南靖县2021-2022学年（下）高二年期中考数学试卷
一、单选题
1.已知集合A={-7,-2,2,3},B={xx2-4-12<0},则AnB=(
A.{3}
B.{23}
C.{-2,2,3}
D.
2
2.已知复数：则+=(
A.1
B.√2
C.5
D.3
3.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上是单调递增函数的是()
A.y=x|-1
B.y=-xX2+3
C.y=lgx
D.y=3
-U4
4.设a=l0g25,b=29,6
则(
A.b
B.cC.cD.acos 2x
5.已知co+到
,则cosx-
的值是(
4
A.月
B
c.
1
D.
5
2
6.2022年普通高中招生体育考试满分确定为100分.甲、乙、丙三名考生独立参加测
试，他们能达到满分的概率分别是0.7,0.8,0.75，则三人中至少有一人满分的概率为
(
)
A.0.015
B.0.985
C.0.995
D.0.42
7.在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yAC(c>0,y>0),
则上+2的最小值为()
x y
A.9
B.8
C.4
D.2
8.有如下命题：①若幂函数y=f(x)的图象过点
2,
则f)>
②函数f(x)=a+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(1,2)：
③函数f(x)=x2-1-log4x有两个零点：
④若函数f(x)=x2-2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值
范围是[12].
其中真命题的序号为(
A.①②
B.②④
C.①④
D.②③
二、多选题
9.给出以下结论：则结论正确的序号为()
A.若向量a=（-2,3),b=(3,m),且a16,则m=2
B.日=4，月=8，a与方的夹角是120°，则a+=45
C.
已知向量a=小月，i=(5,),则a与6夹角的大小为君
D.向量m=(a,-2),n=(1,l-a),且m/n,则实数a=0
10.将函数f()=sim(x+)(o<受)的图象沿x轴向左平移4个单位后，得到一个
偶函数的图象，则(
A9=号
B.(关于直线x=-对称
上单调递增
D.若f(x)在区间(2022，a)上存在零点和极值点，则整数a的最小值为2023
11.如图，ABCD是底面直径为2高为1的圆柱OO,的轴截面，四边形OO,DA绕OO,逆
时针旋转0(0≤0≤)到00，D4,则()
9
D
A.圆柱OO的侧面积为4π
B.当0<0<π时，DD⊥AC
C.当0=-号时，异面直线4D与00所成的角为号
D.△ACD面积的最大值为√5
三、填空题
13.己知轮船A和轮船B同时从C岛出发，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北
方向航行（如图）.若A船的航行速度为40W2mile/h,1h后，B船测得A船位于B
船的北偏东45°的方向上，则此时A,B两船相距
nmile.
45
B
309
C
14.如图为函数f)=Asn(ax+p4>0,0>0,p水牙x∈R
的部分图像，则_则
0南靖县高二数学期中考试卷解析版
一、单选题
1．已知集合 A 7, 2,2,3 ， B x x 2 4x 12 0 ，则 A B （ ）
A． 3 B． 2,3 C． 2,2,3 D．
由题意得 B x 2 x 6 ，所以 AI B 2,3 ．
故选：B.
2
2．已知复数 z ，则 z i （ ）
1 i
A．1 B． 2 C． 5 D．3
2(1 i) 2(1 i)
依题意， z 1 i(1 i)(1 i) 2 ，则 z i 1 2i，
所以 z i 12 22 5 .
故选：C
3．下列函数中，既是偶函数又在 (0, )上是单调递增函数的是（ ）
A． y | x | 1 B． y x2 3 C． y lg x D． y 3x
对于 A，函数为偶函数，且在 (0, )上单调递增，满足题意
对于 B，函数为偶函数，但在 (0, )上单调递减，故 B错误
对于 C，函数为非奇非偶函数，故 C错误
对于 D，函数为非奇非偶函数，故 D错误
故选：A
0.4
4．设a log25
1
，b 20.9 ，c ，则（ ）
4
A．b a c B． c a b C．c b a D． a c b
a log2 5 2，
20 b 20.9 21，即1 b 2，
1 0.4 2 0.4c 2 20.8 20.9，
4
所以 a b c．
故选：C．
试卷第 1页，共 13页
cos 2x
5．已知 cos
1
x ，则 cos x 的值是（ ） 4 3
4
1 2
A B C 1 D 3． ． 3 ． ．3 2 2
cos x 1因为 ，所以 cos x cos
sin x sin 1 ，
4 3 4 4 3
所以 cos x sin x 2 ，
3
cos 2x = cos
2 x sin 2 x = 2(cos x sin x) 2
又 cos x cos xcos
sin xsin 3 ，
4 4 4
故选：B.
