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一、选择题
1．若log2x＝3，则x的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
[答案] C
2．log(－)(＋)＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[答案] B
3．(2010·浙江，文科)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
4．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( )
A．y＝－log (－x) B．y＝2＋
C．y＝x2－1 D．y＝－(x＋1)2
[答案] B
[解析] y＝－log (－x)＝log2(－x)在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.
5．(2010·山东文，3)函数f(x)＝log2(1－3x)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．[－∞，0)
[答案] C
[解析] 3x>0 0<1－3x<1 log2(3x＋1)
6．(2012～2013山东梁山一中期中试题)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.32则a、b、c三者之间的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
[答案] C
[解析] a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1，
c＝0.32＜0.30＝1，又0.32＞0，
∴b＞c＞a，故选C.
7．(2012～2013衡水二中月考试题)若f(x)＝|lgx|,0＜a＜b且f(a)＞f(b)则下列结论正确的是( )
A．ab＞1 B．ab＜1
C．ab＝1 D．(a－1)(b－1)＞0
[答案] B
[解析] 由y＝|lgx|图象可知，a＜1＜b，否定D.
∵f(a)＞f(b)，∴|lga|＞|lgb|即－lga＞lgb
∴lga＋lgb＜0，∴lg(ab)＜0，∴0＜ab＜1.故选B.
8．已知函数f(x)＝log (3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．－8≤a≤－6 B．－8C．－8[答案] C
[解析]
－8[点评] 不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用．
二、填空题
9．(2012·全国高考数学江苏卷)函数f(x)＝的定义域为________．
[答案] (0，]
[解析] 由题意，所以x∈(0，]．
10．y＝logax的图象与y＝logbx的图象关于x轴对称，则a与b满足的关系式为________．
[答案] ab＝1
11．若a＝log3π、b＝log76、c＝log20.8，则a、b、c按从小到大顺序用“<”连接起来为________．
[答案] c[解析] a＝log3π>log33＝1，b＝log76log76>log71＝0，c＝log20.8∴c12．已知loga<1，那么a的取值范围是__________．
[答案] 01
[解析] 当a>1时，loga<0成立，
当0a>0.
三、解答题
13．计算下列各式的值．
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋lg22；
[解析] (1)原式＝log2(×12×)
＝log2()＝log22－＝－.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋lg22
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5)
＝2＋lg5＋lg2＝3.
14．讨论函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)的奇偶性与单调性．
[分析] 按照奇偶性与单调性的定义进行讨论，注意要先求函数的定义域．
[解析] 由题意，得
解得－1∴f(x)的定义域为(－1,1)．
又∵f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝lg[(1－x)(1－x)]
＝lg(1－x2)．
设x1，x2∈(－1,0)且x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，
∴(1－x)－(1－x)＝(x2－x1)(x1＋x2)<0，
即1－x<1－x，
∴lg(1－x)即f(x1)∴f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)在(－1,0)内单调递增．
又∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)在(0,1)内单调递减．
[点评] 判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断．
15．(2012～2013山东淄博一中期中试题)已知f(x)＝loga(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断y＝f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析] (1)依题意有>0，即(1＋x)(1－x)>0，所以－1所以函数的定义域为(－1,1)．
(2)f(x)为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，
因此y＝f(x)为奇函数．
(3)由f(x)>0得，loga>0(a>0，a≠1)，①
当0解得－1当a>1时，由①知>1，③
解此不等式得016．已知函数y＝log (－x2＋ax＋3)在区间(－3，－2]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解析] 令t＝－x2＋ax＋3，则y＝logt.
∵y＝logt是减函数，
∴要使题设函数在区间(－3，－2]上单调递减，只要t＝－x2＋ax＋3在区间(－3，－2]上单调递增，
好≥－2.①
又单调区间必须使函数有意义，
∴－x2＋ax＋3>0在(－3，－2]上恒成立．
又t＝－x2＋ax＋3在(－3，－2]上单调递增，
∴－(－3)2＋a(－3)＋3≥0.②
由①②可得，－4≤a≤－2即为所求．
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一、选择题
1．下列语句正确的是( )
①对数式logaN＝b与指数式ab＝N是同一关系的两种不同表示方法．
②若ab＝N(a>0且a≠1，N>0)，则alogaN＝N一定成立．
③对数的底数可以为任意正实数．
④logaab＝b对一切a>0且a≠1恒成立．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] B
2．(2012～2013海口高一检测)设a>0，a≠1，x∈R，下列结论错误的是( )
A．loga1＝0 B．logax2＝2logax
C．logaax＝x D．logaa＝1
[答案] B
3．把logxy2＝y表示成指数式为( )
A．yx＝y2 B．xy＝y2
C．y2x＝y D．x2y＝y
[答案] B
4．已知logx16＝2，则x＝( )
A．±4 B．4
C．256 D．2
[答案] B
5．使log(x＋1)(2－x)有意义的x的取值范围是( )
A．x>－1 B．x<2
C．－1[答案] D
6．若x＝log16，则x＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
[答案] A
7．已知log2x＝3，则x＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] x＝23，∴x＝＝＝＝，故选D.
8．方程2log3x＝4的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
[答案] D
二、填空题
9．以下四个变换：①32＝9，则log39＝2；②27＝，则log27＝－；③(－2)5＝－32，则log(－2)(－32)＝－5；④100＝1，则lg1＝0.其中正确的________．
[答案] ①④
10．若logx(＋1)＝－1，则x＝________.
