8 数学广角——找次品（教案）-五年级下册数学人教版

第七章 找次品
目标定位分析
《找次品》是人教版五年级下册第八单元的内容，主要以找次品这一探索性操作活动为载体，让学生在探究活动中充分的比较、观察、讨论、交流，让学生经历方法多样化和优化的过程，体验优化思想在解决问题中的应用价值。次品是指不符合质量标准的产品，次品的情况也各不相同，这节课学习中要找的次品就是外观完全相同，但是产品质量（即重量）有所差异，并且只含一个次品，已知次品比正品重或轻。教师应该把教学重点放在学生学习的难点和解决找次品问题的关键点上，具体说就是把握两点：一是抓住解决“找次品问题”的优化本质进行探究；二是借助直观图进行抽象推理和数学表达。因此我们设置如下的教学目标：
1、通过观察、比较、讨论、交流，探究找次品的策略，经历由多样化到优化的思维过程。
2、简洁明了地表述自己的思考过程，学习用图形、符号等直观方式清晰、简明地表示数学思维的过程，培养逻辑思维的能力。
教学目标
知识目标：让学生初步认识“找次品”这类问题的基本解决手段和方法。
能力目标：学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
情感目标：感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学重难点：体会解决问题策略的多样性，初步学会运用优化的方法解决实际问题。
教学过程
（一）创设情境 导入新课
1、课前小故事
师：今天学习找次品，我先给大家讲一个找次品的故事:联合利华引进了一条香皂包装生产线，结果发现这条生产线有个缺陷：常常会有盒子里没装入香皂。总不能把空盒子卖给顾客啊，他们只得请了一个学自动化的博士后设计一个方案来分拣空的香皂盒。博士后拉起了一个十几人的科研攻关小组，综合采用了机械、微电子、自动化、X射线探测等技术，花了几十万，成功解决了问题。每当生产线上有空香皂盒通过，两旁的探测器会检测到，并且驱动一只机械手把空皂盒推走。中国南方有个乡镇企业也买了同样的生产线，老板发现这个问题后大为发火，小工很快想出了办法：他花了90块钱在生产线旁边放了一台大功率电风扇猛吹，于是空皂盒都被吹走了。小工立了一功, 老板很高兴, 给了1000块奖金, 皆大欢喜。可是在经济危机的海啸中, 这个小工厂就倒闭了，而博士后研究出机械抓臂,机械抓臂"模块化"应用在更广泛的领域，博士后也一夜成名,上了各大报纸报刊，变成了百万富翁。有智慧的人“从无处着手”到“轻松拿下”，其实并不遥远，中间相隔的只是“探究的旅程”。今天的课堂中希望大家也做一个有智慧会探究的人。
2、引入新课
今天的数学课我们需要研究从多个外观相同的同一物品中只有一个次品的数学问题，没有先进的机械手帮助，你能借助我们生活中什么常用的工具吗？
生列举找次品出的工具
生：天平。
师：天平长什么样子？谁能到前面来用双臂来模仿一下天平的样子。
学生模仿（平衡、左低右高、右低左高）
师：左低右高、右低左高都属于不平衡的情况，所以天平只有两种可能性，说一说天平有几种情况？
生：平衡、不平衡。
师：两种可能性，我们就可以假设它，如果平衡、如果不平衡。（师板书：天平，如果平衡，如果不平衡），除了用文字，还可以用其他方式比如图示的方法（板书： ）
（二）探究新知 发现规律
1、从2个、3个物品中找次品（次品较轻）。
（1）师：天下之难事，必先作于易，我们就从2个物品开始研究吧，次品较轻。谁再来用胳膊模仿天平演示一下）
师：谁来说一说哪一瓶是次品
生：右（左）边翘起，右（左）边较轻是次品。
师：我们称了几次？
生齐回答：1次。
板书：①、②，称1次，较轻为次品。（板书： 称一次，次品用√标出）
师：虽然刚才出现左低右高或右低左高，但都属于不平衡的情况。
（2）师：我们研究了两个物品来找次品，我们继续研究3个物品吧，猜一猜在3瓶钙片中找出次品，需要称几次？说说称的过程。
生： 2次。（先摆两个在太平托盘上面，如果平衡，再换一个，轻的是次品。）
生: 1次。（先摆两个在太平托盘上面，如果不平衡，轻的是次品，如果平衡，剩下的是次品。）
师：到底谁说的更有道理，我们来试一试。（请说2次的同学演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，天平平衡）你能判断出哪瓶是次品吗？
师：一样重，天平上没有次品，那次品在哪里？
生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。
师：太棒了，你不但关注了天平的两个托盘，你还关注了天平外。
如果天平左右两边不平呢？你用手臂演示一下
（天平左高右低的情况）
生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。
师：还有哪种可能性？
（学生立刻演示：天平左低右高的情况）
生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。
