2022-2023学年人教版八年级数学上册暑假预习 第十二章 学时7 利用“HL”判定三角形全等 学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册暑假预习 第十二章 学时7 利用“HL”判定三角形全等 学案（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 528.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-06 10:59:43 | ||
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文档简介
第十二章 全等三角形
学时7 利用“HL”判定三角形全等
预习指导：预习教材P41－P43
利用“HL”判定三角形全等
1.方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“H”).
2.书写格式：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
思考
直角三角形是特殊的三角形，“H”是判定两个直角三角形全等特有的方法，对于一般三角形________(填“成立”或“不成立”).结合前面学习的判定方法可知：判定两个直角三角形全等共有________种方法
例 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.一个锐角和一条斜边分别对应相等 B.两条直角边分别对应相等
C.一条直角边和一条斜边分别对应相等 D.两个锐角分别对应相等
预习反馈
检验一下你的预习成果
1.如图，已知AC⊥BD,垂足为O,AO＝CO,AB＝CD,则可得到Rt△AOB≌Rt△COD,理由是 ( )
A.HL B.SAS C.ASA D.AAS
2.如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是 ( )
A.∠ABC＝∠ABD B.AC＝AD C.∠BAC＝∠BAD D.AC＝BC
3.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA,过点D作DE⊥BC,交AB于E,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AE＝BE B.DB＝DE C.AE＝BD D.∠BCE＝∠ACE
4.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD,∠1＝40°，则∠2＝________
5.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ于点B,点A,D在直线MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB上，
AD+BC＝7,AD＝EB,DE＝EC,则AB＝________。
6.如图，已知AB＝CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF＝DE,求证：AB∥CD.
7.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC,BE＝DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.下列结论中不成立的是 ( )
A.△ADE≌△CBF B.CE＝AF C.AB∥CD D.∠EAF＝∠EFA
8.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB＝AC,那么图中全等的直角三角形的对数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图，∠C＝90°，AC＝10,BC＝5,AX⊥AC于点A,点P和点Q分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ,当点P运动到AP＝________时，△ABC与△APQ全等.
1O.如图，OA＝OB,AC＝BD,OA⊥AC,OB⊥BD,OM⊥CD于点M,求证：OM平分∠AOB.
11.在△ABC中，AB＝AC,DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且AD＝CE.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图①所示)，求证：AB⊥AC.
(2)若点B,C在DE的两侧(如图②所示)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明：若不垂直，请说明理由.
【参考答案及解析】
学时7 利用“HL”判定三角形全等
【预习指导】
思考：不成立 5
例D
【预习反馈】
1.A 2.B 3.D 4.50° 5.7
6.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∵BF＝DE,∴BF+EF＝DE+EF,∴BE＝DF在Rt△AEB和Rt△CFD中，∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL),
∴∠B＝∠D,∴AB∥CD.
7.D解析：∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠DEA＝∠CFB＝90°.BE＝DF,∴BE－EF＝DF－EF,即BF＝DE.在Rt△ADE和Rt△CBF中，,∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),∴选项A成立；由Rt△ADE≌Rt△CBF,可得AE＝CF,在△AEF和△CFE中，,∠AEF＝∠CFE＝90°，∴△AEF≌△CFE(SAS),∴AF＝CE,∴选项B成立；由△AEF≌△CFE可得∠AFE＝∠CEF,∴180°－∠AFE＝180°－∠CEF,即∠AFB＝∠CED,在△ABF和△CDE中，,∴△ABF≌△CDE,∴∠ABF＝∠CDE,∴AB∥CD,∴选项C成立；D选项无法证得.故选D.
8.C
解析：BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC＝∠AEB＝90°.
,∴△ADC≌△AEB(AAS).∴AE＝AD.
又AO＝AO,∠ADC＝∠AEB＝90°，∴Rt△AOE≌Rt△AOD(HL).
∴OE＝OD.∵∠COE＝∠BOD,∠B＝∠C,∴△COE≌△BOD(AAS).
共有3对直角三角形全等，故选C.
9.5或10
解析：∵AX⊥AC,∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ.
分两种情况：①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△OPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综上所述，当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等.
10.如图，连接OC,OD.OA⊥AC,OB⊥BD,∴∠A＝∠B
＝90°.在△OAC和△OBD中，
∴△OAC≌△OBD(SAS),∴∠AOC＝∠BOD,OC＝OD.
∵OM⊥CD,∴∠OMC＝∠OMD＝90°.在Rt△OMC和Rt△OMD中，.∴Rt△OMC≌Rt△OMD(HL),
∴∠COM＝∠DOM,
∴∠AOC+∠COM＝∠BOD+∠DOM,即∠AOM＝∠BOM,即OM平分∠AOB.
11.(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB＝∠AEC＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).∴∠DBA＝∠CAE.∵∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°.∴∠BAC＝180°－(∠BAD+∠CAE)＝90°，∴AB⊥AC.
