第7讲 二次函数的图象与性质
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
1．（2018 资中县一模）下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=
【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；
B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；
C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；
D、y=不是二次函数．
故选：B．
2．（2018 随州二模）下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A．y=x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C．y=x2+ D．y=
【解答】解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
3．（2018 相山区二模）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣1）（x+2） B．y=（x+1）2 C．y=1﹣x2 D．y=2（x+3）2﹣2x2
【解答】解：A、整理为y=x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；
B、整理为y=x2+x+，是二次函数，不合题意；
C、整理为y=﹣x2+1，是二次函数，不合题意；
D、整理为y=12x+18，是一次函数，符合题意．
故选：D．
4．（2016秋 鼓楼区校级期末）圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【解答】解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
5．（2017秋 遂溪县校级期中）关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100 D．常数项是20000
【解答】解：y=﹣10x2+400x+20000，
A、y是x的二次函数，故A正确；
B、二次项系数是﹣10，故B正确；
C、一次项是100x，故C正确；
D、常数项是20000，故D正确；
故选：C．
6．（2017秋 文水县期中）已知函数：①y=ax2；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．其中，二次函数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据定义②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2是二次函数
故选：B．
7．（2018 嘉定区一模）如果函数y=（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，那么m取值范围是______．
【解答】解：∵函数y=（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，
∴m﹣2≠0，解得：m≠2，
故答案为：m≠2．
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
1.（2018 成都）关于二次函数y=2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【解答】解：∵y=2x2+4x﹣1=2（x+1）2﹣3，
∴当x=0时，y=﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=﹣1时，y取得最小值，此时y=﹣3，故选项D正确，
故选：D．
2．（2018 南关区校级一模）对于函数y=5x2，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值，y的值总是正的
【解答】解：∵二次函数解析式为y=5x2，
∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．
故选：C．
3．（2018 顺德区模拟）抛物线y=（x﹣1）2+3（ ）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
【解答】解：由函数关系式可知，
x的系数为1＞0，
抛物线y=（x﹣1）2+3有最小值，
于是当x=1时y=3．
故选：D．
4．（2018 江阴市一模）若二次函数y=（a﹣1）x2+3x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值必为 （ ）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
【解答】解：把（0，0）代入y=（a﹣1）x2+3x+a2﹣1，
得a2﹣1=0，解得a=1或a=﹣1，
因为a﹣1≠0，
所以a≠1，即a=﹣1．
故选：C．
5．（2018 杭州一模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值 2，无最小值
【解答】解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，
∴x=1时，有最大值 2，x=4时，有最小值﹣2.5．
故选：A．
6．（2018 惠州一模）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2．
（2）由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；
（3）把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；
（4）把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=±，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
3二次函数的解析式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
1．（2018 资中县一模）将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9
【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
2．（2017秋 福田区期末）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+5，
∴抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故选：C．
3．（2017秋 大邑县期末）将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3） C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1
【解答】解：y=x2+4x+3
=x2+4x+4﹣1
=（x+2）2﹣1，
故选：D．
4．（2016秋 昌平区期末）将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+4 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2．
故选：A．
5．（2017秋 太和县期中）抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：
=﹣（x2﹣2x）﹣1
=﹣[（x﹣1）2﹣1]﹣1
=﹣（x﹣1）2﹣．
故选：C．
6．（2017秋 宁河县期中）通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（ ）
A．y=a（x+）2+ B．y=a（x﹣）2+
C．y=a（x+）2+ D．y=a（x﹣）2+
【解答】解：y=ax2+bx+c
=a（x2+x）+c
=a（x2+x+）+c﹣a
=a（x+）2+
故选：A．
7．（2018 北塔区模拟）抛物线的形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（ ）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x+2）2+1 D．y=﹣（x+2）2+1
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，所以a=．
顶点在（﹣2，1），所以是y=（x+2）2+1．
故选：C．
8.（2017秋 顺义区期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+3
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
9．（2018 洛宁县模拟）用配方法将二次函数y=﹣x2+x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=_______．
【解答】解：y=﹣x2+x﹣1，
=﹣（x2﹣2x+1）﹣1﹣，
=﹣（x﹣1）2﹣，
即y=﹣（x﹣1）2﹣，
故答案是：﹣（x﹣1）2﹣．
10．（2018 广陵区二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为____ ．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），
∴，
解得：，
则这个二次函数的表达式为y=﹣x2+x+2．
把x=2代入得，y=﹣×4+×2+2=2．
故答案为2．
11．（2017 霍邱县校级模拟）已知函数y=x2+x﹣．请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：y=x2+x﹣，
=（x2+2x+1）﹣﹣，
=（x+1）2﹣3，
所以，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
12．（2017秋 大兴区期末）已知二次函数y=x2+4x+3．
（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．
【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3
=（x2+4x+4﹣4）+3
=（x=2）2﹣1；
（2）如图：
13．（2017秋 城厢区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x﹣12=0
（2）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为顶点式．
【解答】解：（1）因式分解得，（x+2）（x﹣6）=0，
于是得，x+2=0或x﹣6=0，
x1=﹣2，x2=6；
（2）y=x2﹣4x+5，
=（x2﹣8x+16﹣16）+5，
=（x﹣4）2﹣8+5，
=（x﹣4）2﹣3，
即y=（x﹣4）2﹣3．
14．（2018 海曙区模拟）已知一次函数y=kx+3与二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象交于y轴上的点P．