6．2022年普通高中招生体育考试满分确定为 100分．甲、乙、丙三名考生独立参加测
试，他们能达到满分的概率分别是 0.7，0.8，0.75，则三人中至少有一人满分的概率为
（ ）
A．0.015 B．0.985 C．0.995 D．0.42
设 “甲考生满分” 为事件 A， “乙考生满分” 为事件 B， “丙考生满分” 为事件 C，则
P A 0.7， P B 0.8， P C 0.75， P A 1 0.7 0.3， P B 1 0.8 0.2，
P C 1 0.75 0.25，设 “三人中至少有一人满分” 为事件 D ，
则 P D 1 P ABC 1 0.3 0.2 0.25 1 0.015 0.985 .
故选：B.
7．在 ABC中，点 F为线段 BC上任一点（不含端点），若 AF xAB 2yAC x 0,y 0 ，
1 2
则 x y的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
因为点 F为线段 BC上任一点（不含端点），
所以 x 2y 1，
1 2 1 2 x 2 y 1 2y 2x 4 5 2 2y 2x故 9，x y x y x y x y
2y 2x 1
当且仅当 ，即 x y x y 时等号成立，3
故选：A
1 1
8．有如下命题：①若幂函数 y f x 的图象过点 2, ，则 f 3 ；
2 2
②函数 f x ax 1 1 a 0,a 1 的图象恒过定点 1,2 ；
试卷第 2页，共 13页
③函数 f x x2 1 log 1 x有两个零点；
2
④若函数 f x x2 2x 4在区间 0,m 上的最大值为 4，最小值为 3，则实数 m的取值
范围是 1,2 ．
其中真命题的序号为（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．②③
a 1 a 1
①设幂函数为 f x x ，因为 y f x 的图象过点 2, ，所以 2 ，解得 a 1，
2 2
则 f x 1 ，在 ,0 上递减，在 0, 1上递减，所以 f 3 f 2 ，故错误；
x 2
x 1
②令 x 1 0，解得 x 1，此时 y 2，所以函数 f x a 1 a 0,a 1 的图象恒过定
点 1,2 ，故正确；
2 2
③令 f x x 1 log1 x 0，得 x 1 log 1 x 2，在同一坐标系中作出 y x 1, y log 1 x
2 2 2
的图象，如图所示，
由图象知：y x2 1, y log 1 x 有 1个交点，即函数 f x x2 1 log 1 x有 1个零点，故
2 2
错误；
2
④函数 f x x 2x 4的图象，如图所示：
试卷第 3页，共 13页
，
由图象知：若 f x 在区间 0,m 上的最大值为4，最小值为 3，则实数m的取值范围是 1,2 ，
故正确．
故选：B
二、多选题
9．给出以下结论：则结论正确的序号为（ ）
A．若向量 a 2,3 ，b 3,m ，且 a b，则m 2
B． a 4， b 8， a与b的夹角是 120°，则 a b 4 3
r
C．已知向量 a 1, 3 ，b = ( 3,1) ，则 a与b夹角的大小为 6
ur r
D．向量m a, 2 ， n 1,1 a ，且m//n，则实数 a 0
因为 a b，所以 a b 2 3 3m 0，解得m 2，故 A正确；
2 2 2
因为 a b a 2a b b 16 2 16 64 48，所以 a b 4 3，故 B正确；
因为 cos a,b
a b 1 3 3 1 3
a b 2 2 2 ，所以 a与b夹角的大小为 6 ，故 C正确；
ur r
因为m//n，则 a2 a 2 0，解得a 2或 a 1，故 D错误；
故选：ABC
10．将函数 f x sin x （ 1 ）的图象沿 x轴向左平移 个单位后，得到一个
2 4
偶函数的图象，则（ ）
A．
4
3
B． f x 关于直线 x 对称
4
试卷第 4页，共 13页
f x 3 1 C． 在区间 , 上单调递增
4 4
D．若 f x 在区间 2022,a 上存在零点和极值点，则整数 a的最小值为 2023
x 1 x
4
f x sin x g x sin x
4
∵ g(x)
是偶函数，∴ k ， k Z
4 2
又∵ | |< ，∴
2 4
所以 f (x) sin( x )，
4
1 3
所以对称轴方程为 x k ，即 x k ，当 k 1时， x ，B正确；
4 2 4 4
由 2k x 2k
,k Z ，得 2k
3 1
x 2k ,k Z，
2 4 2 4 4
所以 f x [2k 3 ,2k 1的单调递增区间为 ]，当 k 0时，C正确；
4 4
x 2022,a x ，
4
2022 , a ，
4 4
f x 在 x 2022,a 上的图象与 y sin , ( , (a 2022) )图象相同，
4 4
y sin , ( , (a 2022) ∴ )存在零点和极值点，
4 4
∴ (a 2022)
a 3 ，∴ 2022
4 4
又∵a为整数，所以 a的最小值为 2023，所以 D选项正确.
