第6讲 整式的概念
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（ ）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【方法总结】
根据四则运算法则，代数式（a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1．（2019 大城县一模）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额
B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力
D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数
2．（2019春 秦淮区期末）关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（ ）
A．比1大 B．比1小 C．比x大 D．比x小
3．（2018秋 杭州期末）代数式的意义是（ ）
A．a除以b与1的差所得的商
B．b减1除a
C．b与1的差除以a
D．a除以b减1
4．（2018秋 鼎城区期末）代数式的正确解释是（ ）
A．a与b的倒数的差的平方 B．a的平方与b的倒数的差
C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数
5．（2018秋 诸暨市期末）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（ ）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式
C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
3.对于多项式2x2+，按x的升幂排列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：
1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．（2019 海安县一模）在下列整式中，次数为4的单项式是（ ）
A．mn2 B．a3﹣b3 C．x3y D．5st
2．（2019春 北碚区校级月考）多项式3x2+xy﹣xy2的次数是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
3．（2018秋 雁塔区校级期末）下列代数式是单项式的是（ ）
A．2a+1 B．3 C． D．
4．（2018秋 高邮市期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是2
B．单项式mn的次数是1，没有系数
C．单项式﹣ab2x的系数是﹣1，次数是4
D．多项式2x2+xy+3是三次三项式
5．（2018秋 番禺区期末）多项式x3﹣x2+2x﹣3的常数项是（ ）
A．x3 B．﹣x2 C．2x D．﹣3
6．（2018秋 下陆区期末）已知多项式﹣3x2+x﹣23的最高次项的系数是N，则N的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣8 C．﹣3 D．1
二．填空题（共1小题）
7．（2019春 香坊区期末）单项式的次数为 ．
知识点3：同类项
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1．（2019 梧州二模）与2ab2是同类项的是（ ）
A．4a2b B．2a2b C．5ab2 D．﹣ab
2．（2019 毕节市）如果3ab2 ﹣1与9ab +1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
3．（2019 黔东南州）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
4．（2019 包头一模）下列单项式中，与a2b3是同类项的是（ ）
A．2ab3 B．2a2b3 C．3a2b D．5ab
5．（2019 株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
6．（2019春 南关区校级月考）若﹣2amb4与5an﹣2b2m是同类项，则mn的值是（ ）
A．16 B．6 C．4 D．2
7．（2019春 武邑县校级月考）下列各式不是同类项的是（ ）
A．﹣xy与﹣yx B．﹣2 与π
C．4x2y 与﹣2xy2 D．5m2n 与﹣3nm2
8．（2019春 南关区校级月考）已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（ ）
A． B． C． D．
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．
3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？
4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，求a、n的值．
5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．
10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．
11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求的值．第6讲 整式的概念
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（ ）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【解析】解：代数式a﹣20的意义是比a的80%少20元．
故选B
【方法总结】
根据四则运算法则，代数式（a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1．（2019 大城县一模）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额
B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力
D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数
【解答】解：A、若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额，正确；
B、若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则（4×10+m）表示这个两位数，则此选项错误；
故选：D．
2．（2019春 秦淮区期末）关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（ ）
A．比1大 B．比1小 C．比x大 D．比x小
【解答】解：由于1＞0，
∴x+1＞x，
故选：C．
3．（2018秋 杭州期末）代数式的意义是（ ）
A．a除以b与1的差所得的商
B．b减1除a
C．b与1的差除以a
D．a除以b减1
【解答】解：代数式的意义是a除以b与1的差所得的商，
故选：A．
4．（2018秋 鼎城区期末）代数式的正确解释是（ ）
A．a与b的倒数的差的平方 B．a的平方与b的倒数的差
C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数
【解答】解：代数式的正确解释是：a的平方与b的倒数的差；
故选：B．
5．（2018秋 诸暨市期末）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
【解答】解：由题意得，a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，
则a+2b+3c＝a+b+2c，即b+c＝0，b与c互为相反数．
故选：A．
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【解析】解：a，b，c的指数分别为：
1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；
2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；
3、1、3；3、2、2；3、3、1；
4、1、2；4、2、1；
5、1、1；
共15种情况，
故选C
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（ ）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式
C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【解析】解：A、﹣a是单项式，它的系数为﹣1，故选项错误；
B、+3xy﹣3y2+5有字母在分母上，故不是一个多项式，故选项错误；
C、多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、﹣2xy、y2的和，故选项错误；
D、如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3是正确的．
故选D．
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
3.对于多项式2x2+，按x的升幂排列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：按x的升幂排列为，
故选A
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：
1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．（2019 海安县一模）在下列整式中，次数为4的单项式是（ ）
