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一、选择题
1．(2012～2013山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝x4－3 B．y＝x2 x∈(－3,3]
C．y＝－ D．y＝2(x－1)2＋1
[答案] A
2．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③偶函数的图象与y轴一定相交；
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数．
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．
3．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上( )
A．减函数
B．增函数
C．既可能是减函数也可能是增函数
D．不一定具有单调性
[答案] B
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既非奇函数又非偶函数
[答案] A
[解析] ∵f(－x)＝f(x)，
∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．
∴b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝－g(x)．
5．(2012～2013沧一中月考试题)函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)>f(0)>f(1) B．f(－2)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0)
[答案] B
[解析] ∵f(－2)＝f(2)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2>1>0，∴f(2)>f(1)>f(0)．∴f(－2)>f(1)>f(0)．
6．设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )
A．为减函数，最大值为3
B．为减函数，最小值为－3
C．为增函数，最大值为－3
D．为增函数，最小值为3
[答案] D
[解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，∴f(－1)＝3，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3.
7．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．－15 B．15
C．10 D．－10
[答案] A
[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
∴f(3)＝－15.
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
8．(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意得|2x－1|< －<2x－1<
<2x< 二、填空题
9．(2012·全国高考数学安徽卷)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
[答案] 4
[解析] 由函数f(x)为偶函数得f(a)＝f(－a)即(a＋a)(a－4)＝(－a＋a)(－a－4)所以a＝4或a＝0，而a＝0时f(x)＝x2－4x不是偶函数，因此a＝4.
[考点定位] 本题考查函数奇偶性的应用．若已知一个函数为偶函数，则应有其定义域关于原点对称
10．(2012～2013连云港高一月考)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
[答案] 0
[解析] 因为偶函数的定义域关于坐标原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.所以函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1，为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
11．(2012～2013山东泗水一中月考试题)函数f(x)在R上为奇函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(x－1)，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.
[答案] －x(x＋1)
12．(2012～2013河南安阳一中月考试题)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b)是偶函数，因它的值域为(－∞，4]则该函数的解析式f(x)＝________.
[答案] －2x2＋4
[解析] 由于f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，
所以f(－x)＝bx2－(ab＋2a)x＋2a2，
∴ab＋2a＝0，∴a＝0或b＝－2.
又f(x)最大值4.所以b＝－2，
且f(0)＝2a2＝4，∴a＝±，
∴f(x)＝－2x2＋4.
三、解答题
13．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋.
(2)f(x)＝.
(3)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|.
(4)f(x)＝.
[解析] (1)偶函数．∵f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)为偶函数．∵x∈Q时，－x∈Q，
∴f(－x)＝1＝f(x)．
同理，x为无理数时，－x也为无理数．
∴f(－x)＝－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)奇函数．∵f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|
＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(4)画出其图象如图，可见f(x)为奇函数．
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，
所以f(0)＝0，即b＝0.
又f＝，所以＝，
所以a＝1，所以f(x)＝.
16．f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．
[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.
即f(x)＝－2(x－1)2＋2.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2(x＋1)2－2，
即f(x)＝，
其图象如图所示．
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一、选择题
1．(2012～2013河南安阳一中月考试题)如果集合A＝{x|ax2－2x－1＝0}只有一个元素则a的值是( )
A．0 B．0或1
C．－1 D．0或－1
[答案] D
[解析] 若a＝0则方程只有一根－若a≠0则方程只有一根应满足Δ＝0即4＋4a＝0.∴a＝－1故选D.
2．(2012～2013广东惠州调研)集合M＝{4,5，－3m}，N＝{－9,3}，若M∩N≠ ，则实数m的值为( )
A．3或－1 B．3
C．3或－3 D．－1
[答案] A
[解析] ∵M∩N≠ ，∴－3m＝－9或－3m＝3，∴m＝3或－1，故选A.
3．设A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．A C B．C A
C．A≠C D．A＝
[答案] A
[解析] ∵A∪B＝B∩C B，
又B A∪B，∴A∪B＝B，∴A B，
又B A∪B＝B∩C，且B∩C B，
∴B∩C＝B，∴B C，∴A C.
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则 U(M∪N)＝( )
A．{5,7} B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
[答案] C
[解析] ∵M∪N＝{1,3,5,6,7}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴ U(M∪N)＝{2,4,8}．
5．(胶州三中2012～2013学年高一期末测试)设全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x<3}，N＝{x|－1≤x≤4}，则N∩ UM＝( )
A．{x|－4≤x≤－2} B．{x|－1≤x≤3}
C．{x|3≤x≤4} D．{x|3[答案] C
[解析] UM＝{x|x<－2或x≥3}，N∩ UM＝{x|3≤x≤4}．
6．集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩ RM≠ (R为实数集)，则a的取值范围是( )
A．{a|a≤3} B．{a|a>－2}
C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2}
[答案] C
[解析] RM＝{x|－2≤x<3}．结合数轴可知．
a≥－2时，N∩ RM≠ .
7．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] D
[解析] S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.
8．(2012～2013·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以 U(A∪B)＝{3,5}．
二、填空题
9．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，且A∩B≠ ，则实数a的取值集合为________．
[答案] {a|a≥－1}
[解析] 利用数轴标出两集合可直接观察得到．
10．(河北孟村回民中学2012～2013学年月考试题)U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}， UA＝{1}，则p＋q＝________.
[答案] 0
[解析] 由 UA＝{1}，知A＝{2}即方程
x2＋px＋q＝0有两个相等根2，∴p＝－4，q＝4，
∴p＋q＝0.
11．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m∈A，m∈B，则m为________．
[答案] (4,7)
[解析] 由m∈A，m∈B知m∈A∩B，
由，得，∴A∩B＝{(4,7)}．
12．已知A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋4x＋p＝0}，若B A，则实数p的取值范围是________．
[答案] p>4
[解析] A＝{－1,2}，若B＝A，则2＋(－1)＝－4矛盾；若B是单元素集，则Δ＝16－4p＝0∴p＝4
∴B＝{－2} A.∴B＝ ，∴p>4.
