北师大版初中数学九年级上册第六章《反比例函数》单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学九年级上册第六章《反比例函数》单元测试卷
考试范围：第六章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，且边长为，则菱形的面积为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第二象限作正方形，将过点的双曲线沿轴对折，得到双曲线，则的值是( )
A. B. C. D.
如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图象经过点，若两正方形的面积差为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为( )
A.
B.
C.
D.
如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数的坐标是( )
A. B.
C. D.
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点在轴上在的左侧，且，连接，．
有如下四个结论：
四边形可能是菱形；四边形可能是正方形；
四边形的周长是定值；四边形的面积是定值．
所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图象上．则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图象经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，矩形的点在函数的图象上，点在函数的图象上，若点的纵坐标为，则符合条件的所有点的纵坐标之和为．( )
A. B. C. D.
学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温将至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 上午点接通电源，可以保证当天：能喝到不超过的水
D. 水温不低于的时间为
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______。
如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为______，点的坐标为______．
如图，平面直角坐标系中，等腰三角形的边落在轴上，，，直线的图象与边交于点，与边交于点，将沿翻折后，点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______．
以矩形的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，使点、分别在、轴的正半轴上，双曲线的图象经过的中点，且与交于点，过边上一点，把沿直线翻折，使点落在矩形内部的一点处，且，若点的坐标为，则直线的解析式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
已知，是反比例函数图像上的两点，且，，。当时，求的取值范围。
如图，四边形为正方形，点坐标为，点坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过、两点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
若点是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．
如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点已知等边的边长为．
求的值；
求等边的边长；
将等边绕点任意旋转，得到等边，是的中点如图所示，连结，直接写出的最大值．
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象经过点，连接、，满足，轴．
______；
求的值；
点是图象上的一个动点点在点的左侧，直线交轴于点，连接，设点的横坐标为，的面积记为，的面积记为，设用含的代数式表示，并求的最大值．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点．
求反比例函数的表达式；
当时，直接写出关于的方程的解；
当时，求的取值范围．
阅读理解：
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法如图：将给定的锐角置于直角坐标系中，边在轴上、边与函数的图象交于点，以为圆心、以为半径作弧交图象于点分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点，连接得到，则．
要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
设、，求直线对应的函数表达式用含，的代数式表示；
分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点请说明点在直线上，并据此证明．
如图，在平面直角坐标系中， 的顶点分别为，，，曲线：．
求点的坐标；
肖曲线经过 的对角线的交点时，求的值；
若曲线刚好将 边上及其内部的“整点”横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则直接写出的取值范围是______．
如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图象经过点，交轴于点，反比例函数的图象也经过点．
求反比例函数的解析式；
过点作于点，求值；
若点是轴上的动点，点在反比例函数的图象上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，所以菱形的对角线与的交点即为原点，作轴于，轴于连接，，首先证明，得出，根据反比例函数系数的几何意义可知：，，根据，得出，在中，，，利用勾股定理求出的长，得出的长，再根据进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，
菱形的对角线与的交点即为原点，
作轴于，轴于连接，，如图：
则，，
，
，
又，
，
，
根据反比例函数系数的几何意义可知：，，
，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，即，
，
，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
连接，，过点作于，过点作于证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，过点作于，过点作于．
，，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，则
在中，令，得，，
令，得，解得，，
，，
四边形是正方形，
，
在和中
≌
，
把代入中，得
；
双曲线沿轴对折，得到双曲线，
即双曲线与双曲线关于轴对称，
．
故选：．
先求出点、的坐标，根据正方形性质证明≌，即可求得点坐标，进而可求得的值，再利用双曲线与双曲线关于轴对称，即可求得．
本题考查了一次函数图象与坐标轴交点，正方形性质，全等三角形判定和性质，反比例函数图象和性质，翻折变换的性质，关于轴对称的反比例函数解析式的关系等知识点，是一道综合性较强，涉及知识点较多的代数几何综合题，解题关键是利用正方形性质构造全等三角形．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了正方形的性质．