A．mn2 B．a3﹣b3 C．x3y D．5st
【解答】解：A、mn2，是次数为3的单项式，故此选项错误；
B、a3﹣b3，是多项式，故此选项错误；
C、x3y，是次数为3的单项式，故此选项正确；
D、5st，是次数为2的单项式，故此选项错误；
故选：C．
2．（2019春 北碚区校级月考）多项式3x2+xy﹣xy2的次数是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：多项式3x2+xy﹣xy2的次数为3，
故选：C．
3．（2018秋 雁塔区校级期末）下列代数式是单项式的是（ ）
A．2a+1 B．3 C． D．
【解答】解：A．2a+1是一次二项式；
B．3是单项式；
C．是一次二项式；
D．是一次二项式；
故选：B．
4．（2018秋 高邮市期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是2
B．单项式mn的次数是1，没有系数
C．单项式﹣ab2x的系数是﹣1，次数是4
D．多项式2x2+xy+3是三次三项式
【解答】解：A、单项式的系数是，次数是3，故A错误；
B、单项式mn的次数是2，系数是1，故B错误；
C、单项式﹣ab2x的系数是﹣1，次数是4，故C正确；
D、多项式2x2+xy+3是二次三项式，故D错误．
故选：C．
5．（2018秋 番禺区期末）多项式x3﹣x2+2x﹣3的常数项是（ ）
A．x3 B．﹣x2 C．2x D．﹣3
【解答】解：多项式x3﹣x2+2x﹣3的常数项是﹣3．
故选：D．
6．（2018秋 下陆区期末）已知多项式﹣3x2+x﹣23的最高次项的系数是N，则N的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣8 C．﹣3 D．1
【解答】解：﹣3x2+x﹣23的最高次数项为﹣3x2，其系数为﹣3，
故选：C．
二．填空题（共1小题）
7．（2019春 香坊区期末）单项式的次数为 5 ．
【解答】解：单项式的次数为5；
故答案为：5．
知识点3：同类项
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【解析】解：∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，
∴m﹣1=1，2n﹣3=n+3．解得：m=2，n=6，
∴m﹣n=2﹣6=﹣4．
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1．（2019 梧州二模）与2ab2是同类项的是（ ）
A．4a2b B．2a2b C．5ab2 D．﹣ab
【解答】解：∵单项式2ab2只含字母a、b，且字母a的次数为1，b的次数是2，
∴与2ab2是同类项的是5ab2．
故选：C．
2．（2019 毕节市）如果3ab2 ﹣1与9ab +1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【解答】解：根据题意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2，
故选：A．
3．（2019 黔东南州）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【解答】解：根据题意，得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2．
故选：A．
4．（2019 包头一模）下列单项式中，与a2b3是同类项的是（ ）
A．2ab3 B．2a2b3 C．3a2b D．5ab
【解答】解：A、字母a的次数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
B、是同类项，选项符合题意；
C、字母b的次数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
D、相同字母的次数相同，不是同类项，故选项不符合题意．
故选：B．
5．（2019 株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
【解答】解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；
D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；
故选：C．
6．（2019春 南关区校级月考）若﹣2amb4与5an﹣2b2m是同类项，则mn的值是（ ）
A．16 B．6 C．4 D．2
【解答】解：∵﹣2amb4与5an﹣2b2m是同类项，
∴n﹣2＝m，2m＝4．
解得：n＝4，m＝2．
∴mn＝24＝16．
故选：A．
7．（2019春 武邑县校级月考）下列各式不是同类项的是（ ）
A．﹣xy与﹣yx B．﹣2 与π
C．4x2y 与﹣2xy2 D．5m2n 与﹣3nm2
【解答】解：A、﹣xy与﹣yx所含字母相同，且相同字母的指数相同，是同类项，故本选项错误．
B、﹣2与π都是数字，是同类项，故本选项错误．
C、4x2y 与﹣2xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项正确．
D、5m2n 与﹣3nm2所含字母相同，且相同字母的指数相同，是同类项，故本选项错误．
故选：C．
8．（2019春 南关区校级月考）已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：
∴解得：，
故选：D．
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．
【解析】解：（3a﹣b）﹣（2a+b）
=3a﹣b﹣2a﹣b
=a﹣2b（米）．
故小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为 （a﹣2b）米．
故答案为：（a﹣2b）．
【难度】中
【结束】
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．
【解析】解：多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3的各项分别是：a3、﹣3ab2、3a2b、﹣b3．
按字母b降幂排序为﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3
故答案是：﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3．
3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？
【解析】由题意得
因为|a+2|+（b﹣3）2=0，
∴a+2=0，b﹣3=0，即a=﹣2，b=3，
∴﹣xa+byb﹣a=﹣x﹣2+3y3﹣（﹣2）=﹣xy5，
∴单项式﹣xa+byb﹣a的次数是6．
4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，求a、n的值．
【解析】解：∵x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，
∴=，2+|n﹣3|=3，
∴a=﹣，n=2或4．
5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
【解析】解：由|a|=﹣a，得
a＜0，
六次单项式 x5y|a|，得
5﹣a=6，
解得a=﹣1，
当a=﹣1时，
a2003﹣a2002+1=﹣1﹣1+1=﹣1．
6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．
【解析】解：∵﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，
∴m+1=4，m=3，
∴ 5﹣m=2
∵单项式3x2ny5﹣m的次数是6，
2n+2=6
∴2n=4，n=2．
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？
【解析】解：多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中x按照降幂排列，从n次到0次，共n+1项，且该多项式中y按照升幂排列，从0次到n次，共n+1项，
所以该多项式的项数为n+1，
每个单项式的次数都相等，均为n．
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
【解析】解：（1）∵多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同，
∴m+1+2=3，2n+3﹣m=5，
解得：m=2，n=2；
（2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1．
9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．
【解析】解：∵m是绝对值最小的有理数，
∴m=0．
∵﹣2a2by+1与3axb3是同类项，
∴x=2，y=2
将m=0、x=2，y=2代入2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2得：
原式=2×22﹣3×2×2+6×22﹣0+0﹣0=20．
10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．
【解析】解：∵﹣a|m﹣3|b与是同类项，
∴|m﹣3|=1，|4n|=1，
解得：m=4或2，n=，
又∵m、n互为负倒数，
∴m=4，n=﹣
∴n﹣mn﹣m=﹣﹣（﹣1）﹣4=．
11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求的值．
【解析】解：∵3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，
∴2+2m+n=2，
∴2m+n=0，
∴n=﹣2m，
∴===．