故选：BCD.
11．如图， ABCD是底面直径为 2高为1的圆柱OO1的轴截面，四边形OO1DA绕OO1逆
时针旋转 0 到OO1D1A1 ，则（ ）
A．圆柱OO1的侧面积为 4
B．当0 时，DD1 A1C
C．当 时，异面直线 A1D与OO3 1
所成的角为
4
试卷第 5页，共 13页
D． A1CD面积的最大值为 3
对于 A，圆柱OO1的侧面积为2 1 1 2 ，A错误；
对于 B，因为0 ，所以DD1 D1C，又DD1 A1D1，
所以DD1 平面 A1D1C，所以DD1 A1C，B正确；
对于 C，因为 A1D1 / /OO1，所以 DA1D1就是异面直线 A1D与OO1
所成的角，因为 DO1D1 ，所以 DO D3 1 1
为正三角形，
所以DD1 A
1D1 1，因为 A1D1 DD1，所以 DA1D1 ，C正确；4
对于 D，作D1E DC，垂足为 E，连接 A1E，所以DC 平面 A1D1E，所以 A1E DC .
在 Rt A1D1E中， A E AD2 ED2 1 D E 21 1 1 1 1 1 D
2
1O1 2，
S 1 1 A1CD DC A1E 2 2 2 ，所以 S ACD 2 ，D错误.2 2 1 max
故选：BC.
x 1 2f x , x 012．已知函数 ，若 f x a有四个不同的解 x1, x2 , x3 , x4 且
log4x , x 0
x1< x2< x3< x4 ，则有（ ）
A． x1 x2 2 B． x3 x4 1
1
C． a 0,1 31D． x4 x1 x2 x x2 的最小值为 3 4 4
由题意，当 x 0时， f (x) (x 1) 2 ；当0 x 1时， f (x) log 4 x ；当 x 1时，
f (x) log 4 x．作出函数 f x 的图象，如下图所示，
试卷第 6页，共 13页
1
易知 f x 与直线 y 1有四个交点，分别为 2,1 ， 0,1 ， ,1 ， 4,1 ，
4
因为 f x a有四个不同的解 x ，x ， x3， x4且 x1< x < x1 2 2 3< x4 ，
1
所以0 a 1， 2 x1 1 x2 0 ，且 x1 x2 2， x3 1 x 4，4 4
又 f (x3) log4 x3 a ， f (x4 ) log4 x4 a，
所以 log4 x3 log4 x4 ，即 log4 x3 log4 x4 log4 x3 x4 0，则 x3 x4 1．
1 1
所以 x4 x1 x2 2x 1 x 4x3x2 4 x
，且 4 ，
4 4
构造函数 g x 2x 1 ，且1 x 4，
x
可知 g x 在 1,4 上单调递减，且 g 4 1 31 2 4 ，
4 4
1 31
所以 x4 x1 x2 x x2 的最小值为 ．于是 A，B，D正确，C错误．3 4 4
故选：ABD
三、填空题
13．已知轮船A和轮船 B同时从C岛出发，A船沿北偏东 30°的方向航行， B船沿正北
方向航行（如图）．若A船的航行速度为40 2 nmile / h，1h后， B船测得A船位于 B
船的北偏东 45 的方向上，则此时A， B两船相距____________ nmile .