设正方形、的边长分别为和，则可表示出，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，由于点与点的纵坐标相同，所以，则，然后利用正方形的面积公式易得，即可解答．
【解答】
解：设正方形、的边长分别为和，则，，
所以，
所以，
，
，
两正方形的面积差为，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，作于，连接，
四边形是矩形，
，
点，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
≌，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
≌，
，，
，
设，则，
，
，
，
即，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故选：．
作轴于，轴于，作于，连接，首先证明，，，，接着证明，≌，从而证明，然后证明根≌，从而求出，，，最后设，则，接着根据勾股定理求出，从而求得即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
∽，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，不合题意舍去，
，
，
反比例函数表达式为，
故选：．
解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意，，，，，都是等腰直角三角形，
，
，设，
则有，
解得，
，
设，则，
解得，
，
同法可得，，
，
故选：．
由题意，，，，，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】
【解析】解：轴，
，
又，
四边形是平行四边形，
设点，则，
，，
当时，，，
此时，，
随着的变化，可能存在的情况，
四边形可能是菱形，故正确，符合题意；
由得，当时，，，
，
四边形不为正方形，故错误，不符合题意；
由得，当点的横坐标为时，，，
，
当点的横坐标为时，，，
，，
，
四边形的周长不为定值，故错误，不符合题意；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，
，
，
四边形的面积为定值，故正确，符合题意；
故选：．
由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论；
当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形；
任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值；
过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】
【解析】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、
其斜边的中点在反比例函数，
即，
，
设，则
此时，代入得：，
解得：，
即：，
同理：，
，
，
故选：．
根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
10.【答案】
【解析】解：设点坐标为，则，
点为中点，
点坐标为，
，，
，
将代入得，
点坐标为，
由翻折可得，
，
联立方程解得或舍，
．
点坐标为
故选：．
设点坐标为则点坐标为，可用含，的式子表示，点纵坐标与点纵坐标相同，则可以用含，式子表示出点坐标，由翻折可得，联立两点距离公式可求，的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题关键是通过设参数表示出的坐标．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数上的点的坐标，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，添加辅助线关键是构造相似三角形是关键．
过点作垂直轴于，过点作垂直轴于，与过点平行于轴数直线交于，构造字形相似，先由面积比得出相似比为，再证明得，设点坐标为，则点坐标为，最后根据点点的纵坐标为得关于的方程，解方程求得的值即可解答．
【解答】
解：过点作垂直轴于，过点作垂直轴于，延长与过点平行于轴数直线交于，
点在函数的图条上，点在函数的图条上，
，，
轴
，
在矩形中，，，
，，
，
，
∽，，
，
，，
设点坐标为，则点坐标为，
点的纵坐标为
，
，整理得：
解得：，，
点坐标为或，
所有点的纵坐标之和为．
12.【答案】
【解析】解：开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为：，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
水温下降过程中，与的函数关系式是，
故B选项不合题意；
令，则，
，
即饮水机每经过分钟，要重新从开始加热一次，
从点点分钟，所用时间为分钟，
而水温加热到分钟，仅需要分钟，
故当时间是点时，饮水机第三次加热，从加热了分钟，
令，则，
故C选项不符合题意；
水温从加热到所需要时间为：，
令，则，
，
水温不低于的时间为，
故选：．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意，利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令，则，求出每分钟，饮水机重新加热，故时间为点时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了分钟，令，代入到反比例函数中，求出，即可得到不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出以及的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出，之间关系是解题关键．
【解答】
解：点在直线上，
，
点在双曲线上，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，
作轴于，连接，设和交于，
设点，，
由对称性可得：≌≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，舍去，
，
即：，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出，的等式，将其分解因式，从而得出，的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得，的坐标，进一步可求得结果．
本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
15.【答案】
【解析】解：连接交于，过点作于，交于，过点作于，
，，，
，
由勾股定理得：，
对于，当时，，
则点的坐标为，
，
直线的解析式为，
，
，，，
，
，
，，
则，
，
，，
点的坐标为，
点落在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
连接交于，过点作于，交于，过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据一次函数的性质求出，根据正弦、余弦的定义计算，求出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征计算，得到答案．
