第6讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
1．（2018 郴州模拟）下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．y= B．y= C．y=2x D．y=
2．（2017秋 永新县期末）下列函数是反比例函数的是（ ）
A． B．y=x2+x C． D．y=4x+8
3．（2017秋 微山县期末）函数y=3x﹣1是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
4．（2018春 庆阳期中）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y= B．3x+2y=0 C．xy﹣=0 D．y=
5．（2017秋 忻城县期中）下列函数：①y=；②y=；③y=﹣；④y=2x﹣1中，是反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2017秋 邵阳县月考）给出的六个关系式：①x（y+1）②③④⑤⑥；其中y是x的反比例函数是（ ）
A．①②③④⑥ B．③⑤⑥ C．①②④ D．④⑥
7．（2016 钦南区校级自主招生）下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：（1）y=；（2）y=；（3）xy=6；（4）3x+y=0；（5）x﹣2y=1；（6）3xy+2=0．
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
1．（2018 凉山州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018 龙岩二模）在同一坐标系中，函数y=和 y=kx+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018 陵城区二模）一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018 繁昌县二模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OC＜OB，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018 拉萨一模）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018 衡阳）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
7．（2018 黄岩区一模）在反比例函数y=图象的每一分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
8．（2018 广阳区一模）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
9.（2018 东莞市模拟）如图是反比例函数y=图象的一支，则一次函数y=﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（2018 承德模拟）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
11．（2017秋 亳州期末）如图，曲线C是函数y=在第一象限内的图象，抛物线是函数y=﹣x2﹣2x+4的图象，点Pn（x，y）（n=1，2，3…）在曲线C上，且x，y都是整数．
（1）求出所有的点Pn（x，y）；
（2）求抛物线y=﹣x2﹣2x+4的顶点坐标和对称轴；
（3）在Pn中任取两点作为点A和点B（A点的横坐标小于B点的横坐标），作直线AB，请直接写出能使直线AB与抛物线有交点的A，B的坐标，并求出直线AB的解析式．
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
1．（2018 保定一模）反比例函数y=的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足是点B，如果S△AOB=1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2018 灌南县模拟）如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A．若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（ ）
A．S的值增大 B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变
3．（2018 长春模拟）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO=OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018 广东模拟）若反比例函数y=的图象如图，P，Q为任意两点，SOAP记为S1，S△OBQ记为S2，则：（ ）
5．（2018 拉萨一模）如图，点B是反比例函数y=（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
6．（2018 绿园区二模）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4反比例函数的实际应用
1．（2018 金华一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（ ）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y=3 000x B．y=6 000x C．y= D．y=
2．（2018 绥化模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
3．（2017秋 宝安区期末）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y= D．y=
4．（2017秋 思明区校级月考）矩形面积是40m2，设它的一边长为x（m），则矩形的另一边长y（m）与x的函数关系是（ ）
A．y=20﹣x B．y=40x C．y= D．y=
5．（2016 广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（ ）
A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）
A．9 B．18 C．25 D．9
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二．解答题（共4小题）
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．第6讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
1．（2018 郴州模拟）下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．y= B．y= C．y=2x D．y=
【解答】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有y=表示y是x的反比例函数．
故选：B．
2．（2017秋 永新县期末）下列函数是反比例函数的是（ ）
A． B．y=x2+x C． D．y=4x+8
【解答】解：A、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确．
B、该函数是二次函数，故本选项错误；
C、该函数是正比例函数，故本选项错误；
D、该函数是一次函数，故本选项错误；
故选：A．
3．（2017秋 微山县期末）函数y=3x﹣1是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【解答】解：y=3x﹣1=，属于反比例函数．
故选：C．
4．（2018春 庆阳期中）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y= B．3x+2y=0 C．xy﹣=0 D．y=
【解答】解：A、k≠0时，y=是反比例函数，故此选项错误；
B、3x+2y=0，可变形为y=﹣x，不是反比例函数，故此选项错误；
C、xy﹣=0可变形为y=是反比例函数，故此选项正确；
D、y=不是反比例函数，故此选项错误；
故选：C．
5．（2017秋 忻城县期中）下列函数：①y=；②y=；③y=﹣；④y=2x﹣1中，是反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①y=是正比例函数；
②y=是反比例函数；
③y=﹣是反比例函数；
④y=2x﹣1是反比例函数，
故选：C．
6．（2017秋 邵阳县月考）给出的六个关系式：①x（y+1）②③④⑤⑥；其中y是x的反比例函数是（ ）
A．①②③④⑥ B．③⑤⑥ C．①②④ D．④⑥
【解答】解：①x（y+1）是整式的乘法，
②不是反比例函数；
③不是反比例函数，
④是反比例函数，
⑤是正比例函数，
⑥是反比例函数，
故选：D．
7．（2016 钦南区校级自主招生）下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：（1）y=；（2）y=；（3）xy=6；（4）3x+y=0；（5）x﹣2y=1；（6）3xy+2=0．
【解答】解：（1）y=不是反比例函数．
（2）∵y=，
∴xy=．
∴y=，是反比例函数．
（3）∵xy=6，
∴y=，是反比例函数．
（4）∵3x+y=0，
∴y=﹣3x，不是反比例函数．
（5）∵x﹣2y=1，
∴2y=x﹣1．
∴y=x﹣1，不是反比例函数．
（6）∵3xy+2=0，
∴xy=﹣．
∴y=，是反比例函数．
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
1．（2018 凉山州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
2．（2018 龙岩二模）在同一坐标系中，函数y=和 y=kx+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当k＞0时，
反比例函数的图象分布于一、三象限，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
当k＜0时，
反比例函数的图象分布于二、四象限，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
联立
可得：kx2+x﹣k=0，
△=1+4k2＞0，
所以此时反比例函数与一次函数的有两个交点．
故选：A．
