第1讲 图形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．（2019 深圳）下列哪个图形是正方体的展开图
A． B．
C． D．
2．（2019 福州三模）某几何体如图所示，则下列选项的四个图形中是其展开图的是
A． B．
C． D．
3．（2019 连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是
A． B． C． D．
4．（2019 房山区二模）右图是某个几何体的展开图，该几何体是
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱锥
5．（2019 朝阳区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱柱
6．（2019 顺德区三模）展开图可能是如图的几何体是
A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥
7．（2019 平谷区二模）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．圆锥
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．（2019春 东明县期末）下列图形中能折叠成棱柱的是
A． B．
C． D．
2．（2019 嘉兴一模）下列各图中，不能折叠成一个立方体的是
A． B．
C． D．
3．（2019 余杭区二模）下列各图中，经过折叠不能围成一个棱柱的是
A． B．
C． D．
4．（2019 遵义一模）下面每一个图形都是由6个边长相同的小正方形形成的，其中能折叠成正方体的是
A． B．
C． D．
5．（2019 紫金县一模）如图，下图经过折叠不能围成一个正方体是
A． B．
C． D．
6．（2019 河北一模）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，则剪去的这个图形是
A．① B．② C．③ D．④
7．（2019 武功县一模）下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是
A． B．
C． D．
8．（2018秋 东丽区期末）如图图形不能围成正方体的是
A． B．
C． D．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．（2019 卧龙区二模）把如图折成正方体后，若相对面所对应的值相等，那么的值为
A． B． C．0 D．1
2．（2019 利川市一模）如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，与“美”字相对的面上的字是
A．的 B．利 C．川 D．市
3．（2019 金水区校级模拟）如图是正方体的表面展开图，则与“2019”字相对的字是
A．考 B．必 C．胜 D．
4．（2019 碑林区校级模拟）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“祝”字一面的相对面上的字是
A．你 B．试 C．顺 D．利
5．（2019 毕节市）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是
A．国 B．的 C．中 D．梦
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
第1页（共10页）第1讲 图形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，可得如图所示的正方体的展开图是．
故选A
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．（2019 深圳）下列哪个图形是正方体的展开图
A． B．
C． D．
【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项、、不是正方体展开图；选项是正方体展开图．．
故选：．
2．（2019 福州三模）某几何体如图所示，则下列选项的四个图形中是其展开图的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、能组成三棱锥，故选项正确；
、组成的是三棱柱，故选项错误；
、组成的是三棱柱，故选项错误；
、组成的是四棱锥，故选项错误．
故选：．
3．（2019 连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
故选：．
4．（2019 房山区二模）右图是某个几何体的展开图，该几何体是
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱锥
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是四棱锥．
故选：．
5．（2019 朝阳区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．四棱柱
【解答】解：由图可知，这个几何体是四棱柱．
故选：．
6．（2019 顺德区三模）展开图可能是如图的几何体是
A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥
【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱．
故选：．
7．（2019 平谷区二模）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．圆锥
【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱．
故选：．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子．
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．（2019春 东明县期末）下列图形中能折叠成棱柱的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、不能折叠成棱柱，缺少一个侧面，故不符合题意；
、能折叠成四棱柱，故符合题意；
、不能折叠成四棱柱，有两个面重叠，故不符合题意；
、不能折叠成六棱柱，底面缺少一条边，故不符合题意；
故选：．
2．（2019 嘉兴一模）下列各图中，不能折叠成一个立方体的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、是正方体的展开图，不符合题意；
、有两个面重合，不是正方体的展开图，符合题意；
、是正方体的展开图，不符合题意；
、是正方体的展开图，不符合题意．
故选：．
3．（2019 余杭区二模）下列各图中，经过折叠不能围成一个棱柱的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、、可以围成四棱柱，选项不能围成一个棱柱．
故选：．
4．（2019 遵义一模）下面每一个图形都是由6个边长相同的小正方形形成的，其中能折叠成正方体的是
