24.1.4.1圆周角（1） 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
24.1.4.1圆周角（1）
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1.理解圆周角的概念；
2.掌握圆周角定理及推论，能够运用相关知识解决问题.
教学重点:掌握圆周角定理及推论，能够运用相关知识解决问题.
教学难点：了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.
新知导入
情境引入
顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，而在其它位置上呢？
如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
·
O
C
A
B
新知讲解
合作学习
如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？
A
B
O
C
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角的定义
圆周角
圆心角
判别：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
·
C
O
B
A
（2）
C
·
O
B
A
（1）
·
C
O
A
B
（3）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
·
C
O
A
B
（6）
·
C
O
B
A
（5）
·
C
O
B
A
（4）
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探究：如图，圆心角∠BOC，圆周角∠BAC对着同一条弧BC. 试猜想它们之间存在怎样的数量关系？
发现：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
为了证明上面的结论，在☉O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会：
（1）在圆周角的一条边上；
（2）在圆周角的内部；
（3）在圆周角的外部.
如图所示：
证明：（1）圆心O在边BA上
∵OA=OC
∴∠A= ∠C
∵∠BOC= ∠ A+ ∠C
=2∠ A
=2∠BAC
∴
证明：（2）圆心O在∠BAC的内部
D
连接并延长AO交☉O于点D.
由（1）知，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC
证明：（3）圆心O在∠BAC的外部
D
连接并延长BO交☉O于点D，连接DC.
由（1）知，
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
提炼概念
进一步，我们还可以得到以下推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如何证明呢？
证明：（1）在同弧中
∴∠ABC=∠ADC
同弧所对的圆周角相等．
D
A
B
O
C
E
F
在等弧中
等弧所对的圆周角相等．
证明：（2）
·
O
A
C
B
∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
∵ ∠ACB=90°
∴ ∠AOB=2∠ACB=180°
∵AB经过点O，
∴AB是☉O的直径.
90°的圆周角所对的弦是直径．
典例精讲
合作探究
例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm. ∠ACB的平分线交⊙O于D. 求BC、AD、BD的长.
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中，根据勾股定理得
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠AOD=∠BOD,
∴AD=BD.
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
归纳概念
合作探究
注意：圆周角有关问题中，若出现“直径”，则通常构造直角三角形来求解.
课堂练习
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1.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A. 64° B. 58°
C. 68° D. 55°
B
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB=（ ）
A.70° B.110° C.90° D.120°
B
A
C
B
O
D
E
3.判断：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ）
（3）90°的角所对的弦是直径. （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
×
×
×
4.如图，⊙O的直径AB⊥CD，∠A=22.5°，OC=4，求CD的长.
解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵AB⊥CD，
∴ ∠ECO=45°.
∴ CE=OE，
在Rt△COE中，根据勾股定理得
∵CD=2CE
5.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠ACB=45°,
∴∠BOA=2∠ACB=90°.
又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
6.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2
即半径为2.
C
A
B
O
课堂总结
圆周角
定义
圆周角定理
推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
顶点在圆上，并且两边都和圆相交.
半圆或直径所对的圆周角相等，都等于90°（直角）.反之亦然.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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