江门市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学参考答案及评分细则
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1~4 ADAB 5~8 CACC
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.BD 10.ABD 11.AC 12.BC
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. （第一空2分，第二空3分） 14. 15. 16.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． ………2分
女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． ………4分
（2）． ………8分（列式2分，计算2分）
由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. ………10分
（12分）
【解析】（1）因为， ………1分
由题意可得 ………2分
解得，， ………3分
所以；，
经检验，处附近的导数左正右负，适合题意. ………4分
又，， ………5分
所以函数图象在处切线的方程为，
即. ………6分
（2）因，
令，得或. ………7分
当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数. ………9分
因为函数在上不单调，
所以或， ………11分
所以或. ………12分
（12分）
【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以， ………3分
即，解得， ………5分
所以. ………6分
（2）由（1）可得， ………8分
………10分
………11分
………12分
（12分）
【解析】（1）由已知数据可得，， ………2分
， ………4分
所以相关系数，
因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系．………6分
（2）由（1）可知，， ………8分
， ………9分
∴与之间的线性回归方程为， ………10分
当时，， ………11分
当指标数为时，指标数的估计值为． ………12分
（12分）
【解析】记事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种.
（Ⅰ）根据题意，有，故，进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率为
………3分（列式2分，计算1分）
（Ⅱ）根据题意，有，所以
………4分
故进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为
………6分（列式1分，计算1分）
（Ⅲ）根据题意，进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数服从二项分布，即 ………7分
，
，
0 1 2 3
故的分布列为
………11分（概率对1个1分、2或3个2分、全对3分；表格1分）
所以，的数学期望为 ………12分
22.（12分）
【解析】（1）时，， ………1分
令，则， ………2分
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增； ………3分
的最小值为，故有当时，. ………4分
（2）思路一：参数分离，函数的零点个数即方程的解的个数，转化为直线与函数图像的交点个数，作函数的图像求解；
思路二：不完全参数分类，令，，转化为这两个函数图像的交点个数，数形结合求解；
思路三：讨论函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数。
下面给出思路三的求解过程：
①时，，在R上单调递增，且，，
所以在上有一个零点； ………5分
② 时，，无零点； ………6分
③时，，由得，
当，，在上单调递减；当，，在上单调递增，所以有最小值 ………8分
若，，有一个零点； ………9分
若，，无零点； ………10分
若，，又，可知在和上各有一个零点，故有两个零点. ………11分
综上所述：若，；若或，有一个零点；若，有两个零点. ………12分江门市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分，测试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若，则在处的导数
A． B． C． D．
2. 在研究体重与身高的相关关系中，计算得到相关指数，则（ ）
A．是解释变量 B．只有的样本符合得到的相关关系
C．体重解释了的身高 D．身高解释了的体重
3. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，事件A表示“取到的两数之和为偶数”，事件B表示“取到的较大的数为奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
6. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：（ ）
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 24种 B. 12种 C. 36种 D. 48种
8. 巨星勒布朗-詹姆斯在球场上能够胜任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋四个位置，根据以往数据，他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋出场率分别为0.2，0.4，0.3，0.1，当他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋时，球队输球概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当他参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为（ ）
A. 0.4 B. 0.64 C. 0.36 D. 0.6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A． B． C． D．
10. 下列关于残差图的描述正确的是（ ）
A．残差图的纵坐标只能是残差
B．残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
11. 设离散型随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4 5
m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量，且，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 定义域是（0，+）
B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C. 存单调递增区间
D. 有且仅有两个极值点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知随机变量，则___________.
14. 请写出一个首项是1，且单调递减的等差数列的通项公式________________.
15. 展开式中的系数为________.（用数字作答）
16. 某电视台有一种猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，已知选手猜对A、B、C三首歌曲的概率依次是0.8、0.5、0.2，且猜对可获得的奖励依次为100元、200元、500元，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格进入下一首，则某选手按照ABC顺序猜歌所获奖金均值比按照BAC的顺序猜歌所获奖金均值多______元.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.（12分）
已知函数在处取得极大值1.
（1）求函数的图象在处切线的方程；
（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.
19.（12分）
设是首项为1的等比数列，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前n项和，求的前n项和．
（12分）
近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在省的发展情况，省某调查机构从该省抽取了个城市，分别收集和分析了网约车的，两项指标数，，（）数据如下表所示：
经计算得，．
（1）试求与间的相关系数，并利用，说明与是否具有较强的线性相关关系.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立关于的回归方程，并预测当指标数为时，指标数的估计值．
附：相关公式，，．
参考数据：，．
（12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也相互独立．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望．
22.（12分）
已知函数，.
若，证明：当时，；
讨论零点的个数.
