第2讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
1．（2018 马鞍山二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，
∴a2﹣2a﹣1=0，
整理得，a2﹣2a=1，
∴2a2﹣4a﹣1=2（a2﹣2a）﹣1
=2×1﹣1
=1．
故选：A．
2．（2018 岐山县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
【解答】解：把x=1代入（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0，得
m2﹣4m+3=0
解得m1=3，m2=1，
而m﹣1≠0，
所以m=3．
故选：B．
3．（2017秋 潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
【解答】解：化为一般式，得
x2﹣5x﹣9=0，
一次项系数为﹣5，
故选：A．
1．（2018 荆门二模）已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
【解答】解：把x=2代入方程x2﹣（5+m）x+5m=0得4﹣2（5+m）+5m=0，解得m=2，
方程化为x2﹣7x+10=0，解得x1=2，x2=5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，
所以△ABC的周长为5+5+2=12．
故选：B．
2．（2018 河北模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，
∴4a﹣2b+4=0，
则2a﹣b=﹣2，
∴2020+2a﹣b=2020+（2a﹣b）=2020+（﹣2）=2018．
故选：B．
3．（2017秋 武城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，m﹣2≠0，
解得：m=1．
故选：B．
4．（2017秋 蓬溪县期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：把x=0代入原方程得到1﹣a2=0，
解得：a=±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
故选：B．
5．（2017秋 常熟市期末）已知一元二次方程x2﹣x﹣2=0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（ ）
A．2015 B．2016 C．2018 D．2020
【解答】解：
∵一元二次方程x2﹣x﹣2=0的一个根是m，
∴m2﹣m=2，
∴2018﹣m2+m=2018﹣（m2﹣m）=2018﹣2=2016，
故选：B．
2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
1．（2017春 费县校级月考）解方程：
（1）25x2﹣36=0
（2）4（2x﹣1）2=36．
【解答】解：（1）由原方程，得
x2=，
则x=±．
（2）由原方程，得
（2x﹣1）2=9，
所以2x﹣1=±3，
所以x1=2，x2=﹣1．
1．（2017秋 天宁区校级月考）解方程：
（1）（x+2）2﹣16=0
（2）x2﹣2x﹣4=0．
【解答】解：（1）（x+2）2=16，
x+2=±4，
所以x1=2，x2=﹣6；
（2）x2﹣2x=4，
x2﹣2x+1=5，
（x﹣1）2=5，
x﹣1=±，
所以x1=1+，x2=1﹣．
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
1．（2018 临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【解答】解：y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
故选：B．
2．（2018 旌阳区模拟）用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
故选：D．
3．（2018 中江县模拟）用配方法解方程：x2﹣7x+5=0．
【解答】解：x2﹣7x+5=0，
x2﹣7x=﹣5，
x2﹣7x+（）2=﹣5+（）2，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
x =，x2=．
1．（2018 秀洲区二模）在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（ ）
A．（x+17）2=70711 B．（x+17）2=71289 C．（x﹣17）2=70711 D．（x﹣17）2=71289
【解答】解：x2+34x﹣71000=0
x2+34x=71000
x2+34x+172=71000+172
（x+17）2=71289
故选：B．
2．（2017秋 定安县期末）将一元二次方程x2﹣4x﹣6=0化成（x﹣a）2=b的形式，则b等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：x2﹣4x﹣6=0
x2﹣4x=6
（x﹣2）2=10，
∴b=10，
故选：D．
3．（2018 宁河县一模）解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
【解答】解：（1）配方，得
（x+5）2=0，
开方，得
x+5=0，
解得x=﹣5，
x1=x2=﹣5；
（2）移项，得
x2﹣x=1，
配方，得
x2﹣x+=，
（x﹣）2=，
开方，得
x﹣=±，
x1=，x2=．
4．（2017 广东模拟）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8，
整理得：x2﹣1+2x+6﹣8=0，即x2+2x﹣3=0，
分解因式得：（x+3）（x﹣1）=0，
可得x+3=0或x﹣1=0，
解得：x1=﹣3，x2=1．
4公式法
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
1．（2016秋 通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（ ）
A．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0
C．x2﹣100x+2500=0 D．2x2+3x﹣1=0
【解答】解：A、此方程适合直接开平方法求解；
B、此方程适合因式分解法求解；
C、此方程适合因式分解法求解；
D、此方程适合公式法求解；
故选：D．
2．（2016秋 惠安县校级期中）用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0的解是（ ）
A．x1=1+，x2=1﹣ B．x1=2+，x2=2﹣
C．x1=1+，x2=1﹣ D．x1=2+，x2=2﹣
【解答】解：△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）=24，
x==1±，
所以x1=1+，x2=1﹣．
故选：A．
3．（2018 和平区模拟）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=0．
【解答】解：方程化为x2﹣5x+2=0
∵a=1，b=﹣5，c=2，
∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×2=17＞0，
则x=，
故x1=，x2=
1．（2018 高新区模拟）解方程3x2+5x+1=0．
【解答】解：3x2+5x+1=0，
这里a=3，b=5，c=1，
b2﹣4ac=52﹣4×3×1=13，
x=，
x1=，x2=．
2．（2017秋 九江期末）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
则x1=2，x2=1.5．
3．（2017 江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）
【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，
∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，
∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，
则x==．
4．（2016秋 潮州期末）用公式法解方程：2x2+3x=1．
【解答】解：移项得：2x2+3x﹣1=0，
b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17，
x=，
x1=，x2=．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
1．（2018 泸县模拟）解方程：x（x﹣1）=4x+6．
【解答】解：x2﹣x=4x+6
x2﹣5x﹣6=0
（x﹣6）（x+1）=0
x=6或x=﹣1
2．（2017秋 白银期末）解方程：
（1）3（x﹣1）2=x（x﹣1）
（2）x2+1=3x．
【解答】解：（1）方程整理，得
3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0
因式分解，得
（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]=0
于是，得
x﹣1=0或2x﹣3=0，
解得x1=1，x2=；
（2）方程整理，得
x2﹣3x+1=0
∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴x==，
即x1=，x2=．