3．（2018 陵城区二模）一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误．
故选：C．
4．（2018 繁昌县二模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OC＜OB，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由一次函数图象，得
b＞0，
由y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OB，得
对称轴在y轴的左侧，
﹣＞0，
a＜0．
由OA＜OC，得
c＞0．
二次函数图象如图，
∵a＜0，b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一二四象限，
∵c＞0，
∴反比例函数y=的图象位于一三象限，
故选：B．
5．（2018 拉萨一模）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y=kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y=kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
6．（2018 衡阳）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选：D．
7．（2018 黄岩区一模）在反比例函数y=图象的每一分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
【解答】解：由题意可知：k﹣1＜0，
∴k＜1
故选：D．
8．（2018 广阳区一模）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
9.（2018 东莞市模拟）如图是反比例函数y=图象的一支，则一次函数y=﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图可得，
反比例函数y=中的k＜0，
∴一次函数y=﹣kx+k的图象在第一、三、四象限，
故选：D．
10．（2018 承德模拟）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
【解答】解：∵k=2＞0，
∴函数为减函数，
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．
11．（2017秋 亳州期末）如图，曲线C是函数y=在第一象限内的图象，抛物线是函数y=﹣x2﹣2x+4的图象，点Pn（x，y）（n=1，2，3…）在曲线C上，且x，y都是整数．
（1）求出所有的点Pn（x，y）；
（2）求抛物线y=﹣x2﹣2x+4的顶点坐标和对称轴；
（3）在Pn中任取两点作为点A和点B（A点的横坐标小于B点的横坐标），作直线AB，请直接写出能使直线AB与抛物线有交点的A，B的坐标，并求出直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵y=，且x，y都是整数，
∴或或或
∴P点坐标为（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）；
（2）∵y=﹣x2﹣2x+4=﹣（x+1）2+5
∴抛物线y=﹣x2﹣2x+4的顶点坐标为（﹣1，5），对称轴为直线x=﹣1；
（3）点A、B的坐标为（2，3），（6，1）或（3，2），（6，1）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有或
解得或．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4或y=﹣x+3．
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
1．（2018 保定一模）反比例函数y=的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足是点B，如果S△AOB=1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：由于点A在反比例函数y=的图象上，
则S△AOB=|k|=1，k=±2；
又由于函数的图象在第二象限，故k＜0，
则k=﹣2．
故选：D．
2．（2018 灌南县模拟）如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A．若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（ ）
A．S的值增大 B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变
【解答】解：作PB⊥OA于B，如图，
则OB=AB，
∴S△POB=S△PAB，
∵S△POB=|k|，
∴S=2k，
∴S的值为定值．
故选：D．
3．（2018 长春模拟）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO=OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连OA，如图，
∵CO=OB，
∴S△AOC=S△AOB，
∴S△AOB=S△ABC=×2=1，
∴|k|=2S△AOB=2，
∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=．
故选：C．
4．（2018 广东模拟）若反比例函数y=的图象如图，P，Q为任意两点，SOAP记为S1，S△OBQ记为S2，则：（ ）
A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法判断
【解答】解：依题意可得：S1=S2=|k|=1．
故选：A．
5．（2018 拉萨一模）如图，点B是反比例函数y=（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【解答】解：因为矩形AOCB的面积为6，
所以k的值为6，
故选：B．
6．（2018 绿园区二模）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．
∵点A在双曲线y=y=上，点B在双曲线y=上，
∴S△OAD=1，S矩形OCBD=4，
∴四边形ABCO的面积=S矩形OCBD﹣S△OAD=4﹣1=3．
故选：C．
4反比例函数的实际应用
1．（2018 金华一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（ ）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y=3 000x B．y=6 000x C．y= D．y=
【解答】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y=，
则xy=k=6000，
故y与x之间的关系的式子是y=，
故选：D．
2．（2018 绥化模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy=10，
∴y与x的函数关系式为：y=．
故选：C．
3．（2017秋 宝安区期末）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y= D．y=
【解答】解：由题意可得：y==．
故选：C．
4．（2017秋 思明区校级月考）矩形面积是40m2，设它的一边长为x（m），则矩形的另一边长y（m）与x的函数关系是（ ）
A．y=20﹣x B．y=40x C．y= D．y=
【解答】解：由于矩形的另一边长=矩形面积÷一边长，
∴矩形的另一边长y（m）与x的函数关系是y=．
故选：C．
5．（2016 广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
【解答】解：由题意vt=80×4，
则v=．
故选：B．
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，
故选：B．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（ ）
A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函数解析式为y＝﹣，
则xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；
B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；
故选：B．
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）
A．9 B．18 C．25 D．9
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
设C（x，），
∵点A为线段BC的中点，
∴，
解得．
故选：C．
二．解答题（共4小题）
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直线的解析式为：y＝x+1．
（2）设直线AB与y轴交于点C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，则B（﹣4，﹣2），
由题意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函数解析式为：y＝2x+6．
综上所述，m的值为﹣2，一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）∵一次函数y＝2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴△AOB的面积＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴当y1≥5时，x≥1．
此时，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由题意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函数y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）从图象看出0＜x＜1或x＞3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
过C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，交于点D，则
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值为2．
