第9讲 实际问题与二次函数
1二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1．（2018 温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元）
甲 _____ _____ 15
乙 x x ______
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
2．（2018 荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与P的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
3.（2018 黔南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的
图象是线段，图2的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
4．（2018 安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
5．（2018 达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
2二次函数的综合
1．（2018 金华）如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
2．（2018 聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当t=0时，求S△OBN的值；
（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时S有最大值，最大值是多少？
3．（2018 盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
销售价格x（元/个） 销售量y（万元）
30≤x≤60 ﹣x+8
60≤x≤80
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？第9讲 实际问题与二次函数
1二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1．（2018 温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元）
甲 _____ _____ 15
乙 x x ______
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
【解答】解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）件．
在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为（130﹣2x）元．
故答案为：65﹣x；2（65﹣x）；130﹣2x
（2）由题意
15×2（65﹣x）=x（130﹣2x）+550
∴x2﹣80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130﹣2x=110（元）
答：每件乙产品可获得的利润是110元．
（3）设生产甲产品m人
W=x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣m）
=﹣2（x﹣25）2+3200
∵2m=65﹣x﹣m
∴m=
∵x、m都是非负数
∴取x=26时，m=13，65﹣x﹣m=26
即当x=26时，W最大值=3198
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．
2．（2018 荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与P的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
【解答】解：（1）依题意得，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
3.（2018 黔南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的
图象是线段，图2的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
【解答】解：（1）当x=6时，y1=3，y2=1，
∵y1﹣y2=3﹣1=2，
∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
（2）设y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1．
将（3，5）、（6，3）代入y1=mx+n，
，解得：，
∴y1=﹣x+7；
将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，
4=a（3﹣6）2+1，解得：a=，
∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．
∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．
∵﹣＜0，
∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为，
即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．
（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．
设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，
根据题意得：2t+（t+2）=22，
解得：t=4，
∴t+2=6．
答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
4．（2018 安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以W1=（50+x）（160﹣2x）=﹣2x2+60x+8000，
W2=19（50﹣x）=﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
W=W1+W2
=﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
=﹣2x2+41x+8950
=﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x=10时，W取得最大值，最大值为9160，
答：当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．
5．（2018 达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x，
解得：x=1000，
1.5×1000=1500（元），
答：进价为1000元，标价为1500元；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：
w=（51+×3）（1500﹣1000﹣a），
=﹣（a﹣80）2+26460，
∵﹣＜0，
∴当a=80时，w最大=26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
2二次函数的综合
1．（2018 金华）如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），
∵当t=2时，AD=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，
解得：a=﹣，
抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，
∴AB=10﹣2t，
当x=t时，AD=﹣t2+t，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）
=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]
=﹣t2+t+20
=﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，
当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，
当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P必平分矩形ABCD的面积，
∵AB∥CD，
∴线段OD平移后得到的线段GH，
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，
在△OBD中，PQ是中位线，
∴PQ=OB=4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
2．（2018 聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当t=0时，求S△OBN的值；
（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时S有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，
，解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．
（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），
∴BN=，OB=1，
∴S△OBN=BN OB=．
（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），
∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），
∴S=（AM+BN） AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，
=﹣t2+t+，
=﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t=4时，S取最大值，最大值为；
②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），
∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），
∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，
=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+t2+t﹣），
=﹣t2+t﹣，
=﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t=时，S取最大值，最大值为．
∵=＜，
∴当t=时，S有最大值，最大值是．
3．（2018 盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．
设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y=﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），
∴DE=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）=﹣x2+3x+，
∴S△DPQ=DE （xQ﹣xP）=﹣2x2+6x+=﹣2（x﹣）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]=﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ=DE （xQ﹣xP）=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t=﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
【解答】解：设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，
故选：C．
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm
【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴，解得：，，
∴点B（﹣4，﹣5），
如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
则点M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴当m＝时，P最大，
∴点P（，）；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E（﹣1，﹣2），
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）∵当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+120（60≤x≤87）．
（2）w＝（﹣x+120）（x﹣60），
w＝﹣x2+180x﹣7200，
w＝﹣（x﹣90）2+900，
当w＝500时，有500＝﹣（x﹣90）2+900，
解得，x＝110（舍去）或x＝70，
故利润是500元时的销售单价70元/件．
（3）又∵60＜x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
则x＝87时获利最多，
将x＝87代入，得w＝﹣（87﹣90）2+900＝891元．
答：售价定为87元有最大利润为891元．
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
销售价格x（元/个） 销售量y（万元）
30≤x≤60 ﹣x+8
60≤x≤80
【解答】解：（1）由题意得，﹣x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；
（2）当30≤x≤60时，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
当60＜x≤80时，w＝（x﹣20） ﹣40＝﹣+89；
（3）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，
∴当x＝50时，w取得最大值50（万元）；
当60＜x≤80时，w＝﹣+89，
∵﹣2580＜0，
∴w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝121.25（万元）＞50万元，
∴销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过．