[答案] －1
11．若log2[log3(log5x)]＝0，则x＝________；
[答案] 125
[解析] log2[log3(log5x)]＝0，∴log3(log5x)＝20＝1
∴log5x＝31＝3 ∴x＝53＝125.
12．(2012～2013河北孟村回民中学高一月考试题)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
[答案] 12
[解析] am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
三、解答题
13．将下列对(或指)数式化成指(或对)数式：
(1)logx＝3； (2)logx64＝－6；
(3)3－2＝； (4)()x＝16.
[解题提示] 利用ax＝N x＝logaN.
[解析] (1)()3＝x；(2)x－6＝64；(3)log3＝－2；(4)log16＝x.
[点评] 解答本题需要搞清指数式、对数式二者的对应关系具体地；底数—底数，幂—真数，指数—对数．
14．求下列各式的值．
①log31； ②log；
③lg100; ④lg0.001
⑤lg； ⑥log100
⑦ln； ⑧log3
⑨log4; ⑩lg0.12
lg； ln.
log22; log9.
[解析] ①0 ②1 ③2 ④－3 ⑤－4
⑥－2 ⑦ ⑧－3 ⑨－2 －2 －1
－4 －2
15．求下列各式中的x的取值范围．
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(1－2x)(3x＋2)；
(3)log(x＋1)(x－1)2.
[点拨] 在logaN＝x中，必须满足a＞0，a≠1，N＞0.由此可以列出不等式组，求出字母的取值范围．
[解析] (1)令
故x的取值范围是x＞1且x≠2.
(2)令
故x的取值范围是－＜x＜且x≠0.
(3)令
故x的取值范围是x＞－1且x≠0，x≠1.
16．求下列各式中的x：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27；(6)x＝log16.
[答案] (1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝9.
(2)由log2x＝－，得x＝2＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
∴x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2.
(5)由log27＝x，得27x＝，33x＝3－2，∴3x＝－2，∴x＝－.
(6)由log16＝x，得()x＝16，即2－x＝24，
∴x＝－4.
[点评] 求未知数x时可以先将对数式转化为指数式，然后再求值．
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一、选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝log3(x＋1)
B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且a≠1)
D．y＝lnx
[答案] D
2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是( )
A．5
B.
C.
D.
[答案] A
3．函数f(x)＝logax(0A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
[答案] B
4．(2012～2013重庆市风鸣山中学期中试题)函数f(x)＝＋定义域为( )
A．(0,2] B．(0,2)
C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]
[答案] C
[解析] 使f(x)＝＋有意义满足
∴0＜x≤2且x≠1，故选C.
5．(2012·全国高考数学文科试题安徽卷)设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．[1,2) D．(1,2]
[答案] D
[解析] A＝{x|－3≤2x－1≤3}＝[－1,2]，B＝(1，＋∞) A∩B＝(1,2]
6．函数y＝logx，x∈(0,8]的值域是( )
A．[－3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3] D．(－∞，3]
[答案] A
[解析] ∵07．(2012～2013山东汶上中学高一期中考试)已知函数f(x)＝则f[f()]＝( )
A. B．4
C．－4 D．－
[答案] A
[解析] f()＝log3＝－2，f(－2)＝2－2＝，
∴f[f()]＝，故选A.
8．已知loga<1，那么a的取值范围是( )
A．01 B．a<0或C．a> D．a<
[答案] A
[解析] loga<1，即loga当a>1时，1.
当0a，∴0∴a的取值范围是01.
二、填空题
9．对数函数f(x)的图象过P(8,3)，则f()＝________.
[答案] －1
10．求下列各式中a的取值范围：
(1)loga3(2)log5π[答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)
11．函数f(x)＝loga(3x－2)＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．
[答案] (1,2)
12．(2012～2013琼海高一检测)设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 012)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
[答案] 16
三、解答题
13．比较下列各组中两个值的大小 ：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[思路分析] (1)构造对数函数y＝lnx，利用函数的单调性判断；(2)需对底数a分类讨化；(3)由于两个对数的底数不同，故不能直接比较大小，可对这两个对数分别取倒数，再根据同底对数函数的单调性比较大小；(4)构造对数函数，并借助中间量判断．
[解析] (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，
所以ln0.3(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
(3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1，
同理，1＝logππ>logπ3，即log3π>logπ3.
14．求下列函数定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．
[分析] (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.
[解析] (1)由得x＞2且x≠3，
∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)由即
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．
15．已知f(x)＝lg.x∈(－1,1)若f(a)＝求f(－a)．
[解析] 方法1：∵f(x)＝lg＝lg()－1，
∴f(－a)＝－f(a)＝－.
方法2：f(a)＝lg，f(－a)＝lg
＝lg()－1＝－lg＝－
16．(1)若loga<1，求a的取值范围；
(2)求满足不等式log3x<1的x的取值集合．
[分析] 将常数1转化为对数式的形式，构造对数函数，利用对数函数的单调性求解．
[解析] (1)loga<1，即loga当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga当0故01.
