(共23张PPT)
空间向量与立体几何
1.3.1空间直角坐标系
复习回顾
问题1 我们回忆下上节课所学的知识：什么是空间向量基本定理？
若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用{ }表示
我们把{ }叫做空间的一个基底， 都叫做基向量．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的．
复习回顾
问题2 平面直角坐标系的定义是什么？
平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, },以O为原点，分别以, 的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系O-xy.
对平面内任一向量a，存在唯一实数对(x,y)，使 =x+y
则终点A的坐标(x,y)叫做向量的坐标.
O
i
j
a
A(x,y)
新知导入
学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.
平面
立体
类比
教学目标
一
二
三
教学目标
了解空间直角坐标系（会画）
会用空间直角坐标系刻画点的位置（会写）
掌握空间向量的坐标表示(会写)
重点
难点
重点
新知探究
探究一：类比平面直角坐标系，猜想如何构建空间直角坐标系。
新知讲解
问题3 平面直角坐标系包含哪些要素？
原点，坐标轴，单位长度
类比到空间直角坐标系中，空间直叫坐标系和平面直角坐标系之间有什么异同？
新知讲解
三要素 平面 空间
原点 原点0
坐标轴 两条相互垂直的数轴： 轴、y轴
单位长度 单位长度为1
问题4 类比到空间直角坐标系中，空间直叫坐标系包含哪些要素？这些要素满足哪些条件？
概念生成
x
y
z
i
j
k
O
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,},以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz .
点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.它们把空间分成八个部分.
概念生成
问题5 如何画出空间直角坐标系？
O
i
j
x
y
斜二测画法
①画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
②建系：建立右手直角坐标系 .
类比正方体、长方体的画法
新知探究
探究二：平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对表示。对于空间直角坐标系中每一个点和向量是否有类似的表示？
新知讲解
问题5 平面中点的坐标如何定义？向量的坐标如何定义？类比到空间直角坐标系，又该如何定义？
平面直角坐标系 空间直角坐标系
点 向量 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。如点A，对应向量=+.则 点A(x,y)；向量+ 任意向量:末减初
？
概念生成
在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z.
在单位正交基底{i, j, k} 下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,
记A(x,y,z),其中
x叫做点A的横坐标,
y叫做点A的纵坐标,
z叫做点A的竖坐标.
i
j
O
k
x
y
z
A
点
概念生成
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作=(x,y,z).
这样在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
1.平移
2.向量的运算（加减法）
3.末减初
x
y
z
O
i
j
k
A(x,y,z)
新知探究
探究三：在立体图形中，如何运用空间直角系表示点与向量？
课堂练习
要求：以小组形式讨论
（1）得出结果
（2）总结出方法
O
x
y
z
A
B
C
B′
A′
C′
D′
(1)点D'在z轴上,且OD'=2,所以=0＋0＋2.所以点D'的坐标是（0,0,2).点C的坐标是（0,4,0).
点A'在轴、轴、轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2，
点A'的坐标是(3,0,2).
点B'在轴、轴、轴上的射影分别为A,C,D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,
点B'的坐标是(3,4,2).
(2)==0+4+0=(0,4,0)；
=-=0+0-2 =(0,0,-2);
=+
-3＋4＋0=(-3,4,0)；=++
=-3＋4＋2=(-3,4,2).
观图形
建坐标系
用运算
定结果
充分观察图形特征
根据图形特征建立空间直角坐标系
综合利用向量的加减及数乘运算
将所求向量用已知的基向量表示出来，确定坐标
1.平移
2.向量的运算（加减法）
3.末减初
课堂练习
3.在长方体OABC-D'A'B'C中，OA=3，OC=4，OD'=3，A'C'与B'D'相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.
(1)写出点C， B'，P的坐标;
(2)写出向量，的坐标.
解析： (1) C ( 0,4,0 )，B(3,4,3 )，P(,2,3)
( 2) = =(0,0,3 )，'=+=( -3,4,0).
1.平移
2.向量的运算（加减法）
3.末减初
概念生成
问题6 坐标面上和坐标轴上的点的特征是什么？关于坐标平面的对称的点又有怎样的情况？
1.若点M在Oyz平面上，则x＝0；
若点M在Ozx平面上，则y＝0；
若点M在Oxy平面上，则z＝0；
2.若点M在x轴上，则y＝z＝0；
若点M在y轴上，则x＝z＝0；
若点M在z轴上，则x＝y＝0；
3.若M是原点，则x＝y＝z＝0．
概念生成
问题6 坐标面上和坐标轴上的点的特征是什么？关于坐标平面的对称的点又有怎样的情况？
关于坐标平面的对称性：
(1)P(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点为P1(x,y,－z)；
P(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点为P2(－x,y,z)；
P(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点为P3(x,－y,z)．
关于坐标轴的对称性：
(2)P(x,y,z)关于x轴的对称点为P4(x,－y,－z)；
P(x,y,z)关于y轴的对称点为P5(－x,y,－z)；
P(x,y,z)关于z轴的对称点为P6(－x,－y,z)．
规律：关于谁对称谁不变
课堂总结
简单的立体几何问题
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
数形结合
空间想象
几何直观
谢谢
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空间向量与立体几何
1.3.2空间向量的坐标表示
复习回顾
回忆上节课，我们学习了哪些知识？
1.空间直角坐标系的定义与会建立空间直角坐标轴
2.能利用空间直角坐标系表示点与向量
3.能在立体图形中表示点与向量（直线）
新知导入
前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来.
那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？
教学目标
一
二
三
教学目标
会求出空间向量的坐标
空间向量垂直，平行及模长的坐标表示及应用
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题
重点
难点
重点
新知探究
探究一：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？
新知讲解
问题1 平面向量中有哪些运算？是否能类比到空间中？
加法 减法 数乘 数量积
概念生成
问题2 你能类比平面向量的坐标运算，类比出空间向量的坐标运算？
平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算
你能证明吗？
请大家在课后，以小组的作业的形式将证明步骤写出来！可加分！
新知探究
探究二：平面向量的坐标运算可以帮我们解决平面中平行，垂直，模长，角度等问题的证明与求值。
那空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？
从中比较平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算的异同点！
新知讲解
问题3 我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？
请大家以小组形式进行讨论
（1）将下面的表格填写好（2）描述处它们的异同！
平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算
平行
垂直
模长
角度
概念生成
平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算
平行
垂直
模长
角度 新知探究
探究三：在立体几何图像中，证明或求取平行，垂直，模长，角度等问题。
并总结出解决问题的方法！
课堂练习
O
A
B
C
x
y
z
D
A1
B1
C1
D1
F
E
（1）建系
（2）标点
（3）求向量
（4）算值
（代公式：数量积为0)
课堂练习
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
F1
M
E1
课堂练习
（1）建系
（2）标点
（3）求向量
（4）算值
（代公式：角度公式)
课堂总结
1.空间向量运算的坐标表示
2.空间向量中垂直向量坐标之间的关系.
3.空间中两点间的距离公式和空间两向量夹角余弦值的计算公式.
4.利用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题.
（1）建系
（2）标点
（3）求向量
（4）算值（代公式)
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