1.3 公式法 同步练习（含答案）
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第一章 因式分解
3 公式法
考点突破
知识点1 用平方差公式分解因式
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
2.分解因式,结果正确的是 ( )
3.下列各式： ①;②;③;④;⑤,其中利用平方差公式分解因式正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.对于任意整数，多项式的值都能( )
A.被20整除 B.被7整除 C.被21整除 D.被整除
5.多项式因式分解的结果是( )
6.分解因式：
7.分解因式：
8.已知,,则
9.把下列各式分解因式：
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6).
10.如图所示，某街心花园要在一块边长为的正方形草地的四个角上各设计一个边长为的正方形景点，当，时，利用因式分解，求剩余草地的面积.
知识点2 用完全平方公式分解因式
11.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
12.下列各式：①;②;③;④; ⑤,可以用公式法分解因式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.关于x的二次三项式能直接用完全平方公式分解因式则的值是( )
A.-6 B.±6 C. 12 D.±12
14.将多项式因式分解，结正确的是( )
15.无论取何值，的值总是非负数，则的最小值是( )
A.4 B.5 C.6 D.无法确定
16.多项式加上一个单项式后，得到的多项式能够利用完全平方公式分解因式，则这个单项式可以为_____________(写出一个符合要求的单项式即可)，将得到的多项式因式分解为______________.
17.将下列各式分解因式：
(1); (2);
(3); (4);
(5).
知识点3 综合应用各种方法分解因式
18.多项式因式分解为( )
19.多项式因式分解为( )
20.在多项式的乘法运算中，我们都知道,逆用这个式子可以将一些多项式因式分解.将多项式分解因式正确的是( )
21.若,则.
22.计算：
23.把下列各式分解因式：
(1);
(2);
(3).
巩固提高
24.因式分解：( )
25.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
26.如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四个角上各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为( )
27.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
28.分解因式：.
29.分解因式：.
30.因式分解：
31.已知,,则.
32.因式分解：
(1); (2);
(3); (4).
33.对于多项式,如果我们把代入此多项式，发现多项式的值为0，这时可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成,这种因式分解的方法叫试根法.
(1)求式子中的值；
(2)用试根法对多项式进行因式分解.
34.下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.
解：设,
则原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
. (第四步)
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗 如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
参考答案
考点突破
1.D A项中，平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；B项中,平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；C项中，,平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；D项中，,能用平方差公式分解因式，故D符合题意.
2.D 原式,故选D.
3.B ①中平方项的符号相同，故不能分解因式；②; ③;④中分解不彻底， ;⑤正确.故选B.
4.A ,故对于任意整数，多项式 的值都能被20整除.故选A.
5.D .
6.答案
解析 原式.
7.答案
解析 原式=
8.答案 8
解析 ∵,,∴.
9.解析 (1)
10.解析 由题图可知，剩余草地的面积是 当，时， .
答：剩余草地的面积是
11.A A项中， 所以A符合题意；B项中， 不能用完全平方公式进行因式分解；C项中，平方项的符号相反，不能用完全平方公式进行因式分解；D项中的多项式共有两项，不能用完全平方公式进行因式分解.故选A.
12.C ①不能分解；②故可以用公式法分解因式；③不能分解；④ 故可以用公式法分解因式；⑤ 故可以用公式法分解因式.故选C.
13.D ∵关于的二次三项式 能直接用完全平方公式分解因式， 故选D.
14.D 原式 故选D.
15.B ，即 ∴c的最小值是5.故选B.
16.答案
解析 当加上的单项式为 时，多项式变为 当加上的单项式为 时，多项式变为 以上两组答案任选其一.
17.解析 (1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)原式
18.D 原式 故选D.
19.A 原式 故选A.
20.C ∵，且 .
21.答案 16
解析 根据题意得
22.答案 2023
解析 原式
23.解析 (1)原式
(2)原式
(3)原式
巩固提高
故选A.
25.D A项， 是两项，不能用完全平方公式分解因式；B项， 不能用完全平方公式分解因式；C项， 不能用完全平方公式分解因式；D项， 能用完全平方公式分解因式.故选D.
26.A 由题意知无盖长方体纸盒的底面积为 侧面积为 故选A.
移项，得 所以 所以
所以 或
又因为a，b，c是△的三边长，所以 或
因此△是等腰三角形或直角三角形.故选C.
28.答案
解析 原式
29.答案
解析 原式
30.答案
解析 原式
31.答案 36
解析 原式
∵，，∴原式
32.解析 (1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
33.解析 (1)因为 所以解得，.