(2)因为log3x<1＝log33，所以x满足的条件为，即0[易错警示] 解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形．若非同解变形，最后一定要检验．
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一、选择题
1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
[答案] C
[解析] 设y＝2＋t，t＝log2x(x≥1)
∵t＝log2x在[1，＋∞)上是单调增函数，
∴t≥log21＝0.∴y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．
2．已知f(x)＝log3x，则f()，f()，f(2)的大小是( )
A．f()>f()>f(2)
B．f()C．f()>f(2)>f()
D．f(2)>f()>f()
[答案] B
[解析] 由函数y＝log3x的图象知，图象呈上升趋势，即随x的增大，函数值y在增大，故f()3．(2012～2013山东淄博一中期中考试试题)函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数
D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数
[答案] D
4．函数y＝log2的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] A
[解析] 由于函数定义域为(－2,2)关于原点对称，
又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
故函数为奇函数，其图象关于原点对称．
5．(河北广平县2012～2013高一期中试题)函数f(x)＝|log2x|的图象是( )
[答案] A
6．(2012～2013山东临沂中学期中试题)下列函数中，既是奇数又是增函数的是( )
A．y＝log2|x| B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝x
[答案] D
7．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)
[答案] C
[解析] 当x≥2时，f(x)＝log2(x－1)，
∴f(x0)＝log2(x0－1)>1，
∴∴x0>3.
当x<2时，f(x0)＝()x0－1.由f(x0)>1，即()x0－1>1，得x0<－1.
8．(2012～2013山东梁山中学期中试题)若y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(1，＋∞)
[答案] B
[解析] 解法一：逐项验证法：因为a≠1，所以排除C；当a∈(0,1)时，y是真数t(t＝2－ax)的减函数，t是x的减函数，则y是x的增函数，不合题意，排除A项；取a＝2，则当x＝1时，2－ax＝0不合题意，排除D.故选B.
解法二：因为2－ax>0在x∈[0,1]上恒成立，又a>0，所以x<，所以>1，a<2.当01.综上可知，1二、填空题
9．(2007·全国Ⅰ)函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
[答案] 3x
10．(2012～2013重庆市第49中学高一期中试题)函数f(x)＝log(x2－2x)的单调递减区间是________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] y＝logt，t＝x2－2x.由于t＞0，∴x＞2
或x＜0，减区间为(2，＋∞)．
11．(2012～2013山东淄博一中高一期中试题)已知函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2,4]上最大值比最小值大1，则a＝________.
[答案] 2或
[解析] 当a＞1时，loga4－loga2＝1，∴a＝2.
当0＜a＜1时，loga2－loga4＝1，∴a＝.
12．函数y＝1＋loga(x－1)(a＞0，a≠1)无论a取何值时，函数图象恒过一定点，此定点为________．
[答案] (2,1)
[解析] 当x＝2时，y＝1＋loga1＝1，∴过定点(2,1)．
三、解答题
13．求函数y＝log2(x2－6x＋5)的定义域、值域和单调区间．
[解析] 由x2－6x＋5>0得x>5或x<1，
因此y＝log2(x2－6x＋5)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞)，
设y＝log2t，t＝x2－6x＋5，
∵x>5或x<1，∴t>0，∴y∈(－∞，＋∞)，
因此y＝log2(x2－6x＋5)的值域为R.
由复合函数性质得增区间为(5，＋∞)，
减区间为(－∞，1)．
14．(2012～2013湖北荆州统考题)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，求a的值．
[解析] 因为y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同(a＞1时同为单调递增函数，0＜a＜1时同为单调递减函数，故其最大值与最小值同在区间端点取得．)
∴f(0)＋f(1)＝a，即(a0＋loga1)＋[a1＋loga(1＋1)]＝a，
化简得1＋0＋a＋loga2＝a，即loga2＝－1，解得a＝.
[规律总结] 本例关键是将题设条件转化为f(0)＋f(1)＝a，否则无法解题，但是判断出f(0)＋f(1)＝a的理论依据要清楚．
15．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
[解析] (1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝log(－x)，
又f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．
故当x<0时，f(x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
，或，
解得x≥或－4≤x<0.
16．已知函数y＝(log2x－2)(log4x－)，2≤x≤8.
(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
[解析] (1)y＝(log2x－2)(log4x－)
＝(log2x－2)(log2x－)，
令t＝log2x，得
y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，
又2≤x≤8，
∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝(t－)2－，
1≤t≤3，结合数轴可得，
当t＝时，ymin＝－；
当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1，
即函数的值域为[－，1]．
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一、选择题
1．函数y＝3x与y＝()x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] B
2．(2012～2013重庆市南开中学期中试题)已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a>1
C．a<1 D．0[答案] D
3．函数y＝f(x)对任意的x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，满足该性质的一个函数是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x2
C．y＝()x D．y＝|x|
[答案] C
4．函数f(x)＝ax＋()x(a>0且a≠1)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数也是偶函数
D．既非奇函数也非偶函数
[答案] B
5．函数y＝()x2－3x＋2在下列哪个区间上是增函数( )
A．(－∞，] B．[，＋∞)
C．[1,2] D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
[答案] A
6．(2012～2013重庆市风鸣山中学期末考试)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
[答案] A
[解析] 由y＝f(x)图知0＜a＜1，b＜－1所以选A.
7．(2012～2013重庆市风鸣山中学末期考试)函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，)
C．[，) D．[，1)
[答案] C
[解析] 由已知可得，
解得：≤a＜，故选C.
8．已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )
A．x＋y>0 B．x＋y<0
C．x－y>0 D．x－y<0
[答案] A
[解析] 作函数f(x)＝2x－3－x.
因为2x为增函数，由3－x＝()x为减函数，知－3－x也是增函数，从而f(x)为增函数，
由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)可知f(x)>f(－y)．
又f(x)为增函数，所以x>－y，故x＋y>0.选A.