本题考查的是反比例函数的性质、解直角三角形、一次函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟记三角函数的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接、设，则．
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，则，
延长交轴于，则轴，
，，
在中，，即，
，
，
设直线的解析式为
把，代入得：
解得：，
直线的解析式为．
首先证明点是线段的中点，设，则在中，根据，构建方程求出即可求得点，的坐标；延长交轴于，则轴，由勾股定理求得，进而求得，，求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式．
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题
17.【答案】解：把，代入得，，
，
，
，
，，
，解得，
反比例函数解析式为，
当时，；当时，，
当时，的取值范围为．
【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征有关知识根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，利用，得到，再通分得，然后把，代入可计算出，则反比例函数解析式为，再分别计算出自变量为和所对应的函数值，然后根据反比例函数的性质得到当时，的取值范围．
18.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形为正方形，
，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
把，代入得，
解得，
一次函数解析式为；
设，
的面积恰好等于正方形的面积，
，解得或，
点坐标为或
【解析】先根据点和点坐标得到正方形的边长，则，于是可得到，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；
设，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，然后解绝对值方程求出即可得到点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
19.【答案】解：过点作于，
点是等边三角形边的中点，
，，
，，
，
；
过点作于点，设，则，
，
点是双曲线上的点，
由得，
即，
解得或舍去，
，
等边的边长；
连接，
由知，，
，
最大值为．
【解析】过点作于，利用特殊角的三角函数值求出和的长，可得点的坐标，从而得出的值；
过点作于点，设，则，表示出点的坐标，根据点在双曲线上，可得关于的方程，从而得出答案；
连接，利用三角形的三边关系可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，三角形三边关系等知识，准确求出等边的边长是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象过点，
，
故答案为：；
由勾股定理得，，
轴，
，轴，
又，
，
即，
，
，
，
；
如图，过点作轴于，过点作轴于，
则，
，
，
，
，
设点，
，
即，
，
，
，
即，
的最大值为．
根据反比例函数的图象过点，可得；
利用平行线的性质和三角函数可得，从而得出点的坐标，即可得出的值；
过点作轴于，过点作轴于，用含的代数式分别表示出和的值，从而得出关于的二次函数，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角函数，二次函数的性质，反比例函数的几何意义等知识，分别表示出和的值是解题的关键．
21.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点．
，
，
点，
，
反比例函数的表达式为；
当时，则点是的中点，
点为原点，
，
，
方程为：，
，；
如图，过点作轴，过点作于，过点作于，
当时，
，
∽，
，
，
，
将点代入，
，
根据图象可知，当且时，．
【解析】将点坐标代入直线解析式可求，代入反比例函数解析式可求，即可求解；
由题意可得点为原点，可求，代入方程可求解；
当时，由，得∽，可求出点的坐标，代入一次函数可得，再利用数形结合思想可得答案．
本题是反比例函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质，找到临界状态时的值是解决问题的关键，同时渗透了数形结合的思想．
22.【答案】解：设直线的函数表达式为：，
，，
点的坐标为，
则，
解得：，
直线的函数表达式为：；
证明：由题意得：点的坐标为：，
，
点在直线上，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】根据题意求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；
证明点在直线上，根据矩形的性质得到，，根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明即可．
本题考查的是反比例函数的性质、矩形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点在直线上是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解： 的顶点，，
，
又，
点，
故答案为：；
，，
点的坐标为，代入反比例函数关系式得，
，
故答案为：；
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为：，
边上的整点为，，，，
由于，故每一行均有个整点，
边上及其内部的“整点”数为：个，
如图，当时，过点，，此时及下方共有个整点，
而过点，且在的上方，
要使整点在两侧数量相同，则，
故答案为：．
根据平行四边形的性质，以及平移坐标变化规律即可得出答案；
根据两点中点坐标计算公式求出对角线交点的坐标，再代入反比例函数关系式可得答案；
先确定 边上及其内部的“整点”数，再结合反比例函数进行判断即可．
此题主要考查了反比例函数的图象与性质，找出 边上及其内部的“整点”数是解答此题的关键．
24.【答案】解：过点分别作轴于，轴于，
是等腰直角三角形，
，
设点，
点在直线上，
，
，
，
的图象也经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
，
，
把代入，得，
，
，
在中，，
在中，，
得，
值为；
若，，如图，
，，，
≌，
，
又，
，
即，
，
，
把代入得，
；
若，，如图，
过点作轴，过点分别作于，交轴于，
在与中，
，，，
≌，
，，
设，则，，
，
，
，
，
；
若，，如图，
过点作轴于，过点作轴于，
在与中，
，，
≌，
，，
设，则，，，
由，得，
，
，
综上，所有符合条件的点的坐标为或或
【解析】过点分别作轴于，轴于，设点，根据点在直线上，可得，从而得出答案；
根据点、的坐标，首先得出和的长，再利用勾股定理可得答案；
若，利用证明≌，得，可得答案，若，过点作轴，过点分别作于，交轴于，得≌，则，，设，则，列方程从而得出答案，若，过点作轴于，过点作轴于，同理可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一线三等角的基本模型是解题的关键．
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