解：依题意 ACB 30 ， AC 40 2 ， ABC 135 ，
AC AB 40 2 AB
由正弦定理 ，即 1 ，解得 AB 40；
sin ABC sin ACB 2
2 2
试卷第 7页，共 13页
故答案为： 40
14．如图为函数 f x Asin x A 0
， 0， ，x R 的部分图像， 则 则
2
__________.
1
由图象可知， A 2， T ， T
4 3 12 4
T 2
， 0 2
f x 2sin 2x ，将 , 2 代入得：
12
f 2sin 2 2
， 2k k Z
12 12 6 2
2k k Z 又
3 2 3
15．已知平面 和两条不同的直线 a,b，则下列判断中正确的序号是___________.
① 若 a∥ ,b∥ ，则 a∥ b；
② 若 a ,b ，则 a∥ b；
③ 若 a b,b // ，则 a ；
④ 若 a∥ b,b ，则 a ；
若 a∥ ,b∥ ，则 a∥ b或 a，b异面，或 a，b相交，① 错误；
若 a ,b ，则 a∥ b，② 正确；
若 a b,b // ，则 a 或 a∥ 或 a与 相交，③ 错误；
若 a∥ b,b ，则 a ，④ 正确；
故答案为：② ④.
16．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，
黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：当
1 , x q q 当
R(x) p p
p,q都是正整数 , 是不可以再约分的真分数
p ，若函数是 f (x)定义在
0, x 0,1或者[0,1]上的无理数
试卷第 8页，共 13页
R 上的奇函数，且 f (x) f (2 x) 0，当 x [0,1]时， f (x) R(x)，则
f 10
3
3
f __________． 3
因为函数是 f (x)定义在R 上的奇函数，且 f (x) f (2 x) 0，
所以 f x 2 f 2 x 2 f x f x ，
当 x [0,1]时， f (x) R(x)，
所以 f
10 f 3 2 3 2 3 1 1
3
3
f f = R R 0 .
3 3 3 3 3 3
1
故答案为： .
3
四、解答题
17.
18．已知向量 a sin x, sin x ，b 2 3 sin x, 2cos x ，函数 f x a b 3．
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求函数 f x 的单调递减区间．
因为 a sin x, sin x ，b 2 3 sin x, 2cos x ，
所以 a b 2 3 sin2 x 2sin x cos x 2 3
1 cos 2x
sin 2x
2
3 cos 2x sin 2x 3，
所以 f x 3 cos 2x sin 2x 2cos 2x
π
6
，
试卷第 9页，共 13页
故函数 f x 2π的最小正周期是T π2 ．
(2)
由 f x 2cos 2x
π
2kπ 2x π ，得 2kπ π k Z ，
6 6
kπ π 5π解得： x kπ k Z ，
12 12
所以函数 f x kπ π ,kπ 5π 的单调递减区间为 k Z ． 12 12
19．某企业员工 500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第 1组 25,30 ，第 2组
30,35 ，第 3组 35,40 ，第 4组 40,45 ，第 5组 45,50 ，得到的频率分布直方图如
图所示.
区
25,30 30,35 35,40 40,45 45,50
间
人
50 50 a 150 b
数
（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数 a,b的值；
（2）现在要从年龄较小的第 1，2，3组中用分层抽样的方法抽取 6人，年龄在第 1，2，
3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的前提下，从这 6人中随机抽取 2人参加社区宣传交流活动，求至少有 1
人年龄在第 3组的概率.
解：（1）由题设可知， a 0.08 5 500 200，b 0.02 5 500 50 .
（2）因为第 1，2，3组共有50 50 200 300人，
利用分层抽样在 300名学生中抽取 6名学生，每组抽取的人数分别为：
50 50 200
第 1组的人数为 6 1，第 2组的人数为6 1，第 3组的人数为6 4，
300 300 300
所以第 1，2，3组分别抽取 1人，1人，4人.
（3）设第 1组的 1位同学为A，第 2组的 1位同学为 B，第 3组的 4位同学为C1,C2 ,C3,C4，
试卷第 10页，共 13页
则从 6位同学中抽两位同学有：
(A,B), A,C1 , A,C2 , A,C3 , A,C4 , B,C1 , B,C2 , B,C3 , B,C4 , C1,C2 ，
C1,C3 , C1,C4 , C2 ,C3 , C2 ,C4 , C3,C4 共 15种可能.
