第3讲 一元二次方程的实际问题
1 根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
1．（2018 绥阳县一模）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7=0的两根分别为α，β，则α2+4α+β=（ ）
A．4 B．10 C．﹣4 D．﹣10
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣7=0的两根分别为α、β，
∴α2+3α=7，α+β=﹣3，
∴α2+4α+β=（α2+3α）+（α+β）=7﹣3=4．
故选：A．
2.（2017秋 梁子湖区期末）已知关于x的方程2x2+kx﹣2k+1=0的实根的平方和为，则k的值为（ ）
A．3 B．11 C．3或﹣11 D．﹣3或11
【解答】解：设关于x的方程2x2+kx﹣2k+1=0的两实数根分别为x1、x2，
则x1+x2=﹣，x1 x2=①
∵原方程两实根的平方和为，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=②
∵方程有两实数根，
∴△=k2﹣4×2×（﹣2k+1）≥0，
∴k≥6﹣8或k≤﹣6﹣8，
把①代入②得，﹣2×=，解得k1=3，k2=﹣11（舍去）．
∴k=3．
故选：A．
3．（2018 沂源县一模）我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，则x1+x2=，x1 x2=，若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值等于_____．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，
∴x1+x2=4，x1 x2=2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1 x2﹣2（x1+x2）+4=2﹣2×4+4=﹣2．
故答案为：﹣2．
4．（2018 海陵区模拟）设a，b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为___．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，
∴a2+a=2018，a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018﹣1=2017．
故答案为：2017．
5．（2018 齐河县二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，当x12﹣x22=0时，则m的值为____．
【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=﹣（2m﹣1），x1 x2=m2，
由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，
若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得m=，
∵＞，
∴m=不合题意，舍去，
若x1﹣x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，
故当x12﹣x22=0时，m=．
故答案为：．
6．（2018 遂川县模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是_____．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣3×2=﹣6．
故答案为：﹣6．
2增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
1．（2018 相山区三模）2017年5月14日﹣﹣﹣5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元．
（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；
（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？
【解答】解：（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x，
根据题意得：2000（1+x）2=2880，
解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%．
（2）2000+2000×（1+20%）+2880+2880×（1+20%）=10736（万元），
10736万元＞1亿元．
答：该企业2017年的年利润总和突破1亿元．
2．（2018 吉林模拟）随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得：
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
3．（2018 霞山区一模）为落实教育部关于加快教育现代化建设步伐的要求，让学生体验“数字化学习活动”，某中学今年计划购进100台某品牌的学生平板电脑共学生上课使用．经调查，该品牌的学生平板电脑2016年单价为2500元，2018年单价为1600元．
（1）求2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌学生平板电脑在两个商场数码商店有不同的促销方案；试问学校去哪个商场购买学生平板电脑更优惠？
【解答】解：（1）设2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：2500（1﹣x）2=1600，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率为20%．
（2）∵100×≈90.91（台），
∴到A商场购买91台学生平板电脑才能满足学校要求．
在A商场购买需要的费用为1600×91=145600（元），
在B商场购买需要的费用为1600×100×0.9=144000（元），
∵145600＞144000，
∴学校去B商场购买学生平板电脑更优惠．
4．（2018 长沙模拟）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得10（1﹣x）2=6.4．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）超市采购员方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：6.4×0.8×2000=10240（元），
方案二所需费用为：6.4×2000﹣2000=10800（元）．
∵10240＜10800，
∴超市采购员选择方案一购买更优惠．
3利润问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
1．（2018 连云港模拟）无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？
【解答】解：（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，
根据题意得
解得k=﹣50，b=850，
所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=﹣50x+850；
（2）根据题意得一元二次方程 （x﹣5）（﹣50x+850）﹣250=1350，
解得x1=9，x2=13（不合题意，舍去），
∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，
∴x=13不合题意，
答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．
2．（2018 赤壁市模拟）我市花果山蜜桔营养丰富、入口甜香．特别是农户与华中农业大学共同培育的新品种“果蜜一号”更是享誉省内外．该品种蜜桔成本价为10元/千克，已知售价不低于成本价，且物价部门规定该蜜桔的售价不高于18元/千克．市场调查发现，蜜桔每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某蜜桔经销商想要每天获得150元的纯利润，售价应定为多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵该函数图象过点（10，40）、（18，24），
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+60（10≤x≤18）．
（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）=150，
整理得：x2﹣40x+315=0，
解得：x1=15，x2=25（不合题意，舍去）．
答：售价应定为15元/千克．
3．（2018 洛宁县模拟）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？
【解答】解：（1）140﹣130=10（元），
70﹣10=60（件），
（140﹣120）×60=1200（元）．
答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元．
（2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，则每件可盈利（x﹣120）元，每日销售量为70﹣（x﹣130）=200﹣x（件），
根据题意得：（200﹣x）（x﹣120）=1500，
整理，得x2﹣320x+25600=0，
解得：x1=150，x2=170．
答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元．
4．（2018 江津区一模）江津区某玩具商城在“六一”儿童节来临之际，以49元/个的价格购进某种玩具进行销售，并预计当售价为50元/个时，每天能售出50个玩具，且在一定范围内，当每个玩具的售价平均每提高0.5元时，每天就会少售出3个玩具．
（1）若玩具售价不超过60元/个，每天售出玩具总成本不高于686元，预计每个玩具售价的取值范围；
（2）在实际销售中，玩具城以（1）中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础，进一步调整了销售方案，将每个玩具的售价提高了a%，从而每天的销售量降低了2a%，当每天的销售利润为147元时，求a的值．
【解答】解：（1）设每个玩具售价为x元/个，
根据题意得：，
解得：56≤x≤60．
答：预计每个玩具售价的取值范围是56≤x≤60．
（2）由（1）可知最低销售价为56元/个，对应销售量为50﹣3×=14个，
根据题意得：[56（1+a%）﹣49]×14（1﹣2a%）=147，
令t=a%，整理得：32t2﹣12t+1=0，
解得：t1=，t2=，
∴a=25或a=12.5．
5．（2018 吉林模拟）水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 150+300x 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是150+×30=150+300x（斤）；
（2）根据题意得：（6﹣4﹣x）（150+300x）=450，
解得：x=或x=1，
当x=时，销售量是150+300×=300＜360；
当x=1时，销售量是150+300=450（斤）．
∵每天至少售出360斤，
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
4 其他问题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
1．（2018 新昌县模拟）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．