师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从3瓶中拿出2瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在哪？
众生：剩下的那一瓶。
师：如果天平有一边翘起呢？
众生：翘起的那一瓶。
师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？
众生：1次。
师：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了。开始认为需要2次的同学，现在清楚了3个物品找一个次品，一次就能找出物品了。
师：谁还能像刚才那位同学一样给我们演示一下怎么1次就能找到次品了呢？
（生再次演示，老师适时强调）
师板书：（ 称一次，次品用√标出； 称一次，轻的是次品 )
【设计意图】3瓶中有1瓶次品，用天平称来称，至少1次就可以找到。是找次品问题最基本的思维模型，一定要让每个学生都清晰。所以，一位同学演示后，再请一位同学上台演示，以加深每个同学的印象。
（3）师：2个物品找次品和3个物品找次品都只用称一次，想一想天平称一次最多能判断几个物品？
学生讨论、交流
生：2个，有两个托盘
生：3个，天平看起来有两个托盘，实际上有三个地方可以放物品，即左托盘、右托盘、天平外，所以天平称一次最多可以判断3个物品。
师：“天平外的物品”你们的想法太精妙了，巧妙的应用了天平外来找次品。举一反三，如果物品的数量比较多，可以分组用天平找次品，最多可以判断出三组物品中次品在哪一组。
2、从8个、9个物品中找次品，次品较重。
（1）8瓶钙片里有1瓶是次品（次品重一些），假如用天平秤，至少称几次就保证能找出次品？
师：接下来多一点吧！从8个物品中找次品，大屏出示题目。请同学读题。看看有什么新问题。
生：次品较重
生：至少是最少的
生：能保证，是一定能找到次品
师，你的这个“一定”用得好。
师：“至少称几次就保证能找出次品？”是什么意思？十把钥匙开一把锁，第一把就打开是幸运儿，最后一把打开是倒霉蛋。（学生大笑）如：81个玻璃球，先任意拿2个，一次就称出来，那是不是“至少”呢？
生：“能保证找出次品”就是一定能找出次品，81个任意取两个，可能运气好，一次就称出次品，但运气不是总这么好，称一次并不一定保证能找出次品，“能保证” 就是每一种可能的情况都要考虑。
生：一次就找出次品，不是总能发生，太具偶然性，“至少”就是指在保证一定能找出次品的各种方法中称量次数最少的那种方案。
【设计意图】通过辨析让学生明白“能保证”的含义，在此基础上再理解“至少”，在学生的笑声中讨论，因为这种称一次就巧合找出次品的情况“不是总能发生”，太具偶然性，至少的意义就是两个方面：一，不是偶然出现。二，满足条件一，仍然最少的情况。当学生在讨论中理解了至少就是没有幸运机会时最少的次数。
这次物品的个数多了，不能一次就称出来，在找次品之前，说一说你们准备分几组，怎么分，学生汇报。
每次每边 放的个数 分成的份数 要称的次数
1个 8（1,1,1,1,1,1,1,1） 4
2个 8（2,2,2,2） 3
3个 8（3,3,2） 2
4个 8（4,4） 3
为了让所有的人都能看懂你的推理过程，可以借鉴数学书上的方法老师的图示法、也可以用其他简洁明了的文字或者图示记录你们找次品的推理过程的过程，大屏展示，推荐一种记录方法。
出示小组合作要求：
1、请四人小组每人选择一种找次品的分组方法，先独立完成。
2、在合作小组内交流，说说你的推理过程。
3、比较后，找出最优的方法，说说最优的背后藏着什么秘密？
小组活动开始后，捕捉一两个有价值的图示在实物展台上展示，让小组同学汇报小组记录的找次品的过程。老师补充填写表格，评价学生的记录方法。
师：小组汇报结束，我们很容易的发现分为3组找次品需要称得次数最少，再一次验证了用天平找次品最多可以判断3组物品。
师：大家再次观察表格，这4组中，每组第一次称完之后，不考虑幸运的情况，还剩几个物品。你有什么发现
生：分成3组，第一次称之后，剩余的最少，3个或者两个
生：剩余的，一次刚好可以称完。剩余4个需要再称2次。
（3）师：分成3份称的次数最少，至少称2次保证能找出次品，谁再能说一说称的过程。
教师板书：8（3,3,2）如果平衡 2（1,1）
8（3,3,2）如果不平衡 3(1,1,1） 称2次
师：我们又一次验证了天平一次最多可以判断3组物品，还知道了分成三组每称一次就排除2/3，剩余1/3继续找次品。看来把物品分成3份是最优的方案。
（4）从9瓶钙片里有1瓶是次品（次品重一些），假如用天平秤，至少称几次就保证能找出次品？分3组找次品，你准备怎样分，请自己独立完成，用图示表达思维的过程。
展示学生的探究过程。
师：同样分成3组，为什么9（3,3,3）至少称2次；9（4,4,1）至少称3次，比较一下，你有什么发现？
