北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷（困难）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，四边形∽四边形，，，，则边的长是( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D. 或
如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、、与交于点，则下列结论：四边形是菱形；；；其中正确的结论有 ( )
A. B. C. D.
已知中，，用尺规过作一条直线，使其将分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( )
A. 新三角形与原三角形相似
B. 新矩形与原矩形相似
C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似
如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
如图，在正方形的对角线上取一点使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：；；；则其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
如图，中，点在上，过点作交于点，过点作交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. B. C. D.
如图，长、宽均为，高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中水面高度为( )
A. B. C. D.
如图，已知在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同的剪法，那么长的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图，正方形可看成是以为位似中心将正方形放大一倍得到的图形正方形的边长放大到原来的倍，由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，则正方形的面积是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___．
如图，数学活动小组为了测量学校旗杆的高度，使用长为的竹竿作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面处重合，测得，，则旗杆的高为________．
已知，如图，，，，，是线段上的一个动点，若在线段上只存在两个不同的点，使与相似，则的长是______．
已知，则________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点如图，则直线是的黄金分割线你认为对吗为什么
三角形的中线是不是该三角形的黄金分割线请说明理由
研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，作直线如图，则直线是的黄金分割线，请你说明理由
如图，点是平行四边形的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是平行四边形的黄金分割线请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边的黄金分割点．
在中，，，现有若干张长为宽为的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内，纸片均不能重叠和超出三角形三边
如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；
三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．
阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形．
解决问题：
当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
当点在线段上时，如图，求证：
当点在线段的延长线上时，如图，和是否相似请说明理由
在的条件下，若，，求的长．
已知：如图，中，是中线，点是上一点，与交于点，．
在图中与相等的角有______和______；
在图中找出与线段相等的线段，并证明．
若，，求的值．用含的代数式表示
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
画出关于轴的对称图形；
将沿轴方向向左平移个单位、再沿轴向下平移个单位后得到，写出顶点，，的坐标．
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于点成中心对称的 ．
将向右平移个单位，作出平移后的．
在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标________．
已知，是的位似三角形点、、分别对应点、、，原点为位似中心，与的位似比为．
若位似比，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出；
若位似比，的周长为，则的周长______；
若位似比，的面积为，则的面积______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形∽四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，，代入，计算即可求出边的长．
【解答】
解：四边形∽四边形，
，
，，，
．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．分类讨论：当时，根据等比性质，可得答案；当时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】
解：当时，由等比性质，得
，
当时，得，，，
，
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，
，
，故正确，
，
，
，故错误，
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
四边形的面积为，的面积为，
：：故正确，
故选：．

4.【答案】
【解析】解：、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
D、无法判断∽，故本选项符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似图形的判断，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
【解答】
解：如图所示：
根据题意得：，，，
，，
∽；
如图：
设矩形的长和宽分别为，，由题图知，则扩大后的长和宽分别为，，列比例式后相减得不等于零．
新矩形与原矩形对应边的比不相等，
新矩形与原矩形不相似．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
由折叠可知，，即可得；
由，可知错误；
通过计算
通过计算，而，故正确．
【解答】
解：如图
沿折叠，点恰落在边上的
点处，
，
沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，
，
即，
所以正确
沿折叠，点恰落在边上的
点处，
，，，
在中，
，，
，
，
设，则，
，
在中，
，
解得，
，
，
设，则，，
在中，，
，解得，
，，
，，，
，
与不相似，所以错误
，，
，所以正确
，而，
，所以正确。
正确。
故选B．
7.【答案】
【解析】证明：四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，故正确；
在上取一点，使，连结，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，故正确；
过作交于，
根据勾股定理求出，
由面积公式得：，
，
，，
，，
，故正确；
在中，，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：．
由正方形的性质可以得出，，通过证明≌，就可以得出；
在上取一点，使，连结，再通过条件证明≌就可以得出；
过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得；
解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得∽，求得．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、，
∽，
，错误，故本选项符合题意；
B、，
∽，
，正确，故本选项不符合题意；
C、，
∽，
，正确，故本选项不符合题意；
D、，
，
，
，
，正确，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出和相似，根据相似三角形对应边成比例求出，即，设，表示出，再表示出、，利用勾股定理列出方程求出的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图
正方形的边
∽
∽
设，则，
在中，
即
解得
红、蓝两张纸片的面积之和
．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由∽得出的比例线段求得结果即可．
【解答】
解：过点作于，如图所示：
设，则，
根据题意得：，
解得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
即，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，过作交于或交于，则∽或∽，
此时；
如图所示，过作交于，则∽，
此时；
如图所示，过作交于，则∽，
此时，∽，
当点与点重合时，，即，
，
此时，；
综上所述，长的取值范围是．
故选：．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】或
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出位似中心位置是解题关键．分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点．
【解答】
解：当点和点是对应点，点和点是对应点时，位似中心就是与的交点，
如图所示，连结，交轴于点，
点即为两个正方形的位似中心，
点和点的坐标分别为，，
，，，
，∽，
，，解得，
，
此时两个正方形的位似中心的坐标是
当点和点是对应点，点和点是对应点时，位似中心就是与的交点，
如图所示，连结，，，并延长，交于点，
设所在直线的解析式为，
易知，把，代入，得
解得
故直线的解析式为．
设所在直线的解析式为，
易知，，
把，代入，
得
解得
故直线的解析式为，
由
解得
故．
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于的方程是解题的关键． 由条件可证明∽，利用相似三角形的性质可求得答案．
【解答】
解：，，
，
由题意可知，且为公共角，
∽，
，即，解得，
即旗杆的高为．
故答案为：．