二、填空题
9．不等式3x2<()x－2的解集为________．
[答案] (－2,1)
[解析] 原不等式即3x2<32－x x2<2－x x2＋x－2<0 －210．函数y＝()|1－x|的单调递减区间是________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] y＝()|1－x|＝
因此它的减区间为[1，＋∞)．
11．若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1三图象无公共点，结合图象求b的取值范围为________．
[答案] [－1,1]
[解析] 因为y1＝2x＋1＞1，y2＝－2x－1＜－1，y1与y2无公共点，而y＝b为平行于x轴的直线，当b∈[－1，1]时，它与y1、y2均无交点．
12．对于函数f(x)的定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2)，有如下的结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)； ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③＞0； ④＜0
当f(x)＝10x时，上述结论中正确的是________．
[答案] ①③
[解析] 因为f(x)＝10x，且x1≠x2，所以f(x1＋x2)＝10x1＋x2＝10x1·10x2＝f(x1)·f(x2)，所以①正确；因为f(x1·x2)＝10x1·x2≠10x1＋10x2＝f(x1)＋f(x2)，②不正确；因为f(x)＝10x是增函数，所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号，所以及＞0，所以③正确．④不正确．
三、解答题
13．讨论函数f(x)＝()x2＋2x的单调性，并求其值域．
[解析] 解法1：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1∴f(x1)＝()x＋2x1，f(x2)＝()x＋2x2，
∴＝＝()x＋2x2－x－2x1
＝()x－x＋2(x2－x1)＝()(x2－x1)(x2＋x1＋2)
(1)当x1又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1＋2)<0，
∴()(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.
又∵对于x∈R，f(x)>0恒成立，∴f(x2)>f(x1)，
∴函数f(x)＝()x2－2x在(－∞，－1]上单调递增．
(2)当－1≤x1x1＋x2>－2，则有x2＋x1＋2>0，
又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1＋2)>0，
∴0<()(x2－x1)(x2＋x1＋2)<1，∴f(x2)∴函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数；在区间[－1，＋∞)上是减函数．
∵x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，又0<<1，
∴0<()x2－2x≤()－1＝5，
∴函数f(x)的值域是(0,5]．
解法2：∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2＋2x，u＝()t，又∵t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在(－∞，－1]上是减函数，在[－1，＋∞)上是增函数，u＝()t在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．
以下求值域方法同上．
14．已知22x≤()x－2，求函数y＝2x的值域．
[解析] ∵22x≤()x－2，∴4x≤42－x，
∴x≤1，又y＝2x在(－∞，＋∞)上为增函数，故值域为(0,2]
15．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数值域．
[分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得a值．其值域可借助基本函数值域求得．
[解析] ①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
即－[＋a]＝＋a，
∴2a＝－－＝1，∴a＝.
②∵2x－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵u＝2x－1>－1且u≠0，∴<－1或>0，
∴＋<－或＋>，
∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．
16．设0≤x≤2，求函数y＝4x－－2x＋1＋5的最大值和最小值．
[解析] 设t＝2x，则y＝t2－2t＋5＝(t－2)2＋3(1≤t≤4)．
∵上述关于t的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增，
∴当t＝2，即x＝1时，y取最小值3；
当t＝4时，即x＝2时，y取最大值5.
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一、选择题
1．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝2x B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2
[答案] A
[解析] y＝2x是指数函数，不是幂函数．
2．下列函数定义域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝x－2 B．y＝x eq \s\up15( )
C．y＝x eq \s\up15(－ ) D．y＝x eq \s\up15(－ )
[答案] D
3．若幂函数y＝xn，对于给定的有理数n，其定义域与值域相同，则此幂函数( )
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定不是奇函数 D．一定不是偶函数
[答案] D
[解析] 由y＝x eq \s\up15( ) 知其定义域与值域相同，但是非奇非偶函数，故能排除A、B；又y＝x3的定义域与值域相同，是奇函数，故排除C.
4．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，那么( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
[答案] B
[解析] 幂函数y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2中，系数m2－3m＋3＝1，∴m＝2,1.又∵y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2的图象不过原点，故m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，故m＝2或1.
5.
函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则实数a、b、c的大小关系为( )
A．cC．b[答案] A
6．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )
[答案] C
[解析] 直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x eq \s\up15( ) ，2≠.故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．
7．(2010·安徽文，7)设a＝() eq \s\up15( ) ，b＝() eq \s\up15( ) ，c＝() eq \s\up15( ) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[答案] A
[解析] 对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故() eq \s\up15( ) <() eq \s\up15( ) ，即b对a和c，∵幂函数．y＝x eq \s\up15( ) 在(0，＋∞)上单调递增，
∴() eq \s\up15( ) >() eq \s\up15( ) ，即a>c，∴a>c>b，故选A.
8．(2012～2013山东省临沂市临球县实验中学高一教学阶段性测试题)幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调增区间为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) ) D.(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 设f(x)＝xα，代入(2,4)得x＝2，f(x)＝x2，
∴f(x)＝x2在(0，＋∞)为增函数，故选C.
二、填空题
9．(2012～2013湖南益阳模拟)已知幂函数y＝f(x)过点(3，)，则f()＝________.
[答案] 8
[解析] 设幂函数为y＝xα，将点(3，)代入，得＝3α，则α＝－，所以f()＝() eq \s\up15(－ ) ＝8.
10．若函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数 ，且是偶函数，则m＝________.
[答案] －1
[解析] 由题意，知m2－m－1＝1，
解得m＝2，或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－1＝－1，函数为y＝x－1，不是偶函数；
当m＝－1时，m2－2m－1＝2，函数为y＝x2，是偶函数，满足题意．
11．设f(x)＝(m－1)xm2－2，如果f(x)是正比例函数，那么m＝________；如果f(x)是反比例函数，那么m＝________；如果f(x)是幂函数，那么m＝________.