生：每次都将物品平均分成3份，所用次数最少。
师：观察的挺仔细，发现了“9平均分为（3，3，3）；第一称就可能排除正品6个，剩余次品组3个；而9（4,4,1）第一次称，除了幸运一次称出次品的特殊情况之外，另一种情况可能排除正品5个，剩余次品组4个，还需要称两次。将物品平均分成3份，所用次数最少。
师：不能平均分怎么办？10个，11个怎么办？
生：把物品分成三份，尽量平均分，第三份可以多一个或少一。如：10（3，3，4）、11（4,4,3）、
师：好，用你们的方法试着找出10个物品一个次品较重；11个呢，27个呢，用黑板上的方法记录第一次分组的情况。
板书：10（3,3,4） 11（4,4,3） 27（9,9,9）
尝试找出27个物品中，较重的一个次品。
（三）全课小结：
师：通过我们的观察、比较、讨论，我们发现了找次品的最优方法，说一说我们是如何达到最优的。
生：先列举了多种方法，在比较中发现3分法最优，还要尽可能平均分。
生：只有尽可能的平均分了，每称一次就排除，剩余继续找次品，所以平均分3份，方法最优。
师：今天的课堂，你们不但成功的用多种方法学会推理，找出找次品3分法最优，还在观察比较中，发现尽可能平均分成3份方法最优的原因。知其然，知其所以然，知道事物的表面现象，还知道事物的本质及产生的原因，老师对你们真的刮目相看，你们完成了智慧人的探究之旅，祝贺你们。
（四）课后作业：P115页的表格，发现有趣的规律
用天平找次品时，所测物品数目与测试次数有以下关系：（只含一个次品，已知次品比正品重或轻），在表格中，你能发现什么规律，为什么？
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数 我们的发现
2～3 1 小于或等于31
4～9 2 小于或等于32
10～27 3 小于或等于33
28～81 4 小于或等于34
82～243 5 小于或等于35
…… …… ……
物品数量小于或等于3n,就需要测n次
要保证6次能测出次品，待测物品可能是244（比35多1）～729（36）
二、案例解读：
找次品问题是五年级下册数学广角的内容，教材中设置了两个例题：例1：从3个物品中找次品；例2：从9个物品中找次品；这部分内容建议我们用2课时来教学，第一课时教学例1和例2情况，先从最简单的“2个”“3个”的情形入手，提供直观的经验，初步发现“把这n个零件分成3份”，这是由天平的特点决定的。因为天平有两个托盘，所以次品的位置无外乎三个地方，即两个托盘上、天平外，天平称一次就能确定出次品在三个位置中的哪一个，让学生明确找次品的基本方法，为后面的探索作准备。要使称量的次数最少，每次称量后，就应把次品确定在更小的范围内,这就是优化思想的本质。例2将原先问题中的探索9个零件改为先探讨8个零件，再研究9个零件，主要目的是让学生理解“尽可能地将待测物品平均分成3份”的合理性，再用“10个”“11个”等情形进行验证，层层递进，逐渐感知理解找次品的最优策略。在此基础上，让学生多“说过程”，通过说体会到“尽可能将待测物品平均分成三份”的最优策略，培养逻辑思维推理能力，这一点尤其重要。
第二课时则在学生掌握了三分法最优的数学模型之后，通过练习进一步理解巩固找次品的问题，在练习中要对学生进行分层要求。在找次品的过程中，允许学生借助直观学具推理、用直观图或流程图直接推理、用口头叙述。让学生多“说过程”，通过说体会到“尽可能将待测物品平均分成三份”的最优策略，培养逻辑思维推理能力。使用直观图或流程图，配以相应的文字说明，可以比较简洁而又清晰地表述出逻辑推理的过程，使学生逐步学会用数学化的方式表达思维过程，有意识地培养思维的条理性、逻辑性和准确性。教学中还建议增加数据的方法，让孩子了解数学研究不能只是局限在一段（如，20以内），可能会影响研究的结果，所以教师以表格的形式对比展示数据越大，三分法比二分法更有优势。
教师展示数据：
24个：二分法4次/三分法3次
48个：二分法5次/三分法4次
96个：二分法6次/三分法5次
512个：二分法9次/三分法6次
1024个：二分法10次/三分法7次
……
以上的案例，没有把教学的重点放在机械的三分法建模上，而是把教学重点落在了在探索规律和建立模型的过程中感悟、多样化优化、逻辑推理的能力数学思想上。从案例中不难看出，教师在教学例1时着重引导学生体会和感悟，分成多少组？——是由选择的测量工具“天平”决定的。如果考虑所有可能性，有n个物品，就有n-1种分法，有分成2组、3组、4组、5组等多种分法。如何让学生优化为3分法呢？看来还是借助我们的研究找次品的工具——天平。因为天平只有两个托盘，每称量一次能放上两组研究对象，有“平衡”与“不平衡”两种情况，平衡——则第三组研究对象存在次品；不平衡——则区别了正品组和次品组。”因为用天平来找次品，每称一次都能淘汰2/3的物品，只需要继续研究剩余1/3的物品，为“三分法最优”建立了优化的依据。