三、解答题
13．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}，求：
(1)( RA)∩( RB) (2) R(A∪B)
(3)( RA)∪( RB) (4) R(A∩B)
[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出A∩B，A∪B， RA， RB，最后可逐一写出各小题的结果．
[解析] 如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}．
RA＝{x|x<2或x≥5}，
RB＝{x|x<3或x≥7}．
由此求得
(1)( RA)∩( RB)＝{x|x<2或x≥7}．
(2) R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．
(3)( RA)∪( RB)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．
(4) R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．
[评注] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．
14．(2012～2013山东鱼台一中月考试题)集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若A∩B≠ ，A∩C＝ ，求实数a的值．
[解析] B＝{x|x2－5x＋t＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，
C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{x|(x－2)(x＋4)＝0}＝{2，－4}，
∵A∩B≠ ，A∩C＝ ，∴3∈A，
将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得：
a2－3a－10＝0解得a＝5或－2
当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6}＝{2,3}与A∩C＝ 矛盾
当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意
综上a＝－2.
15．设全集U＝R，集合A＝{x|－51}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其分别满足下列两个条件：①C (A∩B)；②C ( UA)∩( UB)．
[解析] ∵A＝{x|－51}，
∴A∩B＝{x|1 UB＝{x|－6≤x≤1}，
∴( UA)∩( UB)＝{x|－6≤x≤－5}．
而C＝{x|x当C ( UA)∩( UB)时，m>－5，∴m≥4.
16．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x B}．
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6[解析] (1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
则A－B＝{1}．
(2)不一定相等，
由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，
故A－B≠B－A.
又如，A＝B＝{1,2,3}时，
A－B＝ ，B－A＝ ，此时A－B＝B－A，
故A－B与B－A不一定相等．
(3)因为A－B＝{x|x≥6}，
B－A＝{x|－6A－(A－B)＝{x|4B－(B－A)＝{x|421世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
一、选择题
1．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是( )
[答案] B
2．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
[答案] B
[解析] g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1，选B.
3．(2012～2013河南扶沟高中高一月考试题)函数f(x)＝x＋的图象是( )
[答案] C
[解析] 对于y＝x＋，
当x＞0时，y＝x＋1；
当x＜0时，y＝x－1.
即y＝故其图象应为C.
4．(2012～2013鱼台一中月考试题)已知f()＝则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x
[答案] C
[解析] ∵f()＝＝.
∴f(x)＝故选C.
5．(2012～2013武安中学周测题)若f(x)满足关系式f(x)＋2f()＝3x，则f(2)的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D.
[答案] B
[解析]
①－②×2得－3f(2)＝3，
∴f(2)＝－1，选B.
6．已知f(x)是一次函数，若2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
[答案] B
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由已知得
即解得，故选B.
7．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )
[答案] D
[解析] t＝0时，学生在家，离学校的距离d≠0，因此排除A、C；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.
8.
某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数图象如图，下列四种说法：
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．
其中说法正确的是( )
A．②与③ B．②与④
C．①与③ D．①与④
[答案] A
[解析] 由于纵坐标表示八年来前t年产品总产量，故②③正确，其余错误．
二、填空题
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))＝________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值是________．
[答案] 1 2
[解析] ∵g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
∴f(g(x))＞g(f(x))的解为x＝2.
x 1 2 3
f(g(x)) 1 3 1
g(f(x)) 3 1 3
10.(沧州市2012～2013学年高一期末质量监测)已知集合M＝{－1,1,2,3}，N＝{0,1,2,3,4}，下面给出四个对应法则，①y＝x2；②y＝x＋1；③y＝；④y＝(x－1)2，其中能构成从M到N的函数的序号是________．
[答案] ②④
[解析] 对于①当x＝3时，y＝9，集合N中不存在，对于③当x＝－1时y＝－集合N中不存在，而②④符合函数定义．
11．已知f＝x2＋，则f(x)的解析式为________．
[答案] f(x)＝x2＋2
[解析] f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
12．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F()＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
[答案] F(x)＝3x＋
[解析] 设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，则F(x)＝kx＋.由F()＝16，F(1)＝8，得，解得，所以F(x)＝3x＋.
三、解答题
13．求解析式：
(1)已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，求f(x)．
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
(3)如果函数f(x)满足方程f(x)＋2f(－x)＝x，x∈R，求f(x)．
[分析] (1)待定系数法．
(2)这是含未知数f(x)的等式，比较抽象，在函数的定义域和对应法则不变的条件下，自变量变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响．
(3)因为当x∈R时，都有f(x)＋2f(－x)＝x，所以利用方程思想解得f(x)．
[解析] (1)待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c
f(2x－1)＝a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c，
f(2x＋1)＋f(2x－1)＝8ax2＋4bx＋2a＋2c＝16x2－4x＋6，
∴，∴，
∴f(x)＝2x2－x＋1.
(2)方法一：配凑法
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二：换元法
令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x，当x∈R时成立，
用－x替换x得，f(－x)＋2f(x)＝－x.
得到方程组
②×2－①，得3f(x)＝－3x，∴f(x)＝－x.
[方法点拨] (2)配凑法简便易行，但对变形能力、观察能力要求较高，换元法易掌握，但利用这种方法时要注意自变量取值范围的变化情况，否则得不到正确的解析式．
(3)本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到f(x)的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．
14．已知函数f(x)的图象如图，其中y轴左侧为一条线段，右侧为一段抛物线，求f(x)的解析式．
[解析] 当－2≤x≤0，设y＝kx＋b(k≠0)，代入(－2,0)与(0,2)，得解得故y＝x＋2，
当0＜x≤3时，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
代入(0,2)，(2，－2)，(3，－1)得
解得
综上可知，
f(x)＝
15．作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝；
(2)y＝－x2＋2x，x∈[－2,2]；
(3)y＝|x＋1|.
[分析] →→→
[解析] (1)y＝，
列表：
x … 1 2 3 …
y … 4 2 1 2 3 …
当0当x≥1时，函数图象为直线y＝x的一部分，所以函数图象如图(1)所示，
由图(1)，可得函数的值域是[1，＋∞)．
(2)y＝－x2＋2x＝1－(x－1)2，x∈[－2,2]．
列表：
x －2 －1 0 1 2
y －8 －3 0 1 0
画图象，图象是抛物线y＝－x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分如图(2)所示．
由图(2)，可得函数的值域是[－8,1]．
(3)当x＋1≥0，
即x≥－1时，y＝x＋1；
当x＋1<0，即x<－1时，y＝－x－1.
∴y＝
作该分段函数图象如图(3)．
由图(2)，可得函数的值域是[0，＋∞)．
16．(2012～2013孟村回中月考题)某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间适合关系式：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数．
[分析] →→→
[解析] (1)将，代入y＝ax＋，得 .
