第8讲 二次函数与一元二次方程
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
1．（2018 永州二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
2．（2018 遵义一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2018 海港区一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①b2﹣4ac＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3b+2c＜0；
④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2018 保定一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b=0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
5．（2018 鄂城区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2018 东阳市模拟）设直线x=2是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＞0）的图象的对称轴（ ）
A．若m＞3，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞3，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜3，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜3，则（m﹣1）a+b＜0
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2018 深圳模拟）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
2．（2018 龙湾区二模）关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
3．（2018 岱岳区一模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）=10根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣1 D．有两个根，其中一根大于2
4．（2018 阜阳模拟）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．
5.（2018 陵城区二模）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．
6．（2018 通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）请你求出点A、B、C的坐标；
（2）若二次函数y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．
3用图象法去求方程的根
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2017秋 古田县校级期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
2．（2017秋 颍州区期中）如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1
3．（2017秋 思明区校级月考）如表是一组二次函数y=x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3=0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．9
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝0
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．第8讲 二次函数与一元二次方程
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
1．（2018 永州二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
【解答】解：①当x=1时，结合图象y=a+b+c＜0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴为0＜x=﹣＜1，
∴2a＞﹣b，
即2a+b＞0，
故本选项错误；
④对称轴为x=﹣＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④．
故选：C．
2．（2018 遵义一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴﹣＞1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③∵OC=2OA，
∴A（﹣，0），
∴ac2﹣bc+c=0，
整理得：2b﹣ac=4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选：C．
3．（2018 海港区一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①b2﹣4ac＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3b+2c＜0；
④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，①正确；
②由于对称轴为x=﹣1，
∴（1，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣3，0），
（0，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣2，0），
当x=﹣2时，y=0，
∴4a﹣2b+c=0，故②错误；
③由题意可知：=﹣1，
∴2a=b，
当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故③正确；
④由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1，此时y=a﹣b+c是最大值，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1），
∴m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），故④正确；
故选：B．
4．（2018 保定一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b=0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
【解答】解：①由图象可得c＞0，
∵x=﹣=1，
∴ab＜0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x=1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm≤a+b，即无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b．
故④正确；
⑤∵当x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，
故⑤错误；
故选：B．
5．（2018 鄂城区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=﹣2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；
∵c=﹣2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故①错误；
②∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=﹣2，
∴a+b＞2，
故②错误；
③∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴1＜x1+x2＜3，
又∵x1+x2=﹣，
∴1＜﹣＜3，
∴﹣3a＜3a+b＜﹣a．
∴3a+b＞0，
故③正确；
④∵0＜x1x2＜2，x1x2=＜2，
又∵c=﹣2，
∴a＜﹣1．
故④正确．
故选：B．
6．（2018 东阳市模拟）设直线x=2是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＞0）的图象的对称轴（ ）
A．若m＞3，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞3，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜3，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜3，则（m﹣1）a+b＜0
【解答】解：由对称轴，得
b=﹣4a．
（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣4a=（m﹣5）a，
当m＞3时，（m﹣1）a+b=（m﹣1）a﹣4a=（m﹣5）a，（m﹣1）a+b与0无法判断．
当m＜3时，（m+1）a+b=（m+1）a﹣4a=（m﹣5）a＜0．
故选：D．
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2018 深圳模拟）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【解答】解：函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，
令y=0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a，b，
∵当x=m或n时，y=3＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．
故选：D．
2．（2018 龙湾区二模）关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
【解答】解：将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m，
画出函数图象，如图所示．
∵抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），
∴α＜3＜5＜β．