其中 2人年龄都不在第 3组的有： A,B 共 1种可能，
1 14
所以至少有 1人年龄在第 3组的概率为1 .
15 15
20．在① cos2A cos B C ，② asinC 3ccos A这两个条件中任选一个作为已知条
件，然后解答问题．
在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，______．
(1)求角 A；
(2)若b 2， c 4，求 ABC的 BC边上的中线 AD的长．
【分析】
（1）若选①，由已知可得 2cos2 A 1 cos A，可求出 cos A，进而求出A；
若选②：由正弦定理，得 sin AsinC 3sinC cos A，可求出 tan A，进而求出A；
1
（2） AD是 ABC的 BC边上的中线， AD (AB AC)，利用向量法可求 AD的长．
2
(1)
解：（1）若选①，即 cos 2A cos(B C)，得 2cos2 A 1 cos A，
2cos2
1
A cos A 1 0 ， cos A 或 cos A 1（舍去），
2
A (0, )， A
；
3
若选②：asinC 3ccos A，
由正弦定理，得 sin AsinC 3sinC cos A，
A，C (0, )， sinC 0，则 sin A 3cos A， tan A 3， A ；3
(2)
1
解： AD是 ABC的 BC边上的中线， AD (AB AC)，
2
2 1 2 2 AD (AB AC ) 2 1 (AB 2AB AC AC )
4 4
1 2 2 AB 2AB AC AC4
1
(c2 2c bcos b2 )，
4 3
试卷第 11页，共 13页
1
(42 2 4 2 cos 22 ) 7，
4 3
AD 7 ．
21．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌 病毒的生存条件、
繁殖习性等对于预防疾病的传播 保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中
放入一定量某种细菌进行研究．经过 2分钟菌落的覆盖面积为18mm2，经过3分钟覆盖
面积为 27mm2 ，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积 y（单位：mm2）与经
x 1
过时间 x（单位：min）的关系有两个函数模型 y ka k 0,a 1 与 y px 2 q p 0
可供选择.
（参考数据：lg 2 0.301，lg 3 0.477，lg 5 0.699，36 729，37 2187，38 6561，
39 19683）
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过 200mm2？（结果保留到整数）
(1)
1
y kax k 0,a 1 的增长速度越来越快， y px 2 q p 0 的增长速度越来越慢，
y kax应选模型为 k 0,a 1 ；
ka2 18 3 a x
3
则 3 ，解得： 2， y 8 ，又 x N ，
ka 27 k 8
2
3 x 函数模型为 y 8 x N ；
2
(2)
x x
8 3 3由题意得： 200
，即 25，
x log 3 25，
2 2 2
log 25 lg 25 2 lg5 2 0.6993 3 8
2 lg lg3 lg 2 0.477 0.301 ， x 8，
2
至少经过8min培养基中菌落面积能超过 200mm2 .
22．定义在 D上的函数 f x ，若满足：对任意 x D，存在常数M 0，都有 f x M
成立，则称 f x 是 D上的有界函数，其中 M称为函数 f x 的上界．
（1）设 f x x 1 1 ，判断 f x 在 , 上是否是有界函数，若是，说明理由，并写
x 1 2 2
出 f x 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由；
试卷第 12页，共 13页
2 1
x x
1
（ ）若函数 f x 1 a 在 0, 上是以 4为上界的有界函数，求实数 a
3 9
的取值范围．
1 f x x 1 1 ，
x 1 x 1
1 1
则 f x 在 ， 上是增函数； 2 2
f 1故
f x f 1
2
；
2
1 f x 1即 3，
故 f x 1，故 f x 是有界函数；
故 f x 的所有上界的值的集合是 1， ；
2 由题意知， f x 4对 x 0， 恒成立．
4 f x 4 t 1
x
即： ，令 ，
3
x 0， t 0，1 ，
所以 4 1 at t 2 4，
5 3
t
a t对 t 0，1 恒成立，
t t
[ t 5 ] a (3 max t) ，
t t min
设 h t 5 t
3
， p t t，由 t 0，1 ，
t t
由于 h t 在 t 0，1 上递增， p t 在 t 0，1 上递减，
h t 在 t 0，1 上的最大值为 h 1 6，
p t 在 t 0，1 上的最小值为 p 1 2，
实数 a的取值范围为 6，2 ．
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