[答案] ± －1 2
[解析] 若f(x)是正比例函数，则即m＝±；若f(x)是反比例函数，则即m＝－1；若f(x)是幂函数，则m－1＝1，即m＝2.
12．(2012～2013海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．
①y＝x eq \s\up15( ) ；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－x eq \s\up15( ) .
[答案] ③
[解析] ①中函数y＝x eq \s\up15( ) 不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x eq \s\up15( ) 是奇函数．故填③.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时．
(1)f(x)是正比例函数；
(2)f(x)是反比例函数；
(3)f(x)是二次函数；
(4)f(x)是幂函数．
[解析] (1)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(2)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，解得m＝－，即m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
(4)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即时m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
14．已知函数y＝xn2－2n－3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
[解析] 因为图象与y轴无公共点，所以n2－2n－3≤0，又图象关于y轴对称，则n2－2n－3为偶数，由n2－2n－3≤0得，－1≤n≤3，又n∈Z.∴n＝0，±1,2,3
当n＝0或n＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．
当n＝－1或n＝3时，有y＝x0，其图象如图A.
当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B.
∴n的取值集合为{－1,1,3}．
15．已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．
[解析] 依题意，得－n2＋2n＋3>0，解得－1又∵n＝2k，k∈Z，∴n＝0或2.
当n＝0或2时，f(x)＝x3，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x2－x)>f(x＋3)可转化为x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3，
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
16．(2012～2013温州联考)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函数y＝m2－2m－3的图象(图略)观察图象知－1∴f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
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一、选择题
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝3x
[答案] D
2．已知函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．任意值
[答案] B
[解析] ∵y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数．
∴
∴a＝2.
3．函数y＝的定义域是( )
A．(0,2] B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵4－2x≥0,2x≤4＝22，∴x≤2.
4．(2012～2013广安中学月考试题)函数y＝ax－2＋2(a>0，且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,2) D．(2,3)
[答案] D
[解析] 代入验证，当x＝2时，y＝a2－2＋2＝1＋2＝3.
5．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[答案] D
[解析] ∵y＝0.8x是减函数，∴a＝0.80.7>0.80.9＝b，且1>a>b.又c＝1.20.8>1，∴c>a>b.
6．函数y＝a|x|(0[答案] C
[解析] y＝，∵0[点评] 可取a＝画图判断．
7．(2012～2013山东梁山一中高一期中质量检测)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于( )
A. B．2
C．4 D.
[答案] B
[解析] 当a>1时，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a，
由1＋a＝3，所以a＝2.
当0由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.
8.
函数①y＝3x；②y＝2x；③y＝()x；④y＝()x.的图象对应正确的为( )
A．①－a ②－b ③－c ④－d
B．①－c ②－d ③－a ④－b
C．①－c ②－d ③－b ④－a
D．①－d ②－c ③－a ④－b
[答案] B
二、填空题
9．函数y＝的定义域为________．
[答案] (－∞，0]
[解析] y＝有意义满足()x－1≥0，即()x≥()0，∴x≤0，定义域为(－∞，0]
10．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________
[答案] 64
[解析] 由已知函数图象过(2,4)，令y＝ax，得a2＝4，∴a＝2，∴f(2)·f(4)＝22×24＝64.
11．(2012～2013重庆市南开中学期中试题)函数f(x)＝2－|x|的值域是________．
[答案] (0,1]
[解析] ∵|x|≥0，∴－|x|≤0，∴0<2－|x|≤1，∴函数y＝2－|x|值域为(0,1]．
12．(2012～2013·大连高一检测)已知y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝4x，则f(－)＝________.
[答案] －2
[解析] f(x)为奇函数，∴f(－)＝－f()＝－4＝－2.
三、解答题
13．已知f(x)＝(ax－a－x)，g(x)＝(ax＋a－x)，
求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．
[证明] f 2(x)＋g2(x)
＝(ax－a－x)2＋(ax＋a－x)2
＝(2a2x＋2a－2x)＝(a2x＋a－2x)＝g(2x)成立．
14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．
[解析]
15．已知函数f(x)＝ax2＋3x－4，g(x)＝ax2＋2x－2(a>0，且a≠1)，若f(x)>g(x)，试确定x的范围．
[解析] 由f(x)>g(x)得ax2＋3x－4>ax2＋2x－2.
当a>1时，x2＋3x－4>x2＋2x－2，∴x>2；
当0∴当a>1时，x的范围是(2，＋∞)；
当016．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
[解析] 当a>1，f(x)＝ax在[1,2]上为增函数，
由题意a2－a＝，即a2－＝0，∵a>1，∴a＝.
当0由题意a－a2＝，即a2－＝0，∵021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
一、选择题
1．(2012～2013重庆市48中期中试题)下列各式一定正确的是( )
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D．a0＝1
[答案] C
[解析] 由根式的意义知A错；＝|a|，故B错；当a＝0时，a0无意义，故D错．
2．有下列说法：
①81的4次方根是3；
②的运算结果是±2；
③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；
④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
其中，正确的是( )
A．①③④ B．②③④
C．②③ D．③④
[答案] D
3．当a，b∈R，下列各式总能成立的是( )
A．(＋)4＝a＋b
B．()4＝a＋b
C.＋＝a＋b
D.＝a＋b
[答案] B
4.的值是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．－8
[答案] B
5．已知xy≠0且＝－2xy，则有( )
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y>0
[答案] A
6．化简－得( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．－2x或6或2
[答案] C
[解析] 原式＝|x＋3|－(x－3)
＝.