故选：D．
3．（2018 岱岳区一模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）=10根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣1 D．有两个根，其中一根大于2
【解答】解：将抛物线y=（x+1）（x﹣2）往下平移10个单位长度可得出新抛物线y=（x+1）（x﹣2）﹣10，如图所示．
∵抛物线y=（x+1）（x﹣2）与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），
∴抛物线y=（x+1）（x﹣2）﹣10与x轴有两个交点，一个在（﹣1，0）的左侧，一个在（2，0）的右侧，
∴方程（x+1）（x﹣2）=10有两个不相等的实数根，一根小于﹣1，一根大于2．
故选：D．
4．（2018 阜阳模拟）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵函数过A（3，0），
∴﹣18+12+m=0，
∴m=6，
∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，
∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标为（﹣1，0）；
（2）C点坐标为（0，6），；
（3）∵S△ABD=S△ABC=12，
∴S△ABD==12，
∴|h|=6，
①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，解得：x1=0，x2=2
∴D点坐标为（0，6）或（2，6），
②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，解得：x1=1+，x2=1﹣
∴D点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）
∴D点坐标为（0，6）、（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．
5.（2018 陵城区二模）如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵函数过A（3，0），
∴﹣18+12+m=0，
∴m=6，
∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，
∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标为（﹣1，0）；
（2）当x=0时，y=6，
则C点坐标为（0，6），
∴S△ABC==12；
（3）∵S△ABD=S△ABC=12，
∴S△ABD==12，
∴|h|=6，
①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，
解得：x1=0，x2=2
∴D点坐标为（0，6）或（2，6）；
②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，
解得：x1=1+，x2=1﹣
∴D点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）；
∴D点坐标为（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．
6．（2018 通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）请你求出点A、B、C的坐标；
（2）若二次函数y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）y=mx2+4mx+4m+1=m（x+2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为C（﹣2，1），
对于y=x+4，令x=0，得到y=4；y=0，得到x=﹣4，
直线y=x+4与x轴、y轴交点坐标分别为A（﹣4，0）和B（0，4）；
（2）把x=﹣4代入抛物线解析式得：y=4m+1，
①当m＞0时，y=4m+1＞0，说明抛物线的对称轴左侧总与线段AB有交点，
∴只需要抛物线右侧与线段AB无交点即可，
如图1所示，
只需要当x=0时，抛物线的函数值y=4m+1＜4，即m＜，
则当0＜m＜时，抛物线与线段AB只有一个交点；
②当m＜0时，如图2所示，
只需y=4m+1≥0即可，
解得：﹣≤m＜0，
综上，当0＜m＜或﹣≤m＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点．
3用图象法去求方程的根
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
1．（2017秋 古田县校级期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
【解答】解：∵x=1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是1.7．
故选：D．
2．（2017秋 颍州区期中）如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1
【解答】解：当x=﹣1时，y=﹣1，x=1时，y=1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在
﹣1＜x1＜0，
故选：C．
3．（2017秋 思明区校级月考）如表是一组二次函数y=x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3=0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
【解答】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3=0的一个近似根为2，
故选：B．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．9
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
化简，得
a＝，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，
故选：A．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5 B．m＞5或m＜0 C．m＞5或m＝0 D．m≥5或m＝0
【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，
∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），
（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，
（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，
∴m＝0或m＞5．
故选：C．
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；
当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；
当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．
故选：C．
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
【解答】解：
如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，
故选：A．
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
故选：B．
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ 4a ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
【解答】解：（1）由题意得：
抛物线的x＝＝﹣2 解得b＝4a，
故答案为：4a；
（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解
∴△＝b2﹣4ac≥0 即：（﹣4）2﹣4×（﹣1） c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4
∴抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4与直线y＝c 在﹣3＜x＜1的范围内有交点
当x＝﹣2时 y＝﹣4；当x＝1时，y＝5
故可得：﹣4＜c＜5
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
【解答】解：
（1）将点C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．
故k的值为﹣4．
（2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，
∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．
故抛物线与x轴的交点坐标，点A（﹣1，0）；点B（4，0）．
（3）如图，
∵抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，化为顶点式得：．
∴顶点M为
∴△ABM的高为
∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，
∴S△ABM＝，
故△ABM的面积为．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2，
∴C1的顶点坐标为（0，0），
根据题意，得平移后抛物线C2的顶点坐标为：（﹣1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线C2与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（2）∵抛物线抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，抛物线C2在x轴的下方．
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝﹣2a代入方程ax2﹣bx+6＝0得：ax2+2ax+6＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax+6＝0得：16a+8a+6＝0，
a＝﹣，则b＝．
即方程为﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x＝﹣6，x＝4，
即方程的另一个根为﹣6．
