【核心素养目标】24.1.4.1圆周角（1） 学案

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24.1.4.1圆周角（1）导学案
课题 24.1.4.1圆周角（1） 单元 第24单元 学科 数学 年级 九年级（上）
教材分析 通设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.
核心素养分析 培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育.
学习目标 1.理解圆周角的定理.2.熟练掌握圆周角定理及其推理的灵活应用，培养学生观察能力和应用能力，渗透“化归”的思想.
3.通过探究圆心角圆周角之间的数量关系，体会事物联系的普遍性.
重点 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
难点 运用数学分类思想证明圆周角的定理.
教学过程
课前预学 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点 圆周角的定义：类似圆心角我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.强调：定义中的两个条件（顶点在圆上、两边都与圆相交）缺一不可判别：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.试一试：1、圆中所对的圆周角有哪些？2、你还能画出多少个所对的圆周角吗？3、猜想，这些圆周角之间有什么关系，和圆心角∠DOE之间有什么关系？下面，我们来用逻辑证明一下上述发现的结论。猜想与验证：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.∠BAC=∠BOC你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角 (让学生小组讨论、然后学着画出图形，然后教师在展示ppt)根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”(1)设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径,如图所示(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗 请同学们独立完成这道题的说明过程.如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗 请同学们独立完成证明.现在,如果再画一个任意的圆周角∠AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角的一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.从(1)、(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定理:进一步,我们还可以得到哪些结论:
新知讲解 提炼概念归纳总结：推论1：推论2：推论3：典例精讲 例4、如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求DC 、AB、BC的长．
课堂练习 巩固训练 1.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC=（ ）A. 64° B. 58° C. 68° D. 55°2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB=（ ） A.70° B.110° C.90° D.120°3.判断：（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ）（3）90°的角所对的弦是直径. （ ）（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）4.如图，⊙O的直径AB⊥CD，∠A=22.5°，OC=4，求CD的长.5.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是多少？ 答案引入思考圆周角的定义定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(1)设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径,如图所示∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO.∴∠ABC=1/2∠AOC.(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗 请同学们独立完成这道题的说明过程.第(2)题图如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗 请同学们独立完成证明.第(3)题图现在,如果再画一个任意的圆周角∠AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角的一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.从(1)、(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步,我们还可以得到下面的推导:同弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.等弧所对的圆周角相等 提炼概念 典例精讲 例4 解：∵AC是直径，∴ ∠ADC=90°.在Rt△ADC中，DC=8 ∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， 小结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.n-m例 巩固训练1.B2.B3.√，×，×，×4.解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∵AB⊥CD，∴ ∠ECO=45°.∴ CE=OE， 在Rt△COE中，根据勾股定理得 ∵CD=2CE 5.解：连接OA、OB.∵∠ACB=45°,∴∠BOA=2∠ACB=90°.又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形. 6.
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？
A
C
B
O
D
E
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