7．当nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
[答案] B
[解析] (m＋n)－
＝(m＋n)－|m－n|＝(m＋n)－(m－n)＝2n.
8．当有意义时，化简－的结果是( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
[答案] C
[解析] 当有意义时，x≤2，－＝|x－2|－|x－3|＝2－x＋x－3＝－1.
二、填空题
9．(2012～2013怀运三中期中试题)化简＋的结果为________．
[答案] 0
[解析] 原式＝4－π＋π－4＝0.
10．已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④.其中没有意义的是________(只填式子的序号即可)．
[答案] ③
11．有下列说法：
①＝3；
②16的4次方根是±2；
③＝±3；
④＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填上正确说法的序号)．
[答案] ②④
[解析] 负数的n次方根是一个负数，故＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；＝3，故③错误；是正数，故＝|x＋y|，故④正确．
12.＋＝________.
[答案] －
[解析] ＋
＝＋
＝(－)＋(－)＝－.
三、解答题
13．求下列各式的值．
(1)()4；(2)()3；(3)()5；(4)；
(5).
[思路分析] 根据根式的性质求解．
[解析] (1)()4＝5；(2)()3＝－5；(3)()5＝23＝8；(4)＝5；(5)＝＝3.
14．化简下列各式．
(1)；(2)；
(3)；(4)－.
[点拨] 根据的意义求解．
[解析] (1)(1)＝－2.
(2)＝|－10|＝10.
(3)＝|a－b|＝
(4)－＝－＝－2.
15．化简：
(1)(x<π，n∈N*)；
(2)(a≤)．
[解析] (1)∵x<π，∴x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上，＝
(2)∵a≤，∴1－2a≥0.
∴＝＝＝1－2a.
规律总结：表示an的n次方根，等式＝a不一定成立．当n的值不确定时，应注意分n为奇数和n为偶数两种情况对n进行讨论．
16．写出使下列各式成立的x的取值范围．
(1)＝；
(2)＝(5－x).
[解析] (1)x－3≠0，∴x≠3.
(2)，∴－5≤x≤5.
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一、选择题
1.＝( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] A
[点拨] 原式＝＝＝，故选A.
2．log23·log3m＝，则m＝( )
A．2 B.
C．4 D．1
[答案] B
[解析] log23·log3m＝log2m＝
∴m＝2 eq \s\up15( ) ＝，故选B.
3．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] log23·log34·log45·log56·log67·log78＝×××××＝＝3，故选C.
4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
[答案] A
[解析] x＝log2.51000，y＝log0.251000，
∴＝log10002.5，＝log10000.25，
∴－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝，故选A.
5．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] log512＝＝＝，故选C.
6．设，则x∈( )
A．(－2，－1) B．(1,2)
C．(－3，－2) D．(2,3)
[答案] D
[解析]
＝log310∈(2,3)，故选D.
7．设a、b、c∈(0，＋∞)，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
[答案] B
[解析] 设3a＝4b＝6c＝m，
∴a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m，
∴＝logm3，＝logm4，＝logm6，
又∵logm6＝logm3＋logm2，＝＋，即
＝＋，故选B.
8．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b ，则logab＋logba等于( )
A．1 B．－2
C．－ D．－4
[答案] C
[解析] 由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3，
那么logab＋logba＝＋＝
＝＝＝－，故选C.
二、填空题
9．log2＋log927＋4log413＝________.
[答案] 15
[解析] 原式＝＋log3233＋13＝15.
10．log43·log＝________.
[答案] －
[解析] 原式＝log43·(－log332)＝－×log432＝－×log2225＝－×＝－.
11．lg9＝a,10b＝5，用a、b表示log3645为________．
[答案]
[解析] 由已知b＝lg5，则log3645＝＝＝＝＝.
12．(山东淄博2012～2013高一期中试题)设3x＝4y＝36，则＋＝________.
[答案] 1
[解析] 由3x＝4y＝36得x＝log36，y＝log436，＋＝＋＝2log363＋log364
＝log369＋log364＝log3636＝1.
三、解答题
13．(瓮安二中2012～2013学年度第一学期高一年级期末考试数学科卷)求下列各式的值：
(1)log427·log258·log95；
(2)(log43＋log83)(log32＋log92)．
[解析] (1)原式＝··
＝··
＝
(2)解法一：原式＝log43·log32＋log83·log32＋log43·log92＋log83·log92
＝log223·log32＋log233·log32＋log223·log322＋log233·log322
＝log23·log32＋log23·log32＋log23·log32＋log23·log32＝＋＋＋＝.
解法二：原式＝(log223＋log233)·(log32＋log322)
＝(log23＋log23)(log32＋log32)
＝log23×log32＝.
14．计算：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)×log9.
[分析] 此题是不同底数的对数运算，也需用换底公式进行化简求值．
[解析] 原式＝(log23＋＋＋…＋)×log9
＝(log23＋log23＋log23＋…＋log23)×log9
＝n×log23××log32＝.
[点评] (1)应用换底公式时，究竟换成以什么为底？
①一般全都换成以10为底的对数．
②根据情况找一个底数或真数的因子作为底．
(2)直接利用换底公式的下面几个推论，加快解题速度．
logab＝，loganbm＝logab，loganbn＝logab.
15．某化工厂生产化工产品，去年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，精确到1年)
[分析] 设x年后每桶的生产成本为20元，由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式，解出x.
[解析] 设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，
x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20.
所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得
xlg0.72＝lg0.4.