A． B．
C． D．
【解答】解：观察图形可知，能折叠成正方体的是．
故选：．
5．（2019 紫金县一模）如图，下图经过折叠不能围成一个正方体是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项、、经过折叠均能围成正方体，折叠后上面的一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．
故选：．
6．（2019 河北一模）在图上剪去一个图形，剩下的图形可以折叠成一个长方体，则剪去的这个图形是
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：拼成长方体的4种情况
1．“一四一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，共有6种．
2．“二三一”（或一三二）型，中间3个作侧面，上（或下）边个那行，相连的长方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二二二”型，成阶梯状．
4．“三三”型，两行只能有1个长方形相连．
一因此剪去④，剩下的图形可以折叠成一个长方体．
故选：．
7．（2019 武功县一模）下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、经过折叠，不能围成封闭的长方体；
、两个正方形围起来构成长方体的上下底面，四个长方形围成长方体的侧面，故可以围成一个四棱柱；
、经过折叠，不能围成封闭的长方体；
、经过折叠，不能围成封闭的长方体；
故选：．
8．（2018秋 东丽区期末）如图图形不能围成正方体的是
A． B．
C． D．
【解答】解：所有选项中只有选项出现“凹”字状，所以不能组成正方体，而，，选项中，能围成正方体．
故选：．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
【解析】解：根据四个图形的点数，可推断出来，点4对面是点2；点5对面是点1；点6对面是点3．
则图b中四个底面正方形中的点数是1，3，6，6，
1+3+6+6=16，
则图b中四个底面正方形中的点数之和为16．
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．（2019 卧龙区二模）把如图折成正方体后，若相对面所对应的值相等，那么的值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“”与“1”是相对面，
“”与“3”是相对面，
“5”与“空白空格”是相对面，
相对面所对应的值相等，
，
解得，
．
故选：．
2．（2019 利川市一模）如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，与“美”字相对的面上的字是
A．的 B．利 C．川 D．市
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与“美”字相对的面上的字是市．
故选：．
3．（2019 金水区校级模拟）如图是正方体的表面展开图，则与“2019”字相对的字是
A．考 B．必 C．胜 D．
【解答】解：由图形可知，与“2019”字相对的字是“胜”．
故选：．
4．（2019 碑林区校级模拟）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“祝”字一面的相对面上的字是
A．你 B．试 C．顺 D．利
【解答】解：“祝”与“利”是相对面，
“你”与“试”是相对面，
“考”与“顺”是相对面．
故选：．
5．（2019 毕节市）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是
A．国 B．的 C．中 D．梦
【解答】解：根据正方体相对的面的特点，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，
故选：．
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
【解析】解：设该长方体的高为x cm，则长方体的宽为2x cm，
2x+2x+x+x=18，解得x=3，
所以该长方体的高为3 cm，则长方体的宽为6 cm，长为18﹣6=12 cm，
所以它的体积为3×6×12=216（cm3）．
故答案为216．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“1”相对，面“b”与面“3”相对，“2”与面“﹣2”相对．
因为相对面上两个数都互为相反数，
所以a=﹣1，b=﹣3，
故a+b=﹣4．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
【解析】解：观察图象可知点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，且四次一循环，
∵2017÷4=504…1，
∴滚动第2017次后与第一次相同，
∴朝上一面的点数为5，
故答案为：5．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
【解析】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，
∴2x﹣3=﹣5，y=﹣x，
解得x=﹣1，y=1，
∴2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
【解析】解：（1）请写出对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱，
故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱；
（2）圆柱的表面积为πr2+πr2+2πrh=4π+4π+32π=40πcm2，
故答案为：40πcm2．
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
【解析】解：答案如下：
或
或等．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
【解析】解：（1）这个几何体的名称是六棱柱；
（2）侧面积=（2+4）ab=6ab
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
【解析】解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．
体积=62×8=288cm3．
【难度】中
【结束】
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【解析】解（1）由图可得，小明一共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a=880，
解得a=100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
第1页（共15页）