∴所求函数解析式为y＝x＋(x∈N*,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
[点评] 在表示函数时，要根据函数的具体特点，在解析法、列表法、图象法中选择恰当的表现形式．
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一、选择题
1．给出下列四个命题：
(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；
(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
2．(2012～2013瓮安一中周测试题)下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )
A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|
B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)x
D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2
[答案] A
[解析] 对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0 N*，
∴不是映射，故选A.
3．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能看作从M到P的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝6时，y＝6，当6 P，故选C.
4．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}则从A到B可以建立不同的映射个数为( )
A．5 B．6
C．8 D．9
[答案] C
[解析] 用树状图写出所有的映射为：
a→d a→e共8个．
5．已知f(x)＝
则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，
∴f(f(－4))＝f(0)＝1，
f(f(f(－4)))＝f(1)＝12＋3＝4.故选B.
6．(2012～2013·潍坊一中月考试题)设函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－
C. D．18
[答案] A
[解析] f(2)＝4，＝，故f()＝f()＝1－()2＝.
7．(河南高中2012～2013高一第一次考试)已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应为f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合中没有元素对应，则k的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] B
[解析] 设k＝x2－2x＋2即x2－2x＋2－k＝0，k没有元素对应即上述方程无解Δ＜0，(－2)2－4(2－k)＜0，∴k＜1故选B.
8．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的( )
[答案] B
[解析] 由已知得y＝＝.故选B.
二、填空题
9．已知M＝{正整数}，N＝{正奇数}，映射f：a→b＝2a－1，(a∈M，b∈N)，则在映射f下M中的元素11对应N中的元素是________．
[答案] 21
[解析] b＝2×11－1＝21.
10．(2012～2013山东泗水一中月考试题)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
11．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是________．
[答案]
[解析] 当x≤－1时，x－2＝3，∴x＝5(舍)，
当－112.
如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．
[答案] 2
[解析] f(3)＝1，f(1)＝2，∴f()＝2.
三、解答题
13．作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
[解析] f(x)＝，图象如下图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．
14．已知函数f(x)＝
(1)试比较f[f(－3)]与f[f(3)]的大小；
(2)求使f(x)＝3的x的值．
[解析] (1)∵－3<1，∴f(－3)＝7，
又∵7>1，∴f[f(－3)]＝f(7)＝49－14＝35.
∵3>1，∴f(3)＝32－2×3＝3，∴f[f(3)]＝f(3)＝3.
∴f[f(－3)]>f[f(3)]．
(2)当f(x)＝3时，有 x＝－1.
或
∴使f(x)＝3的x的值为－1或3.
15．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20 g重付邮资80分，超过20 g重而不超过40 g重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(g)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
[解析] y＝定义域为[0,40]，图象如下
16．如图所示，二次函数y＝－mx2＋4m的顶点坐标为(0,2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
(1)求二次函数解析式；
(2)设A(x，y)，试求矩形ABCD的周长P关于x的函数关系，并求x的取值范围；
(3)是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
[解析] (1)∵抛物线y＝－mx2＋4m的顶点为(0,2)，∴4m＝2，m＝.
∴二次函数解析式为y＝－x2＋2.
(2)∵AD＝BC＝2|x|，
∴AD＋BC＝4|x|.
∵AB＝CD＝|y|＝y(∵y＞0)，
∴AB＋CD＝2y＝2(－x2＋2)＝－x2＋4.
∴P＝－x2＋4|x|＋4.
对于y＝－x2＋2，令y＝0，
即－x2＋2＝0，得x＝±2.
∴抛物线y＝－x2＋2与x轴的两个交点为(－2,0)，(2,0)．
∴函数P的自变量x的取值范围是
－2＜x＜2，且x≠0.
(3)解法一：假设存在矩形ABCD，它的周长为9.
当0＜x＜2时，P＝－x2＋4x＋4＝9，
即－x2＋4x－5＝0.
∵Δ＜0，∴方程无实数根．
当－2＜x＜0时，P＝－x2－4x＋4＝9，
即－x2－4x－5＝0
∵Δ＜0，∴方程无实数根．
综上，不存在周长为9的矩形ABCD.
解法二：P＝－x2＋4|x|＋4
＝－(|x|2－4|x|＋4－4)＋4
＝－(|x|－2)2＋8，
∵|x|＜2，∴P＜8.∴P≠9，即周长为9的矩形ABCD不存在．
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一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．小明身高1.78 m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素
B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素
C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线
D．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等
[答案] D
[解析] A中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性．
2．(2012～2013河北孟村回民中学高一月考试题)下列关系中，表述正确的是( )
A．0∈{x2＝0} B．0∈{(0,0)}
C．0∈N* D．0∈N
[答案] D
[解析] 选项A的集合中元素是一个方程，B的集合中元素是点，而0是自然数，因此选D.
3．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.14159}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
[答案] D
[解析] 选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．
4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x}x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
[答案] D
[解析] 对选项A，由于7为正奇数，显然不对．对于选项B，由于k∈Z，应含有无数个元素，故不对，对于选项C，当t＝0时x＝－3，不正确，故选D.
5．下列集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
[答案] B
[解析] 选项A、C、D都等于集合{2}，故选B.
6．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A．4 B．5
C．10 D．12
[答案] D
[解析] 12能被x＋3整除．∴y＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.
7．设A、B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4，当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.
∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
8．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2|}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
[答案] C
[解析] 方程组的解是
二、填空题
9．设集合M＝{平行四边形}，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.
[答案] ∈，
[解析] 矩形是特殊的平行四边形．而梯形不是平行四边形
10．集合A＝{x|x∈N，且∈Z}，用列举法可表示为A＝________.
[答案] {0,1,3,4,6}
[解析] 注意到∈Z，因此，2－x＝±2，±4，±1，解得x＝－2,0,1,3,4,6，又∵x∈N，
∴x＝0,1,3,4,6.
11．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝________.