（1）求二次函数解析式；
（2）若一次函数的图象经过该二次函数图象的顶点，求一次函数的解析式．
【解答】解：（1）一次函数y=kx+3交于y轴上的点P．
当x=0时，y=3．∴点P（0，3）
由于二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象经过点P，
∴3=3a，解得，a=1
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3
y=（x﹣2）2﹣1
∴二次函数y=x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），
由于一次函数y=kx+3的图象经过（2，﹣1）
∴2k+3=﹣1
解得，k=﹣2
所以一次函数的解析式为y=﹣2x+3．
15．（2018 相山区二模）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．
16．（2018 普陀区一模）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，
把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，
∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．
综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案是：y＝（x+2）2﹣3．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 ③④⑤ （只填序号）．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2﹣4ac＞0，②错误；
③∵，
∴b＝2a，
由图象可知：9a﹣3b+c＜0，
∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x＝﹣1，
∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是 y＝（x﹣1）2+3 ．
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．
故答案为y＝（x﹣1）2+3．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝ 2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．
故答案为：2．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a 2 （﹣2），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．
把A（﹣1，0），C（2，3）代入，
得，解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ×3
＝（﹣x2+x+2）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝ 时，△APC的面积最大，最大值为．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设乙种笔记本每本的售价为x元，则甲种笔记本每本的售价为（x+2）元，
根据题意可得 20（x+2）+30x＝340，解得 x＝6，x+2＝8，
答：该网店甲种笔记本每本的售价为8元，乙种笔记本每本的售价为6元；
（2）①若购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，
根据题意可得，
，
解得60＜m≤80，
∵m为整数，
∴m的值为61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80，
∴进货方案有20种；
②根据题意可得W＝（8﹣4）m+（6﹣3.5）（200﹣m）＝1.5m+500，
∵1.5＞0，
∴W随m的增大而增大，且60＜m≤80，
∴当m＝80时，W最大，W最大值为W＝1.5×80+500＝620（元），
答：当m＝80时，所获利润最大，最大利润为620元．第7讲 二次函数的图象与性质
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
1．（2018 资中县一模）下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=
2．（2018 随州二模）下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A．y=x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C．y=x2+ D．y=
3．（2018 相山区二模）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣1）（x+2） B．y=（x+1）2 C．y=1﹣x2 D．y=2（x+3）2﹣2x2
4．（2016秋 鼓楼区校级期末）圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
5．（2017秋 遂溪县校级期中）关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100 D．常数项是20000
6．（2017秋 文水县期中）已知函数：①y=ax2；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．其中，二次函数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2018 嘉定区一模）如果函数y=（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，那么m取值范围是______．
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
1.（2018 成都）关于二次函数y=2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
2．（2018 南关区校级一模）对于函数y=5x2，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值，y的值总是正的
3．（2018 顺德区模拟）抛物线y=（x﹣1）2+3（ ）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
4．（2018 江阴市一模）若二次函数y=（a﹣1）x2+3x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值必为 （ ）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
5．（2018 杭州一模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值 2，无最小值
6．（2018 惠州一模）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
3二次函数的解析式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
1．（2018 资中县一模）将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9
2．（2017秋 福田区期末）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
3．（2017秋 大邑县期末）将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3） C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1
4．（2016秋 昌平区期末）将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（ ）
5．（2017秋 太和县期中）抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2017秋 宁河县期中）通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（ ）
A．y=a（x+）2+ B．y=a（x﹣）2+
C．y=a（x+）2+ D．y=a（x﹣）2+
7．（2018 北塔区模拟）抛物线的形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（ ）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x+2）2+1 D．y=﹣（x+2）2+1
8.（2017秋 顺义区期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+3
9．（2018 洛宁县模拟）用配方法将二次函数y=﹣x2+x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=_______．
10．（2018 广陵区二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为____ ．
11．（2017 霍邱县校级模拟）已知函数y=x2+x﹣．请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．
12．（2017秋 大兴区期末）已知二次函数y=x2+4x+3．
（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．
13．（2017秋 城厢区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x﹣12=0
（2）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为顶点式．
14．（2018 海曙区模拟）已知一次函数y=kx+3与二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象交于y轴上的点P．
（1）求二次函数解析式；
（2）若一次函数的图象经过该二次函数图象的顶点，求一次函数的解析式．
15．（2018 相山区二模）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．
16．（2018 普陀区一模）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为 ．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 （只填序号）．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是 ．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝ ．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