15.【答案】或
【解析】解：如图中，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，则∽．
如图中，以为直径作，当经过图中的点时，设与线段的另一个交点为，此时线段上只存在两个不同的点，使与相似．
是直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
如图中，当与相切于时，此时线段上只存在两个不同的点，使与相似．
连接，设交于点，连接．
是的切线，
，
，，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，则∽如图中，以为直径作，当经过图中的点时，设与线段的另一个交点为，此时线段上只存在两个不同的点，使与相似．如图中，当与相切于时，此时线段上只存在两个不同的点，使与相似．分别求出的值，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式的化简求值，以及比例的性质，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．设已知等式结果为，用表示出，及，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】
解：设，则，，，
．
故答案为．

17.【答案】解：直线是的黄金分割线理由如下：
设的边上的高为，
则，，，
，．
又点为边的黄金分割点，
，
，
直线是的黄金分割线．
不是理由如下：
设三角形的面积为，
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
两部分的面积均为，又，
三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
，
和的公共边上的高相等，
，
，
同理可得，．
又，
，
直线是的黄金分割线．
画法不唯一，现提供两种画法．
画法一：如图，取的中点，过点作一条直线分别交，于点，，则直线就是平行四边形的黄金分割线．
画法二：如图，在上任取一点，连结，再过点作交于点，作直线，则直线就是平行四边形的黄金分割线．

【解析】见答案
18.【答案】解：最多能铺块
理由：，，
，
，
，
，
，
，
最多能平铺张完整的矩形纸片；
假设最高铺到
，
，
，
，
，
最多能平铺层完整的矩形纸片
，最上面一层能铺张完整的矩形纸片
，第层能铺张完整的矩形纸片
第层能铺张完整的矩形纸片
第层能铺张完整的矩形纸片
第层能铺张完整的矩形纸片
三角形内最多可以平铺的完整的矩形纸片为：张．
【解析】此题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例等知识点，掌握好相关知识是解题的关键．
根据平行线分线段成比例得出，得出，再利用，即可得出最多能平铺张完整的矩形纸片；
根据平行线分线段成比例得出，得出，得出最多能平铺层完整的矩形纸片，再利用，得出最上面一层，第层，第层，第层，第层能铺完整的矩形纸片，即可得出结果．
19.【答案】解：存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为．
设“加倍”矩形的一边长为，则它的另一边长为．
由题意，得，解得，．
所以，．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为，宽为．
不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，则它们的面积比必定是．
所以不存在“加倍”正方形．

【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
20.【答案】证明：如图中，
和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
∽；
解：结论：∽．
理由：如图中，
，即，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，
，解得：，
，
，
，，
在中，．
【解析】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用相似三角形的性质解决问题．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
结论：∽证明两个角对应相等即可．
由∽，可得，推出，，，，，在中，利用勾股定理，可得结论．
21.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：，．
．
延长到，使，连接，，
中，是中线，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，在的延长线上取点，使，连接，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
利用等腰三角形的性质推，再根据对顶角相等就可得相等的角；
延长到，使，连接，，证明是平行四边形，进一步推对边相等，对边平行，再证内错角相等，等量代换后求，再根据，最后证明；
在的延长线上取点，使，连接，由，再由，推，结合证明的角相等，最后推出，进一步推∽，证明比例线段，表示出长，再表示长，最后求出．
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握性质和判定的熟练应用，辅助线的做法是做题的关键．
22.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求，
点，，．
【解析】根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标．
本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：如图所示：
如图所示：

【解析】
【分析】
本题考查的是平移变换有关知识．
延长到，使得，延长到，使得，即可得出图象；
根据将各顶点向右平移个单位，得出；
作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，求出直线的解析式，即可求出点坐标．
【解答】
见答案；
见答案；
解：如图所示：作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，
由题意，，，
设直线的解析式为，
则，解得
所以直线的解析式为，
令，得，
可得点坐标为：．
故答案为．
24.【答案】
【解析】解：如图所示，
则为所求的三角形；
位似比，的周长为，
的周长；
位似比，的面积为，
的面积
连接并延长，使，连接并延长，使，在轴上找出，即为点位置，连接即可得到所求的三角形；
利用相似三角形的周长之比等于相似比即可得到结果；
利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
此题考查了作图位似变换，以及相似三角形的性质，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)