[答案] {(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
12．已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________．
[答案] {a|a≤}
[解析] 当a＝0时，A＝{－2}符合题意；
当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上可知，a的取值范围是{a|a≤}．
三、解答题
13．用列举法表示下列集合．
(1)平方等于16的实数全体；
(2)比2大3的实数全体；
(3)方程x2＝4的解集；
(4)大于0小于5的整数的全体．
[答案] (1){－4,4} (2){5} (3){－2,2} (4){1,2,3,4}．
14．用描述法表示下列集合：
(1){1,3,5,7,9}；
(2){3,9,27,81，…}；
(3)；
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
[解析] (1){x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}．
(2){x|x＝3n，n∈N*}．
(3){x|x＝，n∈N*}．
(4){x|x＝5n＋2，n∈Z}．
15．集合A＝{x|}可化简为________．
以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由．
学生甲：由，得x＝0或x＝1，故A＝{0,1}；
学生乙：问题转化为求直线y＝x与抛物线y＝x2的交点，得到A＝{(0,0)，(1,1)}．
[解析] 同学甲正确，同学乙错误．由于集合A的代表元素为x，因此满足条件的元素只能为x＝0,1；而不是实数对，；故同学甲正确．
【点评】 学习描述法时首先要看代表元素是数还是数对．
16．集合M中的元素为自然数，且满足：如果x∈M，则8－x∈M，试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
[分析] 抓住“x∈M时，8－x∈M”这一条件，对元素进行逐一验证，然后找出满足题意的基本元素，最后写出满足各题意的解．
[解析] (1)M中只有一个元素，
根据已知必须满足x＝8－x，∴x＝4.
故含有一个元素的集合M＝{4}．
(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而含两个元素的集合M应为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)满足条件的M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：
①由以上1个集合组成的有{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}共5种．
②由2个集合组成的有{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}共10种．
③由3个集合组成的有{4,0,8,1,7}，{4,0,8,2,6}，{4,0,8,3,5}，{4,1,7,2,6}，{4,1,7,3,5}，{4,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6}，{0,8,1,7,3,5}，{1,7,2,6,3,5}，{0,8,2,6,3,5}共10种．
④由4个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6}，{4,0,8,1,7,3,5}，{4,0,8,2,6,3,5}，{4,1,7,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6,3,5}共5种．
⑤由5个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},1种．
综上可知，满足题设条件的集合M共有31种．
规律总结：解决本题可从集合中元素的互异性及两元素之和为8的特点出发，在第(3)问中，从M中元素的特点入手，满足条件的集合可含{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的1个，2个，3个，4个，5个，分别“数”之，最后求和．
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一、选择题
1．(2012～2013安阳一中奥赛班)下列图形中表示函数图象正确的是( )
[答案] C
[解析] 垂直于x轴的直线与图象最多只有一个交点，故选C.
2．(2012～2013曲阜二中月考试题)函数y＝定义域为( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
C．(－∞，－∩(－，1)
D．(－∞，－)∪(－，1]
[答案] D
[解析] 函数y＝有意义满足
即∴x≤1且x≠－故选D.
3．给出下列从A到B的对应：
①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2
③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，}，对应关系是f：x→y＝
其中表示从集合A到集合B的函数有( )个．( )
A．1 B．2 C．3 D．0
[答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.
4．下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝x＋1
B．f(x)＝与g(x)＝x·
C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝
D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝
[答案] D
[解析] 对于A：f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g(x)的定义域是R，定义域不同，故不是相等函数；
对于B：f(x)＝|x|·与g(x)的对应关系不同，故不是相等函数；
对于C：f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，故不是相等函数；
对于D：f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相等函数，故选D.
5．有下列等式：
①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4.
其中，能表示y是x的函数的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
[答案] A
[解析] ①可化为y＝x－1，表示y是x的一次函数；
②可化为y＝x2－，表示y是x的二次函数；
③当x＝5时，y＝2，或y＝－2，不符合函数的唯一性，故y不是x的函数；
④当x＝2时，y＝±2，故y不是x的函数．故选A.
6．(2012～2013惠安中学月考试题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
[答案] B
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
7．(2012～2013曲阜一中高一期末检测题)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有( )
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
[答案] C
[解析] 当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
8．已知f(x)＝，则f(2)－f()＝( )
A．1 B.
C. D．－
[答案] C
[解析] f(2)＝＝，f()＝＝，
∴f(2)－f()＝－＝，故选C.
二、填空题
9．(2012·全国高考数学广东卷)函数y＝的定义域为________．
[答案] [－1,0)∪(0，＋∞)
[解析] y＝中的x满足： －1≤x<0或x>0.
10．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．
[答案] {－1，－2,2}
11．(2012～2013安徽铜陵县一中高一期中)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f等于________．
[答案] 15
[解析] 令g(x)＝1－2x＝得，x＝，
∴f＝f＝＝15.
12．下列说法正确的是________．
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；
④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．
[答案] ①③⑤
[解析] ①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．
②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集．如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．
③是正确的；根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．
④是错误的．当x不同时，函数值y的值可能相同．如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.
⑤是正确的．f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．
三、解答题
13．求下列函数的定义域，并用区间表示
(1)y＝－；
(2)y＝.
[分析]
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
规律总结：定义域的求法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
14．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
[解析] (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f()＝＋＝＋＝＋.
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
15．已知f(x)＝，
(1)求f(x)＋f()的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＋f(1)＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)f(x)＋f()＝＋＝＝1.
(2)由(1)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＋f(1)＋f()＋…＋f()＝7.
16．(1)已知f(x)＝2x－3，x∈{0,1,2,3}，求f(x)的值域．
(2)已知f(x)＝3x＋4的值域为{y|－2≤y≤4}，求此函数的定义域．
[解析] (1)当x分别取0,1,2,3时，y值依次为－3，－1,1,3，
∴f(x)的值域为{－3，－1,1,3}．
(2)∵－2≤y≤4，∴－2≤3x＋4≤4，
即，∴，
∴－2≤x≤0，即函数的定义域为{x|－2≤x≤0}．
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一、选择题
1．(2012～2013学年度山东临沂一中高一月考试题)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，M＝{0,1,2}，N＝{2,3}则( UM)∩N＝( )
A．{2} B．{3}
C．{2,3,4} D．{0,1,2,3,4}
[答案] B
[解析] UM＝{3,4}，( UM)∩N＝{3}，故选B.
2．(2012辽宁文科2题)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则( UA)∩( UB)＝( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
[答案] A
[解析] UA＝{2,4,6,7,9}， UB＝{0,1,3,7,9}，( UA)∩( UB)＝{7,9}故选B.
3．(2011·浙江理)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩ UB＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
[答案] B
[解析] ∵B＝{x|x>1}，∴ UB＝{x|x≤1}，
∴A∩ UB＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0故选B.
4．如图，阴影部分用集合A、B、U表示为( )
A．( UA)∩B B．( UA)∪( UB)
C．A∩( UB) D．A∪( UB)
[答案] C
[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在 UB中，因此是A与 UB的公共部分．
5．设全集U，M、N是U的非空子集，且 UM N，则有( )
A．M UN B．M? UN
C． UM＝ UN D．M＝N
[答案] A
[解析] 如下图，否定C、D.
