冀教版九年级上册24.3 一元二次方程根与系数的关系课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
24.3 一元二次方程根与系数的关系*
第二十四章 解一元二次方程
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式.
2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点)
3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）
学习目标
导入新课
复习引入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根.
一元二次方程 两 根
x1 x2
x2 - 3x + 2 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
x1 + x2 = ？
x1·x2 = ？
2
1
-1
3
4
3
-3
2
2
1
5
4
讲授新课
一元二次方程根与系数的关系
一
问题1：x1、x2 是一元二次方程的两根，x1+ x2 与 x1·x2 和方程的系数有什么关系？
猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根之和、两根之积与系数有什么关系.
x1 + x2 = - p， x1·x2 = q
一元二次方程 两 根
x1 x2
9x2 - 6x + 1 = 0
3x2 - 4x - 1 = 0
3x2 + 7x + 2 = 0
x1 + x2 = ？
x1·x2 = ？
-2
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
归纳总结
证一证：
注：b2 - 4ac≥0
↗
拓广探索
一元二次方程的根与系数的关系的两个重要推论：
推论1：如果方程 x2 + px + q = 0 的两个根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = - p，x1· x2 = q.
推论2：以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1) 是 x2 -(x1 + x2) · x + x1· x2 = 0.
一元二次方程根与系数关系的应用
二
类型一 直接运用根与系数的关系
例1 不解方程，求下列方程两根的和与积.
典例精析
在使用根与系数的关系时，应注意：
(1)不是一般式的要先化成一般式；
(2)在使用 时，注意“－ ”不要漏写.
注意
例2 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
类型二 求关于两根的代数式的值
典例精析
例3 已知方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1.
由根与系数的关系，得 x1 + x2 = 1 + x2 = 6，
∴ x2 = 5 .
又 x1 · x2 = 1×5 = ，
解得 m = 15.
答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
类型三 求方程中字母系数的值
典例精析
当堂练习
2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
1
-2
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____.
___
-3
3.方程 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围.
解：设方程的两根为 x1，x2，则，
即
m ＞ 0；
m - 1 ＜ 0.
∴0 ＜ m ＜ 1.
4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且 (x1 + 1)(x2 + 1) = 4.
（1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值.
解：(1) 由根与系数的关系，得
∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 =
解得 k = -7.
（2）∵ k = -7，∴
则
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系
内 容
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
应 用
……