第8讲 二次函数与一元二次方程
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
1．（2018 东昌府区二模）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
2．（2018 市中区模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：
①ac＜0；②a+b＜0；③4ac＞b2；④4a+2b+c＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2018 安陆市二模）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与函数y=x﹣的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②c＞﹣；③a+b+c＜﹣；④方程ax2+（b﹣1）x+c+=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
4．（2018 唐河县二模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④
.5（2018 高淳区二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b＞0，③a﹣b+c＞0，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2018 邻水县一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2018 遂川县模拟）对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0
C．若a b＞0，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若2b=4a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0，必有一根为﹣2
2.（2018 凤阳县一模）已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．
3．（2018 长丰县二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
4．（2018 韶关一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；
（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．
5．（2018 中江县模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2018 黑龙江模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．
3用图象法去求方程的根
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2017秋 秦淮区期末）如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是________．
x 6.1 6.2 6.3 6.4
y=ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4
2．（2016秋 通州区期末）二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为________（精确到0.1）．
3．（2017秋 利辛县期中）下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值，由表中数据可判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在______之间．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．9
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝0
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．第8讲 二次函数与一元二次方程
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
1．（2018 东昌府区二模）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵﹣1＜﹣＜0，
∴b＞2a，
而b＜0，
∴2a＜b＜0，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以③错误；
∵x=﹣1时，y＞0；x=1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，所以④正确．
故选：C．
2．（2018 市中区模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：
①ac＜0；②a+b＜0；③4ac＞b2；④4a+2b+c＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①如图所示，抛物线开口方向向上，则a＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
故ac＜0，
故①正确；
②如图所示，抛物线的对称轴为x=﹣=1，则b+2a=0．
故②错误；
③如图所示，抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2；
故③错误；
④如图所示，当x=2时，无法确定y的符号，即4a+2b+c的符合无法确定．
故④错误；
综上所述，正确的结论有1个．
故选：A．
3．（2018 安陆市二模）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与函数y=x﹣的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②c＞﹣；③a+b+c＜﹣；④方程ax2+（b﹣1）x+c+=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【解答】解：∵抛物线开口朝上，
∴a＞0，
∵对称轴x=﹣在y轴的右侧，
∴b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
∵抛物线与y轴的交点在直线的上方，
∴c＞﹣，故②正确；
当x=1时，ax2+bx+c＜x﹣，即a+b+c＜﹣；故③正确；
∵函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与函数y=x﹣的图象有两个不同的交点，
∴ax2+（b﹣1）x+c+=0有两个不相等的实数根，故④正确．
故选：B．
4．（2018 唐河县二模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④
【解答】解：∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，①正确；
由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，②错误；
由图象可知，当x=1时，y=0，
∴a﹣b+c=0，
∵b=﹣2a，
∴3a+c=0，③正确；
∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
故④错误；
故选：B．
.5（2018 高淳区二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b＞0，③a﹣b+c＞0，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
②∵对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∵a＞0，
∴b＜0，故②错误；
③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故③正确．
故选：C．
6．（2018 邻水县一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣=﹣2，
∴b=4a，ab＞0，
∴b﹣4a=0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2018 遂川县模拟）对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0
C．若a b＞0，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若2b=4a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0，必有一根为﹣2
【解答】解：A：当顶点在x轴的下方且a＜0时，
此时抛物线与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，
∴A错误；
B：当抛物线经过原点时，c=0，
∴ax2+bx=0，
解得：x=0或x=﹣，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0，
∴B正确；
C：∵抛物线的对称轴为：x=﹣，
∴抛物线的对称轴的位置由与b的符合共同决定，
∴C正确；
D：令x=﹣2，得：4a﹣2b+c=0，
∴2b=4a+c，
∴D正确，
故选：A．
2.（2018 凤阳县一模）已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．
【解答】解 （1）方法一：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，
∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0
∴图象与x轴公共点只有一个．
方法二：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，
令y=0，则﹣2x2+4x﹣2=0，
解得：x1=x2=1，
∴图象与x轴公共点只有一个；
（2）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2
∴点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，
把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=﹣k1=1．
∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；
