【暑假专练】第6讲 整式的基本概念 --基础班(学生版+教师版)

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名称 【暑假专练】第6讲 整式的基本概念 --基础班(学生版+教师版)
格式 zip
文件大小 94.0KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2022-07-06 22:07:11

文档简介

第6讲 整式的概念
知识点1:字母表示数
字母可以表示任意的数,也可以表示特定意义的公式,还可以表示符合条件的某一个数,甚至可以表示具有某些规律的数,总之字母可以简明地将数量关系表示出来.
1.用字母表示数时,数字与字母,字母与字母相乘,中间的乘号可以省略不写;或用“·”(点)表示.
2.字母和数字相乘时,省略乘号,并把数字放到字母前.
3.出现除式时,用分数表示.
4.结果含加减运算的,单位前加“( )”.
5.系数是带分数时,带分数要化成假分数.
【典例】
1.2015年双十一期间,某网店对一品牌服装进行优惠促销,将原价a元的服装以(a﹣20)元售出,则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是(  )
A. 将原价降低20元之后,再打8折
B. 将原价打8折之后,再降低20元
C. 将原价降低20元之后,再打2折
D. 将原价打2折之后,再降低20元
【方法总结】
根据四则运算法则,代数式(a﹣20)是先进行乘法运算后进行减法运算,对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1.(2019 大城县一模)下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是(  )
A.若葡萄的价格是4元/千克,则4m表示买m千克葡萄的金额
B.若m表示一个正方形的边长,则4m表示这个正方形的周长
C.将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,m表示桌面受到的压强,则4m表示小木块对桌面的压力
D.若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则4m表示这个两位数
2.(2019春 秦淮区期末)关于代数式x+1的结果,下列说法一定正确的是(  )
A.比1大 B.比1小 C.比x大 D.比x小
3.(2018秋 杭州期末)代数式的意义是(  )
A.a除以b与1的差所得的商
B.b减1除a
C.b与1的差除以a
D.a除以b减1
4.(2018秋 鼎城区期末)代数式的正确解释是(  )
A.a与b的倒数的差的平方 B.a的平方与b的倒数的差
C.a的平方与b的差的倒数 D.a与b的差的平方的倒数
5.(2018秋 诸暨市期末)a、b、c、m都是有理数,且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c的关系是(  )
A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.无法确定
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式,单独的一个数字或一个字母也是单项式.
2. 几个单项式的和叫多项式.多项式中,每个单项式叫多项式的项;多项式含有几项,就把这个多项式叫做几项式;次数最高项的次数叫做这个多项式的次数,不含字母的项叫做常数项.
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c,且系数为1的7次单项式共有_____个
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和,含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时,确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果.
2.下列说法正确的是(  )
A. ﹣a是单项式,它的系数为1
B. +3xy﹣3y2+5是一个多项式
C. 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D. 如果一个多项式的次数是3,那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【方法总结】
1.单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号, 所以单项式前面有“―”时,系数应为负.
2.判断某个代数式是单项式、多项式时,首先确定该代数式是整式.
3.多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定.
3.对于多项式2x2+,按x的升幂排列正确的是(  )
A.
B.
C.
D.
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法:
1.列出每一项,系数要包含前面的符号;
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序;
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1.(2019 海安县一模)在下列整式中,次数为4的单项式是(  )
A.mn2 B.a3﹣b3 C.x3y D.5st
2.(2019春 北碚区校级月考)多项式3x2+xy﹣xy2的次数是(  )
A.2 B.1 C.3 D.4
3.(2018秋 雁塔区校级期末)下列代数式是单项式的是(  )
A.2a+1 B.3 C. D.