故x＝＝＝
＝
≈＝≈3(年)．
所以，3年后每桶的生产成本为20元．
16．设3x＝4y＝6x＝t>1，求证：－＝.
[分析] 对数与指数的底数都不相同时，首先用换底公式将底数化为相同．
[解析] 证法一：∵3x＝4y＝6z＝t>1，
∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝.
证法二：∵3x＝4y＝6z＝t>1，
两边同时取以t为底的对数，得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，
∴－＝logt6－logt3＝logt2＝logt4＝.
[点评] 化为同底与指对互化是解决指数、对数求值问题的常用策略．运用换底公式时，要注意选取合适的底数，以达到简化运算的作用．
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一、选择题
1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数有( )
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④loga(xy)＝logax·logay.
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
[点拨] 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减，乘的运算．在运算中注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．
2．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于( )
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
C. D.
[答案] C
[解析] lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lg，
∴x＝，故选C.
3．log618＋2log6的结果是( )
A．－2 B．2
C. D．log62
[答案] B
[解析] 原式＝log618＋log62＝log636＝2.
4．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[答案] A
[解析] 由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5．已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则等于( )
A. B.
C．10 D．100
[答案] B
[解析] ＝＝10－1＝，故选B.
6．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m－3n＝( )
A. B．108 C. D．36
[答案] C
[解析] 由已知得am＝2，an＝3，
∴a2m－3n＝(am)2÷(an)3＝，
故选C.
7．已知f(log2x)＝x，则f()＝( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 令log2x＝，∴x＝，∴f()＝.
8．如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为( )
A．lg2·lg3 B．lg2＋lg3
C．－6 D.
[答案] D
[解析] 由题意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2＋(lg2＋lg3)u＋lg2·lg3＝0的两根
∴lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，
即lg(x1x2)＝lg，∴x1x2＝.
二、填空题
9．(2012～2013河北孟村回民中学月考试题)化简
log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝________.
[答案]
[解析] log2(1＋＋)＋log2(1＋－)
＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝log22＝.
10．计算lg5×lg20＋(lg2)2＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.
11．计算lg－lg＋lg＝________.
[答案]
[解析] 原式＝(5lg2－2lg7)－2lg2＋(lg5＋2lg7)
＝lg2－2lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝.
12．已知lg3＝0.477 1，lgx＝－3.522 9，则x＝________.
[答案] 0.000 3
[解析] ∵lgx＝－3.5229＝－4＋0.4771
＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x＝0.0003.
三、解答题
13．若a＞0且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；
②(logax)n＝logaxn；
③logax＝－loga；
④＝loga；
⑤＝logax；
⑥＝loga；
⑦logax＝logxn；
⑧loga＝－loga.
其中成立的有多少个．
[解析] 利用对数的运算性质判断各式是否正确即可．
①是错误的，如(log24)3＝8≠3log24＝6；
②是错误的，如(log24)3＝8≠log243＝log226＝6；
③是正确的，因为－loga＝－logax－1＝logax；
④是错误的，如＝2≠log2＝1；
⑤同①一样，也不正确；
⑥是正确的，因为log2＝logax＝logax；
⑦是正确的，设loganxn＝y，则(an)y＝xn，
即x＝＝a＝ay，所以y＝logax，即logxn＝logax；
⑧是正确的，因为loga＝loga()－1
＝－loga.所以成立的有4个
[点评] 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，运用对数的运算性质时一要注意真数必须大于0；二要注意积、商、乘方的对数运算对应着对数的和、差、积的运算．
14．计算：(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
(3).
[分析] 直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．
[解析] (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1＝()2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
(2)原式＝lg25＋lg8＋lg·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.
(3)＝
＝＝
＝＝＝＝1.
[方法点拨] 在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．
15．log92＝a，()b＝5，用a、b表示log3120.
[解析] ∵log322＝log32，∴log32＝2a，
∵()b＝5，∴3－b＝5，∴log35＝－b，
log3120＝log323×5×3＝3log32＋log35＋1＝3a－b＋1.
16．已知a、b、c满足a2＋b2＝c2，且a、b、c∈(0，＋∞)．
求证：log2(1＋)＋log2(1＋)＝1.
[解析] 证明：左边＝log2＋log2＝log2＝log2
＝log2＝log22＝1＝右边，等式成立．
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一、选择题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝ex(e＝2.718 28…)
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(x>0且a≠1)
[答案] B
2．函数f(x)＝(x－5)0＋(x－2) 的定义域是( )
A．{x|x∈R，且x≠5，x≠2}
B．{x|x>2}
C．{x|x>5}
D．{x|25}
[答案] D
[解析] 由题意得：，∴x>2且x≠5.
3．(2011－2013曲阜一中月考试题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝()x，那么f()的值是( )
A. B. C．－ D．9
[答案] C
[解析] f()＝－f(－)＝－()＝－.
4．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)满足f(4)＝81，则f(－)的值为( )
A. B．3 C. D.
[答案] C
[解析] f(4)＝a4＝81 ∵a>0，∴a＝3
f(－)＝3－＝，故选C.
5．2，－1,3的大小顺序为( )
A．3<2<－1 B．2<3<－1
C.－1<2<3 D．2<－1<3
[答案] B
[解析] ∵3<∴3<＝－1，
又(2)6＝23＝8<9＝(3)6，∴2<3∴选B.
6．若2x＋2－x＝5，则4x＋4－x的值是( )
A．29 B．27 C．25 D．23
[答案] D
[解析] 4x＋4－x＝(2x＋2－x)2－2＝23.