当 UM＝N时，M＝ UN否定B，故选A.
6．设全集为R，A＝{x|－5A．{x|0≤x<5} B．{x|x≤－5或x≥5}
C．{x|x≤－5或x≥7} D．{x|x<0或x≥5}
[答案] D
[解析] RA＝{x|x≥5或x≤－5}， RB＝{x|x<0或x≥7}，( RA)∪( RB)＝{x|x<0或x≥5}，故选D.
7．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩( UB)等于( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}
[答案] D
[解析] UB＝{x|－1≤x≤4}，A∩ UB＝{x|－1≤x≤3}，故选D.
8．(2011·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
[答案] D
[解析] 由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则 UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.
二、填空题
9．设全集U＝R，集合X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}，则 UX与 UY的包含关系是 UX________ UY.
[答案] ?
10．设U＝R，则A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x<3或x>4}，则a＝________，b＝________.
[答案] 3 4
11．已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则 U(A∩B)＝________，( UA)∪( UB)＝________， U(A∪B)＝________.
[答案] U，U，{x|x是直角}
12．如果U＝{x|x是自然数}，A＝{x|x是正奇数}，B＝{x|x是5的倍数}，则B∩ UA＝________.
[答案] {x∈N|x是10的倍数}
[解析] UA＝{x|x是非负偶数}＝{0,2,4,6,8,10，…}，B＝{0,5,10,15，…}，
B∩ UA＝{0,10,20，…}．
三、解答题
13．设全集S表示某班全体学生的集合，若A＝{男生}，B＝{团员}，C＝{近视眼的学生}，说明下列集合的含义．
(1)A∩B∩C；
(2)C∩[ S(A∪B)]．
[解析] (1)A∩B∩C＝{是团员又是近视眼的男生}．
(2)A∪B＝{男生或是团员的学生}，
S(A∪B)＝{不是团员的女生}，
C∩[ S(A∪B)]＝{不是团员但是近视眼的女生}．
14．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}， UA＝{5}，求a的值．
[解析] 解法1：由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10，
当a＝4时，a2－2a－3＝5，当a＝10时，a2－2a－3＝77 U，∴a＝4.
解法2：由A∪ UA＝U知，∴a＝4.
15．(2012～2013唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≥－4}，集合A＝{x|－1[分析] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出 UA及 UB，然后求解．
[解析] 如图所示，
∵A＝{x|－13}， UB＝{x|－4≤x<0或x≥5}，∴A∩B＝{x|0≤x≤3}，( UA)∪B＝{x|－4≤x≤－1或x≥0}，A∩( UB)＝{x|－1[规律总结] (1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
16．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[分析] 本题从条件B RA分析可先求出 RA，再结合B RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．
[解析] 由题意得 RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝ ，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B RA.
(2)若B≠ ，则由B RA，得2a≥－1且2a即－≤a<3.
综上可得a≥－.
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一、选择题
1．下列所给的四个图象中，可以作为函数y＝f(x)的图象的有( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)
C．(1)(3)(4) D．(3)(4)
[答案] D
[解析] 利用函数定义判断．
2．(2012～2013河北正定中学高一月考试题)设集合A、B都是自然数集N，映射f：A→B是把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在f映射下，B中元素20在A中的对应的元素是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析] 当n＝2时对应B中22＋2＝6，
当n＝3时对应B中23＋3＝11，
当n＝5时对应B中25＋5＝37，
故选C.
3．(2012～2013河北衡水中学高一月考试题)函数y＝＋定义域为( )
A．(－，)
B．[－，]
C．(－∞，]∪[，＋∞)
D．(－，0)∪(0，＋∞)
[答案] B
[解析] 函数有意义应满足，
∴－≤x≤，故选B.
4．从甲城市到乙城市的电话费由函数g(t)＝1.06(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5 min的电话费为( )
A．5.04元 B．5.56元
C．5.83元 D．5.38元
[答案] C
[解析] [5.5]＝6，∴g(5.5)＝1.06(0.75×6＋1)＝5.83(元)．
5．(2012～2013山东潍坊一中月考题)图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1| (0≤x≤2)
B．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
C．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1| (0≤x≤2)
[答案] B
[解析] 0≤x≤1，y＝x,16．设a，b为实数，集合M＝{－1，，1}，N＝{a，b，b－a}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．＋1
[答案] D
[解析] 由题知，b＝0，a＝±1，则a＋b＝±1.
7．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
[答案] A
[解析] 开始加速时路程增加快图象向上弯曲，匀速行驶时路程增加相同，图形呈直线型，减速行驶时，路程增加慢，向下弯曲．
8．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图，则不等式≥0的解集是( )
A．(－1,1]∪(2,3]
B．(－1,1)∪(2,3)
C．(2,3]∪(4，＋∞)
D．(－1,1]∪(2,3]∪(4，＋∞)
[答案] D
[解析] 由y＝f(x)图象知x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时f(x)>0，x∈(1,3)时f(x)<0；由y＝g(x)图象知x∈(－∞，－1)∪(2,4)时，g(x)<0，x∈(－1,2)∪(4，＋∞)时，g(x)>0.故x∈(－1,1]时f(x)≥0，且g(x)>0，x∈(4，＋∞)时f(x)>0，g(x)>0，x∈(2,3]时f(x)≤0且g(x)<0，因此不等式≥0的解集为(－1，1]∪(2,3]∪(4，＋∞)．
二、填空题
9．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
[答案]
[解析] 依题意得，当x≤1时，3x＋1＝2，∴x＝，
当x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)，故x＝.
10．定义运算a*b＝则对x∈R，函数f(x)＝1] .
[答案]
11．设函数f(n)＝k(其中n∈N*)k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则{f…f[f(10)]}＝________.
[答案] 1
[解析] f(10)＝5，f[f(10)]＝f(5)＝9，f(9)＝3，f(3)＝1，f(1)＝1，…，原式的值为1.
12．(2012～2013重庆市风鸣山中学月考试题)若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f[f(x)]＝4x＋1则f(3)＝________
[答案]
[解析] f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b，∴，又a＞0，
∴∴f(x)＝2x＋，
∴f(3)＝2×3＋＝.
三、解答题
13．(2012～2013山东冠县武训中学月考试题)已知a、b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根，求f(x)的解析式．
[解析] 由f(2)＝0得：4a＋2b＝0，即2a＋b＝0，
对f(x)＝x有两个相等实根即Δ＝0，
(b－1)2＝0，∴b＝1，∴a＝－，
∴f(x)＝－x2＋x.