4.(2018秋 高邮市期末)下列结论中,正确的是(  )
A.单项式的系数是,次数是2
B.单项式mn的次数是1,没有系数
C.单项式﹣ab2x的系数是﹣1,次数是4
D.多项式2x2+xy+3是三次三项式
5.(2018秋 番禺区期末)多项式x3﹣x2+2x﹣3的常数项是(  )
A.x3 B.﹣x2 C.2x D.﹣3
6.(2018秋 下陆区期末)已知多项式﹣3x2+x﹣23的最高次项的系数是N,则N的值是(  )
A.﹣2 B.﹣8 C.﹣3 D.1
二.填空题(共1小题)
7.(2019春 香坊区期末)单项式的次数为  .
 
知识点3:同类项 
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项.
【典例】
已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项,那么m﹣n=______
【方法总结】
根据同类项的定义,字母相同且相同字母的指数也相同,找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1.(2019 梧州二模)与2ab2是同类项的是(  )
A.4a2b B.2a2b C.5ab2 D.﹣ab
2.(2019 毕节市)如果3ab2 ﹣1与9ab +1是同类项,那么m等于(  )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
3.(2019 黔东南州)如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项,那么m等于(  )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
4.(2019 包头一模)下列单项式中,与a2b3是同类项的是(  )
A.2ab3 B.2a2b3 C.3a2b D.5ab
5.(2019 株洲)下列各式中,与3x2y3是同类项的是(  )
A.2x5 B.3x3y2 C.﹣x2y3 D.﹣y5
6.(2019春 南关区校级月考)若﹣2amb4与5an﹣2b2m是同类项,则mn的值是(  )
A.16 B.6 C.4 D.2
7.(2019春 武邑县校级月考)下列各式不是同类项的是(  )
A.﹣xy与﹣yx B.﹣2 与π
C.4x2y 与﹣2xy2 D.5m2n 与﹣3nm2
8.(2019春 南关区校级月考)已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项,则m,n的值分别是(  )
A. B. C. D.
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图,其水平距离(即:AB的长度)为(2a+b)米,一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点,共爬了(3a﹣b)米.问小明家楼梯的竖直高度(即:BC的长度)为________米.
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________.
3.已知|a+2|+(b﹣3)2=0,那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少?
4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式,且系数为,次数为3,求a、n的值.
5.已知|a|=﹣a,试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值,并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值.
6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式,与单项式3x2ny5﹣m的次数相同.求m,n的值.
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少?每个单项式的次数有什么关系?
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式,且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同.
(1)求m、n的值;
(2)把这个多项式按x的降幂排列.
9.已知m是绝对值最小的有理数,且﹣2a2by+1与3axb3是同类项,试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值.
10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项,且m、n互为负倒数.求:n﹣mn﹣m的值.
11.设m和n均不为0,3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项,求的值.第6讲 整式的概念
知识点1:字母表示数
字母可以表示任意的数,也可以表示特定意义的公式,还可以表示符合条件的某一个数,甚至可以表示具有某些规律的数,总之字母可以简明地将数量关系表示出来.
1.用字母表示数时,数字与字母,字母与字母相乘,中间的乘号可以省略不写;或用“·”(点)表示.
2.字母和数字相乘时,省略乘号,并把数字放到字母前.
3.出现除式时,用分数表示.
4.结果含加减运算的,单位前加“( )”.
5.系数是带分数时,带分数要化成假分数.
【典例】
1.2015年双十一期间,某网店对一品牌服装进行优惠促销,将原价a元的服装以(a﹣20)元售出,则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是(  )
A. 将原价降低20元之后,再打8折
B. 将原价打8折之后,再降低20元
C. 将原价降低20元之后,再打2折
D. 将原价打2折之后,再降低20元
【解析】解:代数式a﹣20的意义是比a的80%少20元.
