第7讲 二次函数的图象与性质
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
1．（2017秋 海南区校级月考）函数y=（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠n
C．m、n是常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
【解答】解：根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，
即m≠n．
故选：B．
2．（2018 南关区校级一模）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____．
【解答】解：由题意，得
m2﹣2=2，且m+2≠0，
解得m=2，
故答案为：2．
3．（2018 曲靖一模）若函数y=（m2﹣m）x是二次函数，则m=_____．
【解答】解：由题意，得m2+m=2且m2﹣m≠0，
解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
4．（2018 相山区二模）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【解答】解：依题意得
∴
∴m=0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
1．（2018 宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，
∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
2．（2018 德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
3．（2018 贵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是（ ）
A．h＜0，k＞0 B．m＜0，n＞0 C．h=m D．k=n
【解答】解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），对称轴都是直线x=m或x=h，
即h＜0，k＞0，m＜0，n＞0，m=h，
因为点（h，k）在点（m，n）的下方，所以k=n不正确．
故选：D．
5．（2017秋 门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点P（x1，y），Q（x2，y），且满足x1＜x2，结合函数图象回答问题；
①当y=3时，直接写出x2﹣x1的值；
②当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围．
【解答】解：（1）由图象知抛物线与x轴交于点（1，0）、（3，0），与y轴的交点为（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
将（0，3）代入，得：3a=3，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）①当y=3时，x2﹣4x+3=3，
解得：x1=0，x2=4，
∴x2﹣x1=4；
②当x2﹣x1=3时，易知x1=，此时y=﹣2+3=
观察图象可知当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围0≤y≤．
6．（2017秋 余杭区期末）已知二次函数y=x2+2bx+c
（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．
【解答】解：（1）由y=1得 x2+2bx+c=1，
∴x2+2bx+c﹣1=0
∵△=4b2﹣4b+4=（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y=1；
（2）由b=c﹣2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=﹣b，
①当x=﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b=3；
②当x=﹣b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时
﹣3=22+2×2b+b+2，解得b=﹣，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则=﹣3，化简得：b2﹣b﹣5=0，解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．
综上：b=3或．
3二次函数的解析式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
1．（2017秋 宁阳县期末）一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为_______．
【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，
又∵顶点坐标（﹣1，3），
∴y=﹣2（x+1）2+3，
故答案为：y=﹣2（x+1）2+3．
2．（2018 合肥模拟）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；
（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．
3．（2018 宝山区一模）如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x+4=4，则A（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a 2 （﹣8）=4，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8），
即y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，
∴M（3，），
作MD⊥x轴于D，如图，
四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM
=×（4+）×3+×5×
=31．
4．（2018 西湖区一模）二次函数y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；
（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．
【解答】解：（1）∵y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3，
∴对称轴方程为x=﹣=1．
（2）∵y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3=（m+1）（x﹣1）2﹣2m+2，
由题意知直线l的解析式为y=n，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴n=﹣2m+2；
（3）抛物线y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3的顶点坐标是（1，﹣2m+2）．
依题可得 ，
解得﹣2≤m＜﹣1，
∴整数m的值为﹣2．
5．（2018 滨湖区模拟）将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5），边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．
（1）求AD的长；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式．
【解答】解：（1）如图1，连接AM，设OC=AD=m，
根据已知条件可知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，
所以，BM=m﹣2，DM=1，
因为AB2+BM2=AD2+DM2，
所以52+（m﹣2）2=m2+12，
解得m=7，即AD=7；
（2）如图2，过点B作x轴的平行线GH，交OA、CD于G、H，
由（1）可知AB=BM=5，设G（0，n），
易证△ABG≌△BMH，
则HC=OG=n，所以GB=MH=4﹣n，BH=AG=5﹣n，
因为GH=GB+BH=9﹣2n，GH=OC=7，
所以n=1，所以B（3，1），
又因为D（7，5），A（0，5），
设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
从而抛物线为y=x2﹣x+5．
综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案是：y＝（x+2）2﹣3．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 ③④⑤ （只填序号）．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2﹣4ac＞0，②错误；
③∵，
∴b＝2a，
由图象可知：9a﹣3b+c＜0，
∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x＝﹣1，
∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是 y＝（x﹣1）2+3 ．
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．
故答案为y＝（x﹣1）2+3．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝ 2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．
故答案为：2．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a 2 （﹣2），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．
把A（﹣1，0），C（2，3）代入，
得，解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ×3
＝（﹣x2+x+2）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝ 时，△APC的面积最大，最大值为．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设乙种笔记本每本的售价为x元，则甲种笔记本每本的售价为（x+2）元，
根据题意可得 20（x+2）+30x＝340，解得 x＝6，x+2＝8，
答：该网店甲种笔记本每本的售价为8元，乙种笔记本每本的售价为6元；
（2）①若购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，
根据题意可得，
，
解得60＜m≤80，
∵m为整数，
∴m的值为61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80，
∴进货方案有20种；
②根据题意可得W＝（8﹣4）m+（6﹣3.5）（200﹣m）＝1.5m+500，
∵1.5＞0，
∴W随m的增大而增大，且60＜m≤80，
∴当m＝80时，W最大，W最大值为W＝1.5×80+500＝620（元），
答：当m＝80时，所获利润最大，最大利润为620元．第7讲 二次函数的图象与性质
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
1．（2017秋 海南区校级月考）函数y=（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠n
C．m、n是常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
2．（2018 南关区校级一模）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____．
3．（2018 曲靖一模）若函数y=（m2﹣m）x是二次函数，则m=_____．
4．（2018 相山区二模）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
1．（2018 宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018 德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018 贵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是（ ）
A．h＜0，k＞0 B．m＜0，n＞0 C．h=m D．k=n
5．（2017秋 门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点P（x1，y），Q（x2，y），且满足x1＜x2，结合函数图象回答问题；
①当y=3时，直接写出x2﹣x1的值；
②当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围．
6．（2017秋 余杭区期末）已知二次函数y=x2+2bx+c
（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．
3二次函数的解析式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
1．（2017秋 宁阳县期末）一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为_______．
2．（2018 合肥模拟）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
3．（2018 宝山区一模）如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
4．（2018 西湖区一模）二次函数y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；
（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．
5．（2018 滨湖区模拟）将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5），边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．
（1）求AD的长；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式．
综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为 ．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 （只填序号）．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是 ．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝ ．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