14．A、B两地相距150 km，某汽车以50 km/h的速度从A地到B地，在B地停留2 h之后，又以60 km/h的速度返回A地，写出该汽车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式，并画出图象．
[解析] 由50t1＝150得t1＝3，由60t2＝150得t2＝.
∴当0≤t≤3时，s＝50t，当3当5故函数关系式为s＝
图象如图所示：
15．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系.
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
(1)在所给的坐标系中，如图，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解析]
(1)由表作出点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)．如图，它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150，(x∈N)．
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．
∴所求函数解析式为y＝－3x＋150，(x∈N)；
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润．
16．(教材改编题)《国务院关于修改〈中华人民共和国个人所得税法实施条例〉的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税税率表如下：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元的部分 5%
2 超过500至2 000元的部分 10%
3 超过2 000元至5 000无的部分 15%
… … …
9 超过100 000元的部分 45%
注：本表所示全月应纳税所得额为每月收入额减去2 000元后的余额．
(1)若某人2008年4月份的收入额为4 200元，求该人本月应纳税所得额和应纳的税费；
(2)设个人的月收入额为x元，应纳的税费为y元．当0[解析] (1)本月应纳税所得额为4 200－2 000＝2 200元；应纳税费由表格得500×5%＋1 500×10%＋200×15%＝205元．
(2)y＝
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一、选择题
1．若函数f(x)＝|x|，则( )
A．f(x)的最大值为0，无最小值
B．f(x)无最大值，最小值为0
C．f(x)的最大值为＋∞，最小值为0
D．f(x)的最大值为0，最小值为－∞
[答案] B
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
[答案] A
3．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )
A．3,0 B．3,1
C．3，无最小值 D．3，－2
[答案] C
4．(2012～2013石家庄高一检测)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[答案] C
[解析] 当a＝0时，不满足题意；当a>0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，∴2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，∴a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝±2.
5．若f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10、6 B．10、8
C．8、6 D．8、8
[答案] A
[解析] f(x)＝2x＋6，x∈[1,2]最大值为10，最小值为8，f(x)＝x＋7，x∈[－1,1)最大值为8，最小值6.因此f(x)＝最大值为10，最小值为6，故选A.
6．函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1,4]，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．3 D．－2
[答案] C
[解析] f(x)＝x2－4x＋3的对称轴为x＝2，所以最大值为f(4)＝42－4×4＋3＝3.
7．函数f(x)＝＋x的值域是( )
A．[，＋∞) B．(－∞，]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵y＝和y＝x在[，＋∞)上都是增函数，∴f(x)在[，＋∞)上是单调增函数．
∴f(x)≥f(x)min＝f()＝.
8．若0A．－2 B.
C．2 D．0
[答案] B
[解析] y＝－t在(0，]上为减函数，当t＝时y有最小值，故选B.
二、填空题
9．函数f(x)＝，则f(x)的最大值及最小值分别是________．
[答案] 2,0
[解析] f(x)＝－x2－2x的对称轴x＝－1，∴f(x)在[－2,0]上最大值为f(0)＝f(－2)＝0，最小值f(－1)＝1；f(x)＝x在(0,2]上的最大值为2，所以f(x)max＝2，f(x)min＝0.
10．函数y＝的最大值为________．
[答案] 8
[解析] y＝的最大值即t＝x2＋x＋1的最小值，tmin＝＝，ymax＝6×＝8.
11．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围是________．
[答案] a≤－4
[解析] 对称轴方程为x＝1－a，∵f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
12．给出一个函数y＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质，甲：对于x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)；乙：在(－∞，0]上函数递减；丙：在(0，＋∞)上函数递增；丁：f(0)不是函数的最小值，如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数________．
[答案] f(x)＝(x－1)2
[解析] 给出的函数为f(x)＝(x－1)2，有甲、乙、丁三人说的正确．
三、解答题
13．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值．
[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．
①∵f(x)＝－x2＋|x|＝
即f(x)＝
作出其在[－1,2]上的图象如图所示
由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞)．
②由图象知：当x＝－或时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2.
14．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x∈[－5,5]，∴f(x)min＝f(1)＝1；
f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)∵f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
∴函数的对称轴为直线x＝－a.
∵函数f(x)在[－5,5]上是单调的，
∴－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
∴实数a的取值范围是{a|a≥5或a≤－5}．
15．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))．
(1)证明函数f(x)为增函数．
(2)求f(x)的最小值．
[解析] 将函数式化为：f(x)＝x＋＋2.
(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)．
∵x1＜x2， ∴x1－x2＜0，
又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
(2)当x＝2时，f(x)有最小值.
16．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式．
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本价)
[分析] 本题属于函数建模应用题，解决此类问题的关键在于读懂题，恰当设出未知量，列出函数关系．
[解析] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格为51元．
(2)当0当100P＝60－0.02(x－100)＝62－.
当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝
当x＝500时，L＝6 000；
当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．
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一、选择题
1．若函数f(x)＝x(x∈R)，则函数y＝－f(x)在其定义域内是( )
A．单调递增的偶函数 B．单调递增的奇函数
C．单调递减的偶函数 D．单调递减的奇函数
[答案] D
2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x2－
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3
[答案] D
[解析] ∵对于A，f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)上的表达式为( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
[答案] D
[解析] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝x2＋2x.又f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝
∴f(x)＝x(|x|－2)．故选D.
4．(2012～2013泉州高一检测)f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)f(0)
[答案] C
5．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)A．(－∞，) B．[，)
C．(，) D．[，＋∞)
[答案] A
[解析] 由图象得2x－1<，∴x<，选A.
6.已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为( )
A．－5 B．－1
C．－3 D．5
[答案] B
[解析] 解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，
则F(x)为奇函数．
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，
∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)≤3 －F(x)≤3
F(x)≥－3.
∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.
7．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则( )
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
[答案] D
[解析] 设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.
∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f(x)＞1，
∴f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在R上是增函数．
∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.
8．(胶州三中2012～2013高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
二、填空题
9．(2012～2013大连高一检测)函数f(x)＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m＝________.
[答案] －8
10．(上海大学附中2012～2013高一期末考试)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[答案] －1
[解析] f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数
g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
11．(2012～2013山东冠县武训中学月考试题)对于函数f(x)，定义域为D＝[－2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)则y＝f(x)在D上为偶函数
②若f(－1)＜f(0)＜f(1)＜f(2)，则y＝f(x)在D上为增函数
③若对于x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)在D上是奇函数
④若函数y＝f(x)在D上具有单调性且f(0)＞f(1)则y＝f(x)在D上是递减函数
[答案] ③④
[解析] 虽然①②不正确，③④正确．
12．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．
[答案] f(x1)>f(x2)
[解析] ∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
三、解答题
13．设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－1∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0.
