.
7.如图，根据三角形的有关知识可得x+y=________。
8.如图，已知∠B=38°，∠C=55°，∠DEC=23°，求∠F的度数
9.如图，一艘轮船上午8时在A处沿正东方向行驶，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东2O°方向上，求△ABC各内角的度数
10.(2021·常州)如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB,则∠AED=________
11.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACD的度数为 ( )
A.105° B.110° C.115° D.130°
12.如图，∠BAC=80°，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BOC=________
13.(2021·毕节)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为________。
14.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数
15.如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=76°，∠BED=64.求∠BAC的度数.
16.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D度数.
(2)由第(1)小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系？它们是不是一定有这种关系？请说明理由.
【参考答案及解析】
学时2 与三角形有关的角
【预习指导】
一、思考：2 3 1 1
例1 ①②③
二、思考：是
三、思考：(1)6 (2)①直角 ②锐角 ③钝角
例2 D
【预习反馈】
1.B 2.D 3.D 4.C 5.40°
6.25
7.110
8.∵∠B=38°，∠C=55°，∴.∠BAC=180°－38°－55°=87°.
又∵∠DEC=23°，∴∠AEF=23°，∴∠F=∠BAC－∠AEF=87°－23°=64°.
9.∵在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，
∴∠FAC=60°，∴∠CAB=90°－∠FAC=30°.
∵在B处测得灯塔C在北偏东20°方向上，
∴∠EBC=20°，∴∠ABC=90°+∠EBC=110°.
则∠C=180°－∠CAB－∠ABC=180°－30°－110°=40°.
故∠CAB=30°，∠ABC=110°，∠C=40°.
10.100°
11.B
12.130°
解析：∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°－∠BAC=180°－80°=100°.
∵B0,C0分别是∠ABC,∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°，
∴∠BOC=180°－(∠OBC+∠OCB)=180°－50°=130°.
13.75°
解析：如图，
∵∠2=90°－30°=60°，
∴∠3=180°－45°－60°=75°.
∵ab,∴∠1=∠3=75.
14.设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.∵∠BAC=63°，∴∠2+∠4=180°－∠BAC=180°－63°=117°，
即x+2x=117°，
∴x=39°，∴∠3=∠4=78°，∠DAC=180°－∠3－∠4=24°.
15.∵AD是△ABC的高，∠C=76°，∴∠DAC=14°.∵BE平分∠ABC交AD于E,
∴∠ABE=∠EBD.∵∠BED=64°，∴.∠ABE+∠BAE=64°，∠EBD+64°=90°，
∴∠EBD=∠ABE=26°，∴∠BAE=38°，∴∠BAC=∠BAE+∠CAD=38°+14°=52°.
16.(1)在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，∴∠A=180°－∠ABC－∠ACB=80°.
∵BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∵∠DCE=∠ACD=(180°－∠ACB)=×140°=70°.∴∠DCE=∠DBC+∠D,∴∠D=∠DCE－∠DBC=70°－30°=40°，
∴.∠A=80°，∠D=40°.
(2)通过(1)的计算，得到∠A=2∠D.它们一定有这种关系.
理由：∵∠ACE=∠A+∠ABC,∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE,∠DCE=∠D+∠DBC.
又BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,∴∠ABD=∠DBE,∠ACD=∠ECD,
∴∠A=2(∠DCE－∠DBC),∠D=∠DCE－∠DBC,∴∠A=2∠D.