7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝4 eq \s\up15() B．y＝()1－2x
C．y＝ D．y＝
[答案] B
[解析] y＝4 eq \s\up15() 的值域为{y|y>0且y≠1}；
y＝的值域为{y|y≥0}；
y＝的值域为{y|0≤y<1}，故选B.
8．当0
[答案] D
[解析] 0二、填空题
9．am＝3，an＝2，则am－2n＝________.
[答案]
[解析] am－2n＝am·a－2n＝＝.
10．右图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈{，，，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.
[答案] 、、π、
[解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数11．若函数y＝f(x)的定义域是(1,3)，则f(3－x)的定义域是________．
[答案] (－1,0)
[解析] 因为函数y＝f(x)定义域是(1,3)，所以要使函数y＝f(3－x)有意义，应有1<3－x<3，即1<()x<3，又因为指数函数y＝()x在R上单调递减，且()0＝1，()－1＝3，所以－112．已知实数a，b满足等式()a＝()b，则下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式为______________．
[答案] ③④
[解析]
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝()x和y＝()x的草图，如右图所示，由图可得①②⑤可能成立，不可能成立的关系式为③④.
三、解答题
13．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2 eq \s\up15() ；
(2)y＝3；
(3)y＝5－x－1.
[解析] (1)要使函数y＝2 eq \s\up15() 有意义，只需x－1≠0，即x≠1，
所以函数的定义域为{x|x≠1}．
因为≠0，所以y≠1，所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)要使函数y＝3有意义，只需1－x≥0，即x≤1.
所以函数的定义域为{x|x≤1}．
设y＝3u，u＝，则u≥0，由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，所以函数的定义域为R.
因为5－x>0，所以5－x－1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)．
14．解下列不等式：
(1)2x>8；(2)()x>；(3)0.32－x>1.
[解析] (1)因为8＝23，则原不等式可化为2x>23，
由函数y＝2x在R上是增函数，得x>3.
故原不等式的解集为{x|x>3}．
(2)因为＝2＝()，则原不等式可化为()x>()，由函数y＝()x在R上是减函数，得x<－.故原不等式的解集为{x|x<－}．
(3)因为0.30＝1，则原不等式可化为0.32－x>0.30.
由函数y＝0.3x在R上是减函数，得2－x<0，解得x>2.故原不等式的解集为{x|x>2}．
15．(2012～2013四川省双流中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2x＋b，(b∈R)，h(x)＝f(x)－.
(1)判断h(x)的奇偶性并证明．
(2)对任意x∈[1,2]，都存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x)≤f(x1)，g(x)≤g(x2)，若f(x1)＝g(x2)，求实数b的值．
[解] (1)函数h(x)＝2x－为奇函数，现证明如下：
∵h(x)定义域为R，关于原点对称，又h(－x)＝2－x－＝－2x＝－h(x)，
∴h(x)＝2x－为奇函数．
(2)由题意知f(x1)＝f(x)max，
由f(x)＝2x在[1,2]上递增
∴f(x1)＝4，又∵g(x2)＝g(x)max且g(x)＝－x2＋2x＋b在[1,2]递增，g(x2)＝g(1)＝1＋b，
∴f(x1)＝g(x2)，
∴1＋b＝4，∴b＝3.
16．(2011～2012·聊城高一期中检测)设函数f(x)＝－.
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
[解析] (1)由题意，得x∈R，即函数的定义域关于原点对称，
f(－x)＝－＝－
＝＝－＋
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＝－－＋
＝
∵x1∴2x1－2x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(2)＝，
∴函数f(x)在[1,2]上的值域为[，]．
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一、选择题
1．设m，n是正整数，a是正实数，则下列各式中正确的有( )
①a eq \s\up15() ＝；②a0＝1；③a－ eq \s\up15() ＝.
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
[答案] A
2．下列等式能够成立的是( )
[答案] D
[解析] ∵()7＝＝n7·m－7，∴A错；
3．计算[(－)2] 的结果是( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] [(－)2] ＝()＝()－1＝＝，故选C.
4．()的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
5．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2(－b2)3]3＝－a18b18
[答案] C
6．计算()2()2的结果是( )
A．a B．a2
C．a4 D．a8
[答案] B
7.(a>0)的值是( )
A．1 B．a
C．a D．a
[答案] D
8．化简的结果是( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] A
二、填空题
9．化简：(＋)2013·(－)2013＝________
[答案] 1
[解析] (＋)2013·(－)2013
＝[(＋)(－)]2013
＝12013＝1
10．已知3a＝2,3b＝5，则32a－b＝________.
[答案]
[解析] 32a－b＝＝.
11．
[答案] a－b
[解析]
12．化简：＝________.(结果化成分数指数幂的形式)
[答案]
[解析]
三、解答题
13．把下列各式中的b写成分数指数幂的形式：
(1)b5＝32； (2)b4＝35；
(3)b－5n＝π3m(m，n∈N*)．
[解析]
14．求下列各式的值：
[解析]
15．计算下列各式：
[思路点拨] 负化正、大化小，根式化为分数指数幂，小数化为分数，是简化运算的常用技巧．
[解析] (1)原式＝1＋×()－()
＝1＋－＝1.
(2)原式＝()＋＋()－＋
＝＋100＋＋＝103.
(3)原式＝－a－2－1－(－4)b－3＋1－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
(4)原式＝＋(－b)2－(a)2
＝a－1－b－1－a＋b－1＝－a＝.
[点评] 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算．
16．已知a＋＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)a2－a－2.
[解析](1)将a＋＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±3，即a2－a－2＝±3.
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