1．（2017秋 凤翔县期末）解方程
（1）4x2﹣8x+3=0
（2）x（x+6）=7
【解答】解：（1）因式分解得
（2x﹣1）（2x﹣3）=0
于是，得
2x﹣1=0或2x﹣3=0，
解得x1=，x2=；
（2）方程整理，得
x2+6x﹣7=0
因式分解，得
（x+7）（x﹣1）=0
于是，得
x+7=0或x﹣1=0，
解得x1=﹣7，x2=1．
2．（2017秋 莘县期末）解方程：2（x﹣3）2=5（3﹣x）．
【解答】解：2（x﹣3）2=5（3﹣x），
2（x﹣3）2+5（x﹣3）=0，
（x﹣3）[2（x﹣3）+5]=0，
x﹣3=0，2（x﹣3）+5=0，
x1=3，x2=．
3．（2017秋 遵义期末）解方程：3x（x﹣1）=2（x﹣1）．
【解答】解：移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x﹣2）=0，
x﹣1=0，3x﹣2=0，
x1=1，x2=．
4．（2017秋 雁塔区期末）解下列方程：
（1）x（x+5）=14；
（2）x2﹣2x﹣2=0
【解答】解：（1）x2+5x﹣14=0，
（x+7）（x﹣2）=0，
x+7=0或x﹣2=0，
所以x1=﹣7，x2=2；
（2）x2﹣2x=2，
x2﹣2x+1=3，
（x﹣1）2=3，
x﹣1=±，
所以x1=1+，x2=1﹣．
5．（2017秋 新罗区期末）用适当的方法解方程：
（1）x2+3x﹣4=0
（2）x（x﹣2）+（x﹣2）=0．
【解答】解：（1）方程分解得：（x+4）（x﹣1）=0，
可得x+4=0或x﹣1=0，
解得：x1=﹣4，x2=1；
（2）分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，
可得x﹣2=0或x+1=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（ ）
A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2
【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，
﹣x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：B．
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；
故选：B．
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（ ）
A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5
【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，
解得：a≥1且a≠5，
故选：D．
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2
＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2
∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵m是方程的一个实数根，
∴m2+（m+3）m+m+1＝0．
整理得：2m2+4m+1＝0
解得：m＝．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；
分解因式得：x（3x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）（x﹣1）2＝4；
开方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（3）x2+2x﹣5＝0，
配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝2.5；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
方程整理得：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
解得：x1＝，x2＝．第2讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
1．（2018 马鞍山二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2
2．（2018 岐山县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
3．（2017秋 潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
1．（2018 荆门二模）已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
2．（2018 河北模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
3．（2017秋 武城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
4．（2017秋 蓬溪县期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
5．（2017秋 常熟市期末）已知一元二次方程x2﹣x﹣2=0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（ ）
A．2015 B．2016 C．2018 D．2020
2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
1．（2017春 费县校级月考）解方程：
（1）25x2﹣36=0
（2）4（2x﹣1）2=36．
1．（2017秋 天宁区校级月考）解方程：
（1）（x+2）2﹣16=0
（2）x2﹣2x﹣4=0．
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
1．（2018 临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
2．（2018 旌阳区模拟）用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
3．（2018 中江县模拟）用配方法解方程：x2﹣7x+5=0．
1．（2018 秀洲区二模）在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（ ）
A．（x+17）2=70711 B．（x+17）2=71289 C．（x﹣17）2=70711 D．（x﹣17）2=71289
2．（2017秋 定安县期末）将一元二次方程x2﹣4x﹣6=0化成（x﹣a）2=b的形式，则b等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2018 宁河县一模）解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
4．（2017 广东模拟）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．
4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
1．（2016秋 通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（ ）
A．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0
C．x2﹣100x+2500=0 D．2x2+3x﹣1=0
2．（2016秋 惠安县校级期中）用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0的解是（ ）
A．x1=1+，x2=1﹣ B．x1=2+，x2=2﹣
C．x1=1+，x2=1﹣ D．x1=2+，x2=2﹣
3．（2018 和平区模拟）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=0．
1．（2018 高新区模拟）解方程3x2+5x+1=0．
2．（2017秋 九江期末）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0．
3．（2017 江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）
4．（2016秋 潮州期末）用公式法解方程：2x2+3x=1．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
1．（2018 泸县模拟）解方程：x（x﹣1）=4x+6．
2．（2017秋 白银期末）解方程：
（1）3（x﹣1）2=x（x﹣1）
（2）x2+1=3x．
1．（2017秋 凤翔县期末）解方程
（1）4x2﹣8x+3=0
（2）x（x+6）=7
2．（2017秋 莘县期末）解方程：2（x﹣3）2=5（3﹣x）．
3．（2017秋 遵义期末）解方程：3x（x﹣1）=2（x﹣1）．
4．（2017秋 雁塔区期末）解下列方程：
（1）x（x+5）=14；
（2）x2﹣2x﹣2=0
5．（2017秋 新罗区期末）用适当的方法解方程：
（1）x2+3x﹣4=0
（2）x（x﹣2）+（x﹣2）=0．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（ ）
A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（ ）
A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