(2)AB与AC仍垂直.证明：同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB＝∠ECA.∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.
学时7 利用“HL”判定三角形全等
预习指导：预习教材P41－P43
利用“HL”判定三角形全等
1.方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“H”).
2.书写格式：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
思考
直角三角形是特殊的三角形，“H”是判定两个直角三角形全等特有的方法，对于一般三角形________(填“成立”或“不成立”).结合前面学习的判定方法可知：判定两个直角三角形全等共有________种方法
例 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.一个锐角和一条斜边分别对应相等 B.两条直角边分别对应相等
C.一条直角边和一条斜边分别对应相等 D.两个锐角分别对应相等
预习反馈
检验一下你的预习成果
1.如图，已知AC⊥BD,垂足为O,AO＝CO,AB＝CD,则可得到Rt△AOB≌Rt△COD,理由是 ( )
A.HL B.SAS C.ASA D.AAS
2.如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是 ( )
A.∠ABC＝∠ABD B.AC＝AD C.∠BAC＝∠BAD D.AC＝BC
3.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA,过点D作DE⊥BC,交AB于E,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AE＝BE B.DB＝DE C.AE＝BD D.∠BCE＝∠ACE
4.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD,∠1＝40°，则∠2＝________
5.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ于点B,点A,D在直线MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB上，
AD+BC＝7,AD＝EB,DE＝EC,则AB＝________。
6.如图，已知AB＝CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF＝DE,求证：AB∥CD.
7.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC,BE＝DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.下列结论中不成立的是 ( )
A.△ADE≌△CBF B.CE＝AF C.AB∥CD D.∠EAF＝∠EFA
8.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB＝AC,那么图中全等的直角三角形的对数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图，∠C＝90°，AC＝10,BC＝5,AX⊥AC于点A,点P和点Q分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ,当点P运动到AP＝________时，△ABC与△APQ全等.
1O.如图，OA＝OB,AC＝BD,OA⊥AC,OB⊥BD,OM⊥CD于点M,求证：OM平分∠AOB.
11.在△ABC中，AB＝AC,DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且AD＝CE.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图①所示)，求证：AB⊥AC.
(2)若点B,C在DE的两侧(如图②所示)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明：若不垂直，请说明理由.
【参考答案及解析】
学时7 利用“HL”判定三角形全等
【预习指导】
思考：不成立 5
例D
【预习反馈】
1.A 2.B 3.D 4.50° 5.7
6.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∵BF＝DE,∴BF+EF＝DE+EF,∴BE＝DF在Rt△AEB和Rt△CFD中，∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL),
∴∠B＝∠D,∴AB∥CD.
7.D解析：∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠DEA＝∠CFB＝90°.BE＝DF,∴BE－EF＝DF－EF,即BF＝DE.在Rt△ADE和Rt△CBF中，,∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),∴选项A成立；由Rt△ADE≌Rt△CBF,可得AE＝CF,在△AEF和△CFE中，,∠AEF＝∠CFE＝90°，∴△AEF≌△CFE(SAS),∴AF＝CE,∴选项B成立；由△AEF≌△CFE可得∠AFE＝∠CEF,∴180°－∠AFE＝180°－∠CEF,即∠AFB＝∠CED,在△ABF和△CDE中，,∴△ABF≌△CDE,∴∠ABF＝∠CDE,∴AB∥CD,∴选项C成立；D选项无法证得.故选D.
8.C
解析：BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC＝∠AEB＝90°.
,∴△ADC≌△AEB(AAS).∴AE＝AD.
又AO＝AO,∠ADC＝∠AEB＝90°，∴Rt△AOE≌Rt△AOD(HL).
∴OE＝OD.∵∠COE＝∠BOD,∠B＝∠C,∴△COE≌△BOD(AAS).
共有3对直角三角形全等，故选C.
9.5或10
解析：∵AX⊥AC,∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ.
分两种情况：①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△OPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综上所述，当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等.
10.如图，连接OC,OD.OA⊥AC,OB⊥BD,∴∠A＝∠B
＝90°.在△OAC和△OBD中，
∴△OAC≌△OBD(SAS),∴∠AOC＝∠BOD,OC＝OD.
∵OM⊥CD,∴∠OMC＝∠OMD＝90°.在Rt△OMC和Rt△OMD中，.∴Rt△OMC≌Rt△OMD(HL),
∴∠COM＝∠DOM,
∴∠AOC+∠COM＝∠BOD+∠DOM,即∠AOM＝∠BOM,即OM平分∠AOB.
11.(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB＝∠AEC＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).∴∠DBA＝∠CAE.∵∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°.∴∠BAC＝180°－(∠BAD+∠CAE)＝90°，∴AB⊥AC.
(2)AB与AC仍垂直.证明：同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB＝∠ECA.∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.