（3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴﹣≤1，即≤1．
解不等式组，
解得﹣2≤k＜0．
3．（2018 长丰县二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
【解答】解：（1）将A，C代入得：，
解得：，
则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），
∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，
∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，
当m=2时，S△BCD取得最大值4，
此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．
4．（2018 韶关一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；
（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
即y=ax2+3ax﹣4a，
∴﹣4a=2，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），
∵A（﹣4，0），B （1，0），
∴AC2=42+22，BC2=12+22，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；
（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣，
连接AC交直线x=﹣于P点，如图，
∵PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∴此时PB+PC的值最小，△PBC周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
当x=﹣时，y=x+2=，则P（﹣，）
∴当P点坐标为（﹣，）时，△PBC周长最小．
5．（2018 中江县模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设在抛物线上存在一点P（x，y），使S△PAB=S△ABC，
则|y|=3，即y=±3．
如果y=3，那么﹣x2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，
x=0时与C点重合，舍去，所以点P（﹣2，3）；
如果y=﹣3，那么﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣1±，
所以点P（﹣1±，﹣3）；
综上所述，所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；
（3）连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
∵y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，
∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，
∴点Q的坐标是（﹣1，2）．
6．（2018 黑龙江模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．
【解答】解：（1）当y=0时，有﹣x﹣1=0，
解得：x=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
当x=2时，y=﹣x﹣1=﹣3，
∴点C的坐标为（2，﹣3）．
将A（﹣1，0）、C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE=﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．
∵﹣1＜0，
∴当m=时，PE取最大值，最大值为．
3用图象法去求方程的根
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2017秋 秦淮区期末）如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是________．
x 6.1 6.2 6.3 6.4
y=ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.1和0.2更接近于0，故x应取对应的范围6.2＜x＜6.3．
故答案为6.2＜x＜6.3．
2．（2016秋 通州区期末）二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为________（精确到0.1）．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点分别是（﹣1.3，0）、（4.3，0），
又∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点，就是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，
∴方程x2﹣x﹣2=0的两个近似根是4.3或﹣1.3
故答案为x1=﹣1.3，x2=4.3．
3．（2017秋 利辛县期中）下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值，由表中数据可判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在______之间．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
【解答】解：当x=0时，y=1，x=1时，y=﹣2，函数在[﹣1，2]上y随x的增大而减小，得
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在
0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．9
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
化简，得
a＝，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，
故选：A．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝0
【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，
∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），
（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，
（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，
∴m＝0或m＞5．
故选：C．
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；
当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；
当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．
故选：C．
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
【解答】解：
如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，
故选：A．
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
故选：B．
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ 4a ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
【解答】解：（1）由题意得：
抛物线的x＝＝﹣2 解得b＝4a，
故答案为：4a；
（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解
∴△＝b2﹣4ac≥0 即：（﹣4）2﹣4×（﹣1） c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4
∴抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4与直线y＝c 在﹣3＜x＜1的范围内有交点
当x＝﹣2时 y＝﹣4；当x＝1时，y＝5
故可得：﹣4＜c＜5
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
【解答】解：
（1）将点C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．
故k的值为﹣4．
（2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，
∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．
故抛物线与x轴的交点坐标，点A（﹣1，0）；点B（4，0）．
（3）如图，
∵抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，化为顶点式得：．
∴顶点M为
∴△ABM的高为
∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，
∴S△ABM＝，
故△ABM的面积为．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2，
∴C1的顶点坐标为（0，0），
根据题意，得平移后抛物线C2的顶点坐标为：（﹣1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线C2与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（2）∵抛物线抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，抛物线C2在x轴的下方．
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝﹣2a代入方程ax2﹣bx+6＝0得：ax2+2ax+6＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax+6＝0得：16a+8a+6＝0，
a＝﹣，则b＝．
即方程为﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x＝﹣6，x＝4，
即方程的另一个根为﹣6．
