第3讲 绝对值
知识点1 绝对值的非负性
绝对值的性质：
互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________．
【解析】解：因为|a|=3，|b|=2，
所以a=±3，b=±2，
因为a＜0＜b，
所以a=﹣3，b=2，
所以a的相反数与b的和=3+2=5．
故答案为：5．
【方法总结】
根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键.
2.已知|x-2017|+|y﹣2016|=0，则x+y=____
【解析】解：由|x-2017|+|y﹣2016|=0，得
x-2017=0，y﹣2016=0，
解得x=2017，y=2016．
x+y=4033，
【方法总结】
此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案．
【随堂练习】
1．（2017秋 河北区校级月考）|a|=﹣a，则a一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数
【解答】解：∵|a|=﹣a
∴a≤0，故a是非正数，
故选：C．
2．（2016秋 青龙县期末）若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（ ）
A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10
【解答】解：∵|n+2|+|m+8|=0，
∴n=﹣2，m=﹣8，
则n﹣m=﹣2﹣（﹣8）=6．
故选：A．
3．（2017秋 尚志市期末）|m﹣n+2|+|m﹣3|=0，则m+n=____．
【解答】解：∵|m﹣n+2|+|m﹣3|=0，
∴m﹣n+2=0，m﹣3=0，
解得：m=3，n=5，
故m+n=8．
故答案为：8．
4．（2017秋 伊通县期末）已知|x﹣2|+|y+2|=0，则x+y=____．
【解答】解：∵|x﹣2|+|y+2|=0，
∴x=2，y=﹣2，
∴x+y=2﹣2=0．
故答案为：0．
知识点2比较大小
两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
【典例】
1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4
【解析】解：利用绝对值比较两数大小的方法，将4个数两两比较后按由小到大的顺序排列，得﹣3.2＜﹣2＜0＜4，
所以最小的数是﹣3.2，故选C.
【方法总结】
先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018 十堰）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，
∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．
故选：B．
2．（2018 重庆模拟）在﹣7，5，0，﹣3这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣7 B．5 C．0 D．﹣3
【解答】解：﹣7＜﹣3＜0＜5，
即在﹣7，5，0，﹣3这四个数中，最大的数是：5．
故选：B．
3．（2018 莒县模拟）下列比较大小结果正确的是（ ）
A．﹣3＜﹣4 B．﹣（﹣2）＜|﹣2| C． D．
【解答】解：化简后再比较大小．
A、﹣3＞﹣4；
B、﹣（﹣2）=2=|﹣2|=2；
C、＜﹣；
D、|﹣|=＞﹣．
故选：D．
知识点3数轴与绝对值
绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.
【典例】
1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．
【解析】解：∵|a|=2，|b|=2，|c|=4，
∴a=±2，b=±2，c=±4，
由数轴可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴a=﹣2，b=2，c=4．
【方法总结】
先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．
本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.
【随堂练习】
1．（2017秋 金堂县期末）如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|化简的结果为_____．
【解答】解：∵由数轴上a、b两点的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a+b＞0，b﹣a＞0，
∴原式=﹣a+b+a+b+b﹣a=3b﹣a．
故答案为：3b﹣a．
2．（2016秋 庆城县期末）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【解答】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
知识点4 绝对值的几何意义
式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.
∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
【典例】
1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______
【解析】解：∵|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，即表示a的点与表示c的点之间的距离为4，表示b的点与表示d的点之间的距离为4，表示a的点与表示d的点之间的距离为5，
∴表示a的点与表示b的点之间的距离为5﹣4=1，
表示c的点与表示d的点之间的距离为5﹣4=1，
∴表示b的点与表示c的点之间的距离为4﹣1=3．
即|b﹣c|=3.
【方法总结】
根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．
本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．
（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【解析】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，故答案为：7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；
（3）通过数轴可知，到点2距离为5的数是7和-3，
故答案为：7或﹣3；
（4）∵|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x-（-3）|+|x﹣1|=4，
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，
故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
（5）|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，由数轴可知，x应为数轴上3到6当中的任一点，且最短距离为3，故有最小值，最小值是3．
【方法总结】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.
【随堂练习】
1．（2017秋 卫辉市期中）|x+1|+|x﹣3|的最小值是_____．
【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+3=﹣2x+2，则﹣2x+2≥4；
当﹣1＜x≤3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1﹣x+3=4；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1+x﹣3=2x﹣2，则2x﹣2＞4．
综上所述|x+1|+|x﹣3|的最小值为4．
故答案为：4．
2．（2017秋 宜兴市期中）当有理数a满足______条件时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．
【解答】解：当a＜﹣4时，|a+4|+|a﹣5|=﹣a﹣4+5﹣a=1﹣2a＞9；
当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+5﹣a=9；
当a＞5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+a﹣5=2a﹣1＞9；
故当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．
故答案为：﹣4≤a≤5．
3．（2017秋 高新区期末）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）若|x﹣3|=|x+1|，则x=____；
（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为____；
（3）若|x﹣3|+|x+1|=7，求x的值．
【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，
∴原式可化为3﹣x=x+1，
∴x=1；
（2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
∴|x﹣3|=3﹣x，|x+1|=x+1，
∴|x﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4；
（3）∵|x﹣3|+|x+1|=7，
若x＞3，则原式可化为（x﹣3）+（x+1）=7，x=；
若﹣1≤x≤3，则﹣（x﹣3）+（x+1）=7，x不存在；
若x＜﹣1，则﹣（x﹣3）﹣（x+1）=7，x=﹣；
∴x=或x=﹣．
故答案为：1，4，x=或x=﹣．
综合集训
1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣|中，负数有_______________.
