第5讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【方法总结】
在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（2018 河南模拟）边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为____秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
2.（2018 绍兴一模）如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
3．（2017秋 朝阳区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长_____．
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【答案】
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（2018 常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是_____．
2．（2016秋 兴隆县期末）如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
3．（2017秋 蚌埠期中）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y=（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（2018 东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=____°，AB=____．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
2．（2018 南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．
综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE AC=AG AD，求证：EG CF=ED DF．
2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．
3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．第5讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
【答案】4
【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，
∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2，
∵△ACB与△ADC相似，
∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2，
∴AB==4，
即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；
故答案为：4．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM=AB=×4=2，
∴S△ABM=AB OM=×4×2=4；
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，
∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，
即 = = ，
∴△ABC∽△DEF
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=，
∴EF=AE=．
∵，即，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．
【方法总结】
在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（2018 河南模拟）边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为____秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
【解答】解：①如图1，当△PFE∽△EAD时，
可知此时PE⊥CD，
t=DP=1；
②如图2，当△EFP∽△EAD时，
可知，此时F为DE中点，
EF=DF=DE=，
∵==，
即=，
解得t=DP=
综上所述，满足条件的t的值为1s或s．
2.（2018 绍兴一模）如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【解答】解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP=AC﹣AP=8﹣x，CQ=2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x=4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x=秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
3．（2017秋 朝阳区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长_____．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴CD∥AB，∠D=90°
∴∠AED=∠PAF，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠D=90°．
∴△PFA∽△ADE．
（2）解：情况1，当△EFP∽△ADE，且∠PEF=∠EAD时，
则有PE∥AD
∴四边形ADEP为矩形．
∴PA=ED=1；
情况2，当△PFE∽△ADE，且∠PEF=∠AED时，
∵∠PAF=∠AED，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE==，
∴AF=，
∵△PFA∽△ADE，
=，
∴=，
∴PA=
∴满足条件的PA的值为1或．
故答案为1或．
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
【解析】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵AB∥CD，
∵△AOB∽△DOC，
∴==，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴==，
解得OC=，AB=，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D=∠A=58°．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【答案】
【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴=，
∵M为AD中点，
∴MD=AD=BC，即=，
∴=，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（2018 常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是_____．
【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．
2．（2016秋 兴隆县期末）如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），
解得x=2或x=6．
所以AP= 或AP=2或AP=6．
3．（2017秋 蚌埠期中）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y=（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC=2，
∵点D为BC的中点，
∴CD=1，
∴点D的坐标为（1，3），
代入双曲线y=（x＞0）得：k=1×3=3；
∴反比例函数的表达式y=，
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴y=，
∴点E的坐标为（2，）；
（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD=1，BE=，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴=，
即：=，
∴FC=，
∴点F的坐标为（0，）．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴=，
同理可得=，
∴=，
∴=，
∴=，
解得AB=5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．
【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，得=，
解得：CD=16，
∴该古城墙CD的高度为16米．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
∴=，
解得x=180．
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴=，
解得y=12cm；
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
（直接得出三角形相似或比例线段均对）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，
∴=1﹣
=1﹣
x=
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（2018 东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=____°，AB=____．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴==．
又∵AO=，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴==．
∵BO：OD=1：3，
∴==．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4．
2．（2018 南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．
（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴=，即=，
∵△AFG∽△DFC，
∴=，
∴=，
在正方形ABCD中，DA=DC，
∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，
∴CG==5，
∵∠CDG=90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．
综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE AC=AG AD，求证：EG CF=ED DF．
【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，
∴∠BCD=∠ADE．
又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．
∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，
∴DF2=BF CF．
（2）∵AE AC=AG AD，
∴=．
∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，
∴=．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴=，
∴=，
∴EG CF=ED DF．
2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm．
3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
【解析】证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴=，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴=，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故答案为：△AEF；
（Ⅱ）设EG=EF=x
∵△AEF∽△ABC
∴=，
∴=，
∴x=48，
∴正方形零件的边长为48mm．
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
【解析】解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC==a，
∵==，==，
∴=，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE=EF，
∴，
∵BD=DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB=5，
∴AE=；
【解决问题】
猜想：=，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴==，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，
∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴=．