故选B
【方法总结】
根据四则运算法则,代数式(a﹣20)是先进行乘法运算后进行减法运算,对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1.(2019 大城县一模)下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是(  )
A.若葡萄的价格是4元/千克,则4m表示买m千克葡萄的金额
B.若m表示一个正方形的边长,则4m表示这个正方形的周长
C.将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,m表示桌面受到的压强,则4m表示小木块对桌面的压力
D.若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则4m表示这个两位数
【解答】解:A、若葡萄的价格是4元/千克,则4m表示买m千克葡萄的金额,正确;
B、若m表示一个正方形的边长,则4m表示这个正方形的周长,正确;
C、将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,m表示桌面受到的压强,则4m表示小木块对桌面的压力,正确;
D、若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则(4×10+m)表示这个两位数,则此选项错误;
故选:D.
2.(2019春 秦淮区期末)关于代数式x+1的结果,下列说法一定正确的是(  )
A.比1大 B.比1小 C.比x大 D.比x小
【解答】解:由于1>0,
∴x+1>x,
故选:C.
3.(2018秋 杭州期末)代数式的意义是(  )
A.a除以b与1的差所得的商
B.b减1除a
C.b与1的差除以a
D.a除以b减1
【解答】解:代数式的意义是a除以b与1的差所得的商,
故选:A.
4.(2018秋 鼎城区期末)代数式的正确解释是(  )
A.a与b的倒数的差的平方 B.a的平方与b的倒数的差
C.a的平方与b的差的倒数 D.a与b的差的平方的倒数
【解答】解:代数式的正确解释是:a的平方与b的倒数的差;
故选:B.
5.(2018秋 诸暨市期末)a、b、c、m都是有理数,且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c的关系是(  )
A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.无法确定
【解答】解:由题意得,a+2b+3c=m,a+b+2c=m,
则a+2b+3c=a+b+2c,即b+c=0,b与c互为相反数.
故选:A.
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式,单独的一个数字或一个字母也是单项式.
2. 几个单项式的和叫多项式.多项式中,每个单项式叫多项式的项;多项式含有几项,就把这个多项式叫做几项式;次数最高项的次数叫做这个多项式的次数,不含字母的项叫做常数项.
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c,且系数为1的7次单项式共有_____个
【解析】解:a,b,c的指数分别为:
1、1、5;1、2、4;1、3、3;1、4、2;1、5、1;
2、1、4;2、2、3;2、3、2;2、4、1;
3、1、3;3、2、2;3、3、1;
4、1、2;4、2、1;
5、1、1;
共15种情况,
故选C
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和,含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时,确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果.
2.下列说法正确的是(  )
A. ﹣a是单项式,它的系数为1
B. +3xy﹣3y2+5是一个多项式
C. 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D. 如果一个多项式的次数是3,那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【解析】解:A、﹣a是单项式,它的系数为﹣1,故选项错误;
B、+3xy﹣3y2+5有字母在分母上,故不是一个多项式,故选项错误;
C、多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、﹣2xy、y2的和,故选项错误;
D、如果一个多项式的次数是3,那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3是正确的.
故选D.
【方法总结】
1.单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号, 所以单项式前面有“―”时,系数应为负.
2.判断某个代数式是单项式、多项式时,首先确定该代数式是整式.
3.多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定.
3.对于多项式2x2+,按x的升幂排列正确的是(  )
A.
B.
C.
D.
【解析】解:按x的升幂排列为,
故选A
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法:
1.列出每一项,系数要包含前面的符号;
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序;
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1.(2019 海安县一模)在下列整式中,次数为4的单项式是(  )
A.mn2 B.a3﹣b3 C.x3y D.5st
【解答】解:A、mn2,是次数为3的单项式,故此选项错误;
B、a3﹣b3,是多项式,故此选项错误;
C、x3y,是次数为3的单项式,故此选项正确;
D、5st,是次数为2的单项式,故此选项错误;
故选:C.
2.(2019春 北碚区校级月考)多项式3x2+xy﹣xy2的次数是(  )
A.2 B.1 C.3 D.4
【解答】解:多项式3x2+xy﹣xy2的次数为3,
故选:C.