（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
【解答】解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x（32﹣2x）=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y（36﹣2y）=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=（﹣18）2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
2．（2017秋 遵义期末）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．
（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为______个（用含有x的代数式表示）
（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【解答】解：（1）根据题意，可得现在销售数量为160+2（480﹣x）=（1120﹣2x）个．
故答案为（1120﹣2x）；
（2）由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，
整理，得：x2﹣920x+211600=0，
解得：x1=x2=460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
3．（2017秋 龙岗区期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含t的代数式表示AP=___，AQ=____ ，并求出当t为何值时线段AP=AQ．
（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的．
【解答】解：（1）由题意得：AP=3t，DQ=2t，则AQ=6﹣2t，
当AP=AQ时，3t=6﹣2t，
t=1.2；
故答案为：3t，6﹣2t；
（2）∵，
∴，
得：t=1
综合练习
一．解答题（共7小题）
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，
依题意，得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．
2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
【解答】解：（1）设甬道的宽为x米，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640
解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：甬道的宽为6米；
（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400
整理，得a2﹣440a+16000＝0
解得：a1＝400（舍去），a2＝40
答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．
整理，得3x2﹣85x+350＝0．
解得，x1＝5，x2＝．
∵＞30（不合题意，舍去），
∴x＝5．
答：小道进出口的宽度应为5米．
5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生产成本下降的百分率；
（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．
【解答】解：（1）设每年生产成本的下降率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．
答：每年生产成本的下降率为10%．
（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．
答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．
6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？
【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），
＝﹣3x2+30x；
（2）当y＝63时﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝7，x2＝3，
当x＝7时 30﹣3x＝9＜15
当x＝3时 30﹣3x＝21＞15 （不合题意，舍去）
答：AB为7m．
7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF＝ （30﹣2x） cm，GH＝ （20﹣x） cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
【解答】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案为：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为5cm．第3讲 一元二次方程的实际问题
1 根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
1．（2018 绥阳县一模）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7=0的两根分别为α，β，则α2+4α+β=（ ）
A．4 B．10 C．﹣4 D．﹣10
2.（2017秋 梁子湖区期末）已知关于x的方程2x2+kx﹣2k+1=0的实根的平方和为，则k的值为（ ）
A．3 B．11 C．3或﹣11 D．﹣3或11
3．（2018 沂源县一模）我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，则x1+x2=，x1 x2=，若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值等于_____．
4．（2018 海陵区模拟）设a，b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为___．
5．（2018 齐河县二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，当x12﹣x22=0时，则m的值为____．
6．（2018 遂川县模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是_____．
2增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
1．（2018 相山区三模）2017年5月14日﹣﹣﹣5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元．
（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；
（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？
2．（2018 吉林模拟）随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
3．（2018 霞山区一模）为落实教育部关于加快教育现代化建设步伐的要求，让学生体验“数字化学习活动”，某中学今年计划购进100台某品牌的学生平板电脑共学生上课使用．经调查，该品牌的学生平板电脑2016年单价为2500元，2018年单价为1600元．
（1）求2016年到2018年该品牌学生平板电脑单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌学生平板电脑在两个商场数码商店有不同的促销方案；试问学校去哪个商场购买学生平板电脑更优惠？
4．（2018 长沙模拟）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
3利润问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
1．（2018 连云港模拟）无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？
2．（2018 赤壁市模拟）我市花果山蜜桔营养丰富、入口甜香．特别是农户与华中农业大学共同培育的新品种“果蜜一号”更是享誉省内外．该品种蜜桔成本价为10元/千克，已知售价不低于成本价，且物价部门规定该蜜桔的售价不高于18元/千克．市场调查发现，蜜桔每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某蜜桔经销商想要每天获得150元的纯利润，售价应定为多少？
3．（2018 洛宁县模拟）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？
4．（2018 江津区一模）江津区某玩具商城在“六一”儿童节来临之际，以49元/个的价格购进某种玩具进行销售，并预计当售价为50元/个时，每天能售出50个玩具，且在一定范围内，当每个玩具的售价平均每提高0.5元时，每天就会少售出3个玩具．
（1）若玩具售价不超过60元/个，每天售出玩具总成本不高于686元，预计每个玩具售价的取值范围；
（2）在实际销售中，玩具城以（1）中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础，进一步调整了销售方案，将每个玩具的售价提高了a%，从而每天的销售量降低了2a%，当每天的销售利润为147元时，求a的值．
5．（2018 吉林模拟）水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 150+300x 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
4 其他问题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
1．（2018 新昌县模拟）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．
（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
2．（2017秋 遵义期末）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．
（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为______个（用含有x的代数式表示）
（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
3．（2017秋 龙岗区期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含t的代数式表示AP=___，AQ=____ ，并求出当t为何值时线段AP=AQ．
（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的．
综合练习
一．解答题（共7小题）
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生产成本下降的百分率；
（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．
6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？
7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF＝ cm，GH＝ cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