【解析】解：因为﹣（﹣2）=2，﹣|﹣7|=-7，﹣|+1|=-1，|﹣|=，负数有﹣|﹣7|，﹣|+1|．
故答案为﹣|﹣7|，﹣|+1|.
2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．
【解析】解：∵|﹣7|=7，
∴|m|=|﹣7|=7，
∴m=±7，
故答案为：±7．
3.在数﹣5，﹣ ，，中，大于﹣的数有___________.
【解析】解：∵|﹣5|=5，|﹣|=，5＞，∴﹣5＜﹣；
∵|﹣|=，|﹣|=，＞，∴﹣＜﹣；
∵|﹣|=，|﹣|=，＞，∴﹣＜﹣；
∵|﹣|=，|﹣|=，＜，∴﹣＞﹣．
故答案为.
4.填空：
（1）﹣的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；
（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．
【解析】解：（1）﹣的绝对值的相反数是﹣，﹣0.3的相反数的绝对值是 0.3；
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是±2；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为 3和﹣3；
（4）相反数等于它本身的数是 0，相反数等于它的绝对值的数是非正数，
故答案为：﹣，0.3；±2；3，﹣3；0，非正数．
5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．
【解析】解：∵|x﹣2|+|y-3|=0，
∴x=2，y=3，
∴x+y=2+3=5．
故答案为：5．
6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．
【解析】解：∵|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，
∴x+1=0，y﹣2=0，z+3=0，
解得：x=﹣1，y=2，z=﹣3，
∴|x|+|y|+|z|=|﹣1|+|2|+|﹣3|=6．
7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.
【解析】解：∵|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，
∴| r﹣s|=12-10=2，
∴|q﹣r|=9-2=7．
8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．
【解析】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，
∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0，
∴a=2，b=3，c=4，
∴a+2b+3c=2+6+12=20．
9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？
【解析】本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以-1≤x≤3。
10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；
应用：
（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；
（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．
【解析】解：理解：
（1）画出数轴，由数轴可知，表示2和﹣4的两点之间的距离是6；
故答案为6.
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是|x-（-6）|；
故答案为|x-（-6）|.
应用：
（1）代数式|x﹣1|+|x-（-2）|表示点x到表示1的点与表示-2的点的距离和，由数轴可知，当x在1和-2之间时，距离和有最小值3，
所以当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣2≤x≤1，最小值为3；
故答案为﹣2≤x≤1， 3.
（2）∵代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|表示点x到表示点1的点的距离与表示-2的点的距离差，
当x≤﹣2时，由数轴可知该距离差为3，
∴|x﹣1|﹣|x-（-2）|=3．
故答案为：=．
1第3讲 绝对值
知识点1 绝对值的非负性
绝对值的性质：
互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________．
【方法总结】
根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键.
2.已知|x-2017|+|y﹣2016|=0，则x+y=____
【方法总结】
此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案．
【随堂练习】
1．（2017秋 河北区校级月考）|a|=﹣a，则a一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数
2．（2016秋 青龙县期末）若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（ ）
A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10
3．（2017秋 尚志市期末）|m﹣n+2|+|m﹣3|=0，则m+n=____．
4．（2017秋 伊通县期末）已知|x﹣2|+|y+2|=0，则x+y=____．
知识点2比较大小
两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
【典例】
1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4
【方法总结】
先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018 十堰）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2
2．（2018 重庆模拟）在﹣7，5，0，﹣3这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣7 B．5 C．0 D．﹣3
3．（2018 莒县模拟）下列比较大小结果正确的是（ ）
A．﹣3＜﹣4 B．﹣（﹣2）＜|﹣2| C． D．
知识点3数轴与绝对值
绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.
【典例】
1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．
【方法总结】
先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．
本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.
【随堂练习】
1．（2017秋 金堂县期末）如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|化简的结果为_____．
2．（2016秋 庆城县期末）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
知识点4 绝对值的几何意义
式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.
∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
【典例】
1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______
【方法总结】
根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．
本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．
（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【方法总结】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.
【随堂练习】
1．（2017秋 卫辉市期中）|x+1|+|x﹣3|的最小值是_____．
2．（2017秋 宜兴市期中）当有理数a满足______条件时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．
3．（2017秋 高新区期末）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）若|x﹣3|=|x+1|，则x=____；
（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为____；
（3）若|x﹣3|+|x+1|=7，求x的值．
综合集训
1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣|中，负数有_______________.
2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．
3.在数﹣5，﹣ ，，中，大于﹣的数有___________.
4.填空：
（1）﹣的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；
（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．
5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．
6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．
7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.
8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．
9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？
10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；
应用：
（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；
（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．
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