(2)把 代入 发现多项式的值为0，则多项式可分解为 的形式，因为 所以解得
所以
34.解析 (1)①没有，最后的结果为
②设
则原式
(2)设
则
所以原式
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第一章 因式分解
3 公式法
考点突破
知识点1 用平方差公式分解因式
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
2.分解因式,结果正确的是 ( )
3.下列各式： ①;②;③;④;⑤,其中利用平方差公式分解因式正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.对于任意整数，多项式的值都能( )
A.被20整除 B.被7整除 C.被21整除 D.被整除
5.多项式因式分解的结果是( )
6.分解因式：
7.分解因式：
8.已知,,则
9.把下列各式分解因式：
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6).
10.如图所示，某街心花园要在一块边长为的正方形草地的四个角上各设计一个边长为的正方形景点，当，时，利用因式分解，求剩余草地的面积.
知识点2 用完全平方公式分解因式
11.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
12.下列各式：①;②;③;④; ⑤,可以用公式法分解因式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.关于x的二次三项式能直接用完全平方公式分解因式则的值是( )
A.-6 B.±6 C. 12 D.±12
14.将多项式因式分解，结正确的是( )
15.无论取何值，的值总是非负数，则的最小值是( )
A.4 B.5 C.6 D.无法确定
16.多项式加上一个单项式后，得到的多项式能够利用完全平方公式分解因式，则这个单项式可以为_____________(写出一个符合要求的单项式即可)，将得到的多项式因式分解为______________.
17.将下列各式分解因式：
(1); (2);
(3); (4);
(5).
知识点3 综合应用各种方法分解因式
18.多项式因式分解为( )
19.多项式因式分解为( )
20.在多项式的乘法运算中，我们都知道,逆用这个式子可以将一些多项式因式分解.将多项式分解因式正确的是( )
21.若,则.
22.计算：
23.把下列各式分解因式：
(1);
(2);
(3).
巩固提高
24.因式分解：( )
25.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
26.如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四个角上各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为( )
27.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
28.分解因式：.
29.分解因式：.
30.因式分解：
31.已知,,则.
32.因式分解：
(1); (2);
(3); (4).
33.对于多项式,如果我们把代入此多项式，发现多项式的值为0，这时可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成,这种因式分解的方法叫试根法.
(1)求式子中的值；
(2)用试根法对多项式进行因式分解.
34.下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.
解：设,
则原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
. (第四步)
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗 如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
参考答案
考点突破
1.D A项中，平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；B项中,平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；C项中，,平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；D项中，,能用平方差公式分解因式，故D符合题意.
2.D 原式,故选D.
3.B ①中平方项的符号相同，故不能分解因式；②; ③;④中分解不彻底， ;⑤正确.故选B.
4.A ,故对于任意整数，多项式 的值都能被20整除.故选A.
5.D .
6.答案
解析 原式.
7.答案
解析 原式=
8.答案 8
解析 ∵,,∴.
9.解析 (1)
10.解析 由题图可知，剩余草地的面积是 当，时， .
答：剩余草地的面积是
11.A A项中， 所以A符合题意；B项中， 不能用完全平方公式进行因式分解；C项中，平方项的符号相反，不能用完全平方公式进行因式分解；D项中的多项式共有两项，不能用完全平方公式进行因式分解.故选A.
12.C ①不能分解；②故可以用公式法分解因式；③不能分解；④ 故可以用公式法分解因式；⑤ 故可以用公式法分解因式.故选C.
13.D ∵关于的二次三项式 能直接用完全平方公式分解因式， 故选D.
14.D 原式 故选D.
15.B ，即 ∴c的最小值是5.故选B.
16.答案
解析 当加上的单项式为 时，多项式变为 当加上的单项式为 时，多项式变为 以上两组答案任选其一.
17.解析 (1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)原式
18.D 原式 故选D.
19.A 原式 故选A.
20.C ∵，且 .
21.答案 16
解析 根据题意得
22.答案 2023
解析 原式
23.解析 (1)原式
(2)原式
(3)原式
巩固提高
故选A.
25.D A项， 是两项，不能用完全平方公式分解因式；B项， 不能用完全平方公式分解因式；C项， 不能用完全平方公式分解因式；D项， 能用完全平方公式分解因式.故选D.
26.A 由题意知无盖长方体纸盒的底面积为 侧面积为 故选A.
移项，得 所以 所以
所以 或
又因为a，b，c是△的三边长，所以 或
因此△是等腰三角形或直角三角形.故选C.
28.答案
解析 原式
29.答案
解析 原式
30.答案
解析 原式
31.答案 36
解析 原式
∵，，∴原式
32.解析 (1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
33.解析 (1)因为 所以解得，.
(2)把 代入 发现多项式的值为0，则多项式可分解为 的形式，因为 所以解得
所以
34.解析 (1)①没有，最后的结果为
②设
则原式
(2)设
则
所以原式
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