14．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
[分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1∵x1－x2<0，x1x2>4，
∴只需使a又∵x1＋x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16，
故a的取值范围是(－∞，16]．
15．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
16．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．
[解析] (1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()．
由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得
f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)＋f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤
又，∴2∴x的取值范围是(2，]．
规律总结：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f()＝－f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．
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一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1、x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)[答案] D
2．给出下列命题：①y＝在定义域内是减函数；
②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上是增函数；
④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] D
[解析] ①y＝在定义域内不具有单调性；②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上先减后增；④当k＝0时，y＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．
3．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则( )
A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＜f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
[答案] B
[解析] 由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.
4．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案] D
[解析] 函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．
如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
5．已知函数y＝f(x)的定义域是数集A，若对于任意a，b∈A，当aA．有且只有一个
B．一个都没有
C．至多有一个
D．可能会有两个或两个以上
[答案] C
[解析] 由条件知f(x)在A上单调增，故f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故选C.
6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)在R上是增函数
D．函数f(x)在R上是减函数
[答案] C
[解析] 由＞0，得或
∴当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，
∴f(x)在R上单调递增，故选C.
7．(2012～2013黄中月考题)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[答案] C
[解析] 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C.
8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)C．f(2)[答案] B
[解析] 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)二、填空题
9．若f(x)＝，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
[答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1]
[解析] 画出f(x)＝的图象如图，可知f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.
10．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝________.
[答案] 21
[解析] 由已知得－＝－2，解得m＝－16
∴f(x)＝4x2＋16x＋1，则f(1)＝21.
11．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为________．
[答案] f(a2－a＋1)≤f()
[解析] ∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥>0，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f()．
12．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________．
[答案] ①②④
三、解答题
13．如图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调增区间．
[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．
[解析] 由题意，确定函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．
由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y＝f(x)是单调递增的．
由图(2)可知，在(－，0)和(，)内，y＝g(x)是单调递增的．
14．求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．
[证明] 设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1因为x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．
15．设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性
(1)y＝f(x)＋a；
(2)y＝a－f(x)；
(3)y＝[f(x)]2.
[解析] (1)y＝f(x)＋a是减函数，(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略．
(3)设x2＞x1，f 2(x2)－f 2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0，∴y＝f 2(x)是减函数．
16．求下列函数的单调区间．
(1)y＝|x2－x－6|；(2)y＝－x2＋3|x|＋1.
[分析] →→→
[解析] (1)函数解析式变形为
y＝
画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[，3]．
(2)y＝，
即y＝，
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－]，[0，]，单调减区间为[－，0]，[，＋∞)．
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一、选择题
1．(2012～2013邢台一中月考试题)给出命题：①邢台一中高一年级全体好学生构成一个集合．②{a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个相同的集合．③A＝{1,2,3} B＝{3,4}则A∪B＝{1,2,3,3,4}．④0∈ .其中正确命题的个数为( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
[答案] C
[解析] 对于①由于好没有明确标准数不能形成集合，对于②正确．对于③A∪B中元素应具有互异性即A∪B＝{1,2,3,4}．对于④， 没有元素，因此选C.
2．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.
3．(2012～2013学年浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
[答案] D
[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.
4．(2012～2013河北省邢台一中月考试题)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}则M∪N＝( )
A．{x|－3＜x＜5} B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|x＜－5或x＞－3} D．{x|x＜－3或x＞5}
[答案] C
[解析] 在数轴上表示集合M、N
则A∪B＝{x|x＜－5或x＞－3}}，故选C.
5．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞－2
C．a＞－1 D．－1＜a≤2
[答案] A
[解析] 由A∩B≠ 知a<2，故选A.
6．(2012－2013·南安高一检测)方程x2－px＋6＝0的解集为M，方程x2＋6x－q＝0的解集为N，且M∩N＝{2}，那么p＋q等于( )
A．21 B．8
C．6 D．7
[答案] A
[解析] 将x＝2分别代入两个方程求得p＝5，q＝16，∴p＋q＝21，故选A.
7．(2012～2013学年度河北衡水中学高一年级质量调研)已知M＝{x|y＝x2＋1}，N＝{y|y＝x2＋1}，则M∩N＝( )
A． B．M
C．N D．R
[答案] C
[解析] ∵M＝{x|y＝x2＋1}＝{x|x∈R}，
N＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，
∴M∩N＝{y≥1}＝N.故选C.
[点评] 对于描述法表示的集合一定要注意代元素，集合M是x的取值集合而N是y的取法集合．
8．当x∈A时，若x－1 A，且x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝( )
A．{0,1,3,4} B．{1,4}
C．{1,3} D．{0,3}
[答案] D
[解析] 由条件及孤星集的定义知，M′＝{3}，N′＝{0}，则M′∪N′＝{0,3}．
二、填空题
9．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
[答案] 0,1或－2
[解析] 由已知得B A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.
10．已知A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
[答案] {x|x是斜三角形}
11．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<0或x≥2}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
[答案] {x|2≤x≤3} {x|x<0或x≥1}
12．(胶州三中2012～2013高一期末)设A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，则p＝______；q＝______；r＝______.
[答案] 8 －5 6
[分析] 抓住集合中元素的特征性质，A、B都是一元二次方程的解集．从A∩B入手知3是两个方程的公共根，可确定A中方程的系数p进而得A，也就弄清了B中的元素获解．
[解析] ∵A∩B＝{3}，∴3∈A,3∈B，
∴，由(1)得p＝8 ，
∴A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}
又A∪B＝{2,3,5}，∴2∈B，∴4＋2q＋r＝0 (3)
由(2)(3)得q＝－5，r＝6.经检验符合题意．
三、解答题
13．已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B.
[解题提示] 欲求A∪B，只需将A，B用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得A∪B.
[解析] A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＜a－3}．
当a－3≤5，即a≤8时，如图1所示．
A∪B＝{x|x＜a－3, 或x＞5}．
当a－3＞5，即a＞8时，如图2，A∪B＝{x|x∈R}．
[注意] 用数轴表示不等式解集时，若不等式解集端点含有参数，需根据端点大小进行讨论．
14．已知A＝{1，x，－1}，B＝{－1,1－x}．
(1)若A∩B＝{1，－1}，求x；
(2)若A∪B＝{1，－1，}，求A∩B；
(3)若B A，求A∪B.