3.(2018秋 雁塔区校级期末)下列代数式是单项式的是(  )
A.2a+1 B.3 C. D.
【解答】解:A.2a+1是一次二项式;
B.3是单项式;
C.是一次二项式;
D.是一次二项式;
故选:B.
4.(2018秋 高邮市期末)下列结论中,正确的是(  )
A.单项式的系数是,次数是2
B.单项式mn的次数是1,没有系数
C.单项式﹣ab2x的系数是﹣1,次数是4
D.多项式2x2+xy+3是三次三项式
【解答】解:A、单项式的系数是,次数是3,故A错误;
B、单项式mn的次数是2,系数是1,故B错误;
C、单项式﹣ab2x的系数是﹣1,次数是4,故C正确;
D、多项式2x2+xy+3是二次三项式,故D错误.
故选:C.
5.(2018秋 番禺区期末)多项式x3﹣x2+2x﹣3的常数项是(  )
A.x3 B.﹣x2 C.2x D.﹣3
【解答】解:多项式x3﹣x2+2x﹣3的常数项是﹣3.
故选:D.
6.(2018秋 下陆区期末)已知多项式﹣3x2+x﹣23的最高次项的系数是N,则N的值是(  )
A.﹣2 B.﹣8 C.﹣3 D.1
【解答】解:﹣3x2+x﹣23的最高次数项为﹣3x2,其系数为﹣3,
故选:C.
二.填空题(共1小题)
7.(2019春 香坊区期末)单项式的次数为 5 .
【解答】解:单项式的次数为5;
故答案为:5.
 
知识点3:同类项 
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项.
【典例】
已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项,那么m﹣n=______
【解析】解:∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项,
∴m﹣1=1,2n﹣3=n+3.解得:m=2,n=6,
∴m﹣n=2﹣6=﹣4.
【方法总结】
根据同类项的定义,字母相同且相同字母的指数也相同,找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1.(2019 梧州二模)与2ab2是同类项的是(  )
A.4a2b B.2a2b C.5ab2 D.﹣ab
【解答】解:∵单项式2ab2只含字母a、b,且字母a的次数为1,b的次数是2,
∴与2ab2是同类项的是5ab2.
故选:C.
2.(2019 毕节市)如果3ab2 ﹣1与9ab +1是同类项,那么m等于(  )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
【解答】解:根据题意可得:2m﹣1=m+1,
解得:m=2,
故选:A.
3.(2019 黔东南州)如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项,那么m等于(  )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
【解答】解:根据题意,得:2m﹣1=m+1,
解得:m=2.
故选:A.
4.(2019 包头一模)下列单项式中,与a2b3是同类项的是(  )
A.2ab3 B.2a2b3 C.3a2b D.5ab
【解答】解:A、字母a的次数不相同,不是同类项,故选项不符合题意;
B、是同类项,选项符合题意;
C、字母b的次数不相同,不是同类项,故选项不符合题意;
D、相同字母的次数相同,不是同类项,故选项不符合题意.
故选:B.
5.(2019 株洲)下列各式中,与3x2y3是同类项的是(  )
A.2x5 B.3x3y2 C.﹣x2y3 D.﹣y5
【解答】解:A、2x5与3x2y3不是同类项,故本选项错误;
B、3x3y2与3x2y3不是同类项,故本选项错误;
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项,故本选项正确;
D、﹣y5与3x2y3是同类项,故本选项错误;
故选:C.
6.(2019春 南关区校级月考)若﹣2amb4与5an﹣2b2m是同类项,则mn的值是(  )
A.16 B.6 C.4 D.2
【解答】解:∵﹣2amb4与5an﹣2b2m是同类项,
∴n﹣2=m,2m=4.
解得:n=4,m=2.
∴mn=24=16.
故选:A.
