第5讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
【答案】4
【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，
∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2，
∵△ACB与△ADC相似，
∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2，
∴AB==4，
即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；
故答案为：4．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM=AB=×4=2，
∴S△ABM=AB OM=×4×2=4；
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，
∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，
即 = = ，
∴△ABC∽△DEF
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=，
∴EF=AE=．
∵，即，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．
【方法总结】
在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（2018 襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_______．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，=，
即=，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时，=，即=，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
2．（2018 扬中市二模）如图， ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，
∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；
（2）解：△BDE与△DCE相似．
∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE．
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
【解析】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵AB∥CD，
∵△AOB∽△DOC，
∴==，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴==，
解得OC=，AB=，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D=∠A=58°．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【答案】
【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴=，
∵M为AD中点，
∴MD=AD=BC，即=，
∴=，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（2018 安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴BD==10，
当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴=，即=，
解得，PE=，
当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′=CD=3，
故答案为：或3．
2．（2018 六安模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；
②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1=S2，则S3=S4，
④若△PAB∽△PDA，则PA=2
其中正确的是______ （把所有正确的结论的序号都填在横线上）
【解答】解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故③正确；
④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°﹣（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2，故④错误．
故答案为①②③．
3．（2017秋 临清市期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=4xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=2；
②当，即时，△QBP∽△ABC，
解得：x=0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴=，
同理可得=，
∴=，
∴=，
∴=，
解得AB=5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．
【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，得=，
解得：CD=16，
∴该古城墙CD的高度为16米．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
∴=，
解得x=180．
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴=，
解得y=12cm；
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
（直接得出三角形相似或比例线段均对）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，
∴=1﹣
=1﹣
x=
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（2018 大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
【解答】解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CB=AB=8，AF=CF=AC，
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠CBD，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD=4，
在Rt△BCD中，BD==4
同理：△CFD∽△BCD，
∴，
∴，
∴CF=，
∴AC=2AF=．
2．（2018 滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD AO．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴=，即AC2=AB AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD AO．
综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE AC=AG AD，求证：EG CF=ED DF．
【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，
∴∠BCD=∠ADE．
又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．
∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，
∴DF2=BF CF．
（2）∵AE AC=AG AD，
∴=．
∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，
∴=．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴=，
∴=，
∴EG CF=ED DF．
2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm．
3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
【解析】证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴=，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴=，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故答案为：△AEF；
（Ⅱ）设EG=EF=x
∵△AEF∽△ABC
∴=，
∴=，
∴x=48，
∴正方形零件的边长为48mm．
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
【解析】解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC==a，
∵==，==，
∴=，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE=EF，
∴，
∵BD=DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB=5，
∴AE=；
【解决问题】
猜想：=，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴==，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，
∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴=．第5讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【方法总结】
在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（2018 襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_______．
2．（2018 扬中市二模）如图， ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【答案】
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（2018 安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____．
2．（2018 六安模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；
②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1=S2，则S3=S4，
④若△PAB∽△PDA，则PA=2
其中正确的是______ （把所有正确的结论的序号都填在横线上）
3．（2017秋 临清市期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（2018 大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
2．（2018 滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD AO．
综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE AC=AG AD，求证：EG CF=ED DF．
2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．
3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．