[解析] (1)由条件知1∈B，∴1－x＝1，
∴x＝0.
(2)由条件知x＝，
∴A＝{1，，－1}，B＝{－1，}，
∴A∩B＝{－1，}．
(3)∵B A，∴1－x＝1或1－x＝x，
∴x＝0或，当x＝0时，A∪B＝{1,0，－1}，
当x＝时，A∪B＝{1，，－1}．
15．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，a的取值范围又如何？
[解析] (1)由A∩B＝ ，用数轴表示A，B如下图，
则，解得－1≤a≤2.
∴－1≤a≤2
(2)∵A∪B＝B，∴A B，∴a＋3<－1，或a>5，∴a＞5或a＜－4.
16．(2012－2013学年望江中学高一期中)已知集合A＝{x|3x－7>0}，B＝{x|x是不大于8的自然数}，C＝{x|x≤a，a为常数}，D＝{x|x≥a，a为常数}．
(1)求A∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值集合；
(3)若A∩C＝{x|(4)若A∪D＝{x|x≥－2}，求a的取值集合；
(5)若B∩C＝ ，求a的取值集合；
(6)若B∩D中含有元素2，求a的取值集合．
[解析] A＝{x|x>}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}．
(1)A∩B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)∵A∩C≠ ，∴a>，
∴a的取值集合为.
(3)由条件知，A∩C不是空集，
∴A∩C＝{x|又A∩C＝{x|∴a＝3，∴a的取值集合为{3}．
(4)∵A∪D＝{x|x≥－2}，∴A∪D＝D，
∴a＝－2，即a的取值集合为{－2}．
(5)∵B∩C＝ ，∴a<0，
∴a的取值集合为{a|a<0}．
(6)∵2∈B∩D，∴2∈D，∴a≤2，
∴a的取值集合为{a|a≤2}．
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一、选择题
1．对于集合A，B，“A B”不成立的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
[答案] C
[解析] “A B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.
2．若集合M＝{x|x＜6}，a＝，则下列结论正确的是( )
A．{a}?M B．a?M
C．{a}∈M D．a M
[答案] A
[解析] ∵a＝＜＝6，
即a＜6，∴a∈{x|x＜6}，
∴a∈M，∴{a}?M.
[点拨] 描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A＝{x|x＞1}＝B{y|y＞1}，但是集合M＝{x|y＝x2＋1，x∈R}和N＝{y|y＝x2＋1，x∈R}的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．
3．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
[答案] B
[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}，P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，则( )
A．P?M B．M?P
C．M＝P D．M?P
[答案] C
[解析] 本题考查两集合之间的关系，由得x＜0，y＜0，这与集合P中的元素(x，y)限定的条件相同，故M＝P.
5．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A，B间的关系为( )
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．以上都不对
[答案] A
[解析] A、B中的元素显然都是奇数，A、B都是有所有等数构成的集合．故A＝B.选A.
[探究] 若在此题的基础上演变为k∈N.又如何呢？答案选B你知道吗？
6．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
[答案] D
[解析] 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M，且S?M.故选D.
7．已知集合M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}，则集合M的真子集的个数是( )
A．4 B．6
C．7 D．8
[答案] C
[解析] 因为M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}＝{(1,2)，(2,1)，(1,1)}，所以M的真子集有23－1＝7(个)．
8．(2012－2013瓮安一中高一期末试题)设P，Q是两个非空集合，定义P×Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{3,4,5}．Q＝{4,5,6,7}，则P×Q中元素的个数是( )
A．3 B．4
C．7 D．12
[答案] D
[解析] 根据定义，集合P×Q是一个由有序数对(a，b)组成的集合，所以分别为(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，共12个．
二、填空题
9．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．
[答案] A?D?B?C?E
[解析] 由各种图形的定义可得．
10．用适当的符号填空．(∈， ， ， ，?，?，＝)
a________{b，a}；a________{(a，b)}；
{a，b，c}________{a，b}；{2,4}________{2,3,4}；
________{a}．
[答案] ∈， ，?，?，?
11．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B中最大的元素是________，集合A*B所有子集的个数是________．
[答案] 5,16
[解析] 由已知A*B＝{2,3,4,5}，∴A*B中最大元素是5.∵A*B中共有4个元素，∴其子集共有24＝16.
12．已知集合A＝{x|x＝＋，k∈Z}，B＝{x|x＝＋，k∈Z}，则集合A、B满足的关系是________(用 ，?，＝，?连接A、B的关系)．
[答案] A?B
[解析] 解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得
A＝{…－，－，，，…}，
B＝{…0，，，，1…}，
∴A?B.
解法2：集合A的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，集合B的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴A?B.
[规律总结] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．
三、解答题
13．判断下列表示是否正确：
(1)a {a}；
(2){a}∈{a，b}；
(3) ?{－1,1}；
(4){0,1}＝{(0,1)}；
(5){x|x＝3n，n∈Z}＝{x|x＝6n，n∈Z}．
[解析] (1)错误．a是集合{a}的元素，应表示为a∈{a}．
(2)错误．集合{a}与{a，b}之间的关系应用“?( )”表示．
(3)正确．空集是任何一个非空集合的真子集．
(4)错误．{0,1}是一个数集，含有两个元素0,1，{(0,1)}是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以{0,1}≠{(0,1)}．
(5)错误．集合{x|x＝3n，n∈Z}中的元素表示所有能被3整除的数，或者说是3的倍数，而{x|x＝6n，n∈Z}中的元素表示所有能被6整除的数，即是6的倍数，因此应有{x|x＝6n，n∈Z}?{x|x＝3n，n∈Z}．
14．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[解析] ∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，且B?A.
∴(1)当B＝ 时，方程mx＋1＝0无解，故m＝0；
(2)当B≠ 时，则B＝{－}．
若－＝－3，则m＝；
若－＝2，则m＝－.
综上知，m的值为0，－，.
15．已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B A时，求实数a的取值范围．
[解析] ∵A＝{x|x<－1或x>2}，
B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－}，
∵A B，∴－≤－1，即a≥4，
所以a的取值范围是a≥4.
16．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝ ，满足B A.
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B A成立，
只需即2≤m≤3.
综上，当B A时，m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴集合A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，
∴当B＝ ，即m＋1>2m－1，得m<2时，符合题意；
当B≠ ，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，
或解得m>4.
综上，所求m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
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