7.(2019春 武邑县校级月考)下列各式不是同类项的是(  )
A.﹣xy与﹣yx B.﹣2 与π
C.4x2y 与﹣2xy2 D.5m2n 与﹣3nm2
【解答】解:A、﹣xy与﹣yx所含字母相同,且相同字母的指数相同,是同类项,故本选项错误.
B、﹣2与π都是数字,是同类项,故本选项错误.
C、4x2y 与﹣2xy2所含字母相同,但相同字母的指数不同,不是同类项,故本选项正确.
D、5m2n 与﹣3nm2所含字母相同,且相同字母的指数相同,是同类项,故本选项错误.
故选:C.
8.(2019春 南关区校级月考)已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项,则m,n的值分别是(  )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意可知:
∴解得:,
故选:D.
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图,其水平距离(即:AB的长度)为(2a+b)米,一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点,共爬了(3a﹣b)米.问小明家楼梯的竖直高度(即:BC的长度)为________米.
【解析】解:(3a﹣b)﹣(2a+b)
=3a﹣b﹣2a﹣b
=a﹣2b(米).
故小明家楼梯的竖直高度(即:BC的长度)为 (a﹣2b)米.
故答案为:(a﹣2b).
【难度】中
【结束】
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________.
【解析】解:多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3的各项分别是:a3、﹣3ab2、3a2b、﹣b3.
按字母b降幂排序为﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3
故答案是:﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3.
3.已知|a+2|+(b﹣3)2=0,那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少?
【解析】由题意得
因为|a+2|+(b﹣3)2=0,
∴a+2=0,b﹣3=0,即a=﹣2,b=3,
∴﹣xa+byb﹣a=﹣x﹣2+3y3﹣(﹣2)=﹣xy5,
∴单项式﹣xa+byb﹣a的次数是6.
4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式,且系数为,次数为3,求a、n的值.
【解析】解:∵x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式,且系数为,次数为3,
∴=,2+|n﹣3|=3,
∴a=﹣,n=2或4.
5.已知|a|=﹣a,试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值,并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值.
【解析】解:由|a|=﹣a,得
a<0,
六次单项式 x5y|a|,得
5﹣a=6,
解得a=﹣1,
当a=﹣1时,
a2003﹣a2002+1=﹣1﹣1+1=﹣1.
6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式,与单项式3x2ny5﹣m的次数相同.求m,n的值.
【解析】解:∵﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式,
∴m+1=4,m=3,
∴ 5﹣m=2
∵单项式3x2ny5﹣m的次数是6,
2n+2=6
∴2n=4,n=2.
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少?每个单项式的次数有什么关系?
【解析】解:多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中x按照降幂排列,从n次到0次,共n+1项,且该多项式中y按照升幂排列,从0次到n次,共n+1项,
所以该多项式的项数为n+1,
每个单项式的次数都相等,均为n.
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式,且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同.
(1)求m、n的值;
(2)把这个多项式按x的降幂排列.
【解析】解:(1)∵多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式,且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同,
∴m+1+2=3,2n+3﹣m=5,
解得:m=2,n=2;
(2)按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1.
9.已知m是绝对值最小的有理数,且﹣2a2by+1与3axb3是同类项,试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值.
【解析】解:∵m是绝对值最小的有理数,
∴m=0.
∵﹣2a2by+1与3axb3是同类项,
∴x=2,y=2
将m=0、x=2,y=2代入2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2得:
原式=2×22﹣3×2×2+6×22﹣0+0﹣0=20.
10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项,且m、n互为负倒数.求:n﹣mn﹣m的值.
【解析】解:∵﹣a|m﹣3|b与是同类项,
∴|m﹣3|=1,|4n|=1,
解得:m=4或2,n=,
又∵m、n互为负倒数,
∴m=4,n=﹣
∴n﹣mn﹣m=﹣﹣(﹣1)﹣4=.
11.设m和n均不为0,3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项,求的值.
【解析】解:∵3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项,
∴2+2m+n=2,
∴2m+n=0,
∴n=﹣2m,
∴===.