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一、选择题
1．如下四个函数的图象，适合用二分法求零点的是( )
[答案] D
[解析] 选项A，B不符合在零点两边函数值符号相异，不适宜用二分法求解；选项C中，零点左侧没有函数值，无法确定初始区间，只有D中的零点满足图象连续不断 且符号相异，能用二分法．故选D.
2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内
B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，d)内
D．等于
[答案] D
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 12.04 13.89 －7.67 10.89 －34.76 －44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案] C
4．f(x)＝x4－15，下列结论中正确的有( )
①f(x)＝0在(1,2)内有一实根；②f(x)＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f(x)＝0没有小于－2的根；⑤f(x)＝0有四个实根．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] C
5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )
A. B.
C．ε D．2ε
[答案] B
[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＝，因此误差最大不超过.
7．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)
[答案] A
[解析] f(x)＝4x－1的零点为，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－)的零点为.现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点x0，因为g(0)＝－1，g()＝1，所以g(x)的零点，x0∈(0，)．又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合．
8．某农贸市场出售的西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下两表：
市场供给表
单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量(1000kg) 50 60 70 75 80 90
单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量(1000kg) 50 60 65 70 75 80
据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2,3,2.6) B．(2,4,2.6)
C．(2,6,2.8) D．(2,4,2.8)
[答案] C
[解析] 供给量为70时单价为2.8元/kg，需求量为70时，单价为2.6元/kg，从市场供给表和需求表观察，市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8)．故选C.
二、填空题
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.46025)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________．
[答案] 1.4375(或1.375)
[解析] 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．
10．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
[答案] －2.25
[解析] 由(1,4)的中点为2.5，得f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．
[答案] (2,2.5)
[解析] ∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．
12．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．
[答案] 0.75(答案不唯一)
[解析] 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．
三、解答题
13．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．
[解析] 依题意＜0.01，得2n＞10.故n的最小值为4.
14．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．
[解析] 证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是连续的，
又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，
∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，
F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，
∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．
15．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
[解析] 设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数根．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有实数根．
如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b) 的中点 f(a) f(b) f()
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.6875 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.6875)<0
因为|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的近似解可取为0.75.
16．方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．
[解析] 考查函数f(x)＝x5＋x－3，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝31>0，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)有一个零点x0.
∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，
∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．
取区间(1,2)的 中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.09>0，∴x0∈(1,1.5)．
同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125，1.1875)，x0∈(1.125,1.156 25)，x0∈(1.125,1.1406 25)．
由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.
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一、选择题
1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
[答案] C
[解析] 当x＝1时，否定B，当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A，故选C.
2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是( )
A．不亏不盈 B．赚23.68元
C．赚47.32元 D．亏23.68元
[答案] D
[解析] 设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1＋20%)2＝92.16，y(1－20%)2＝92.16，∴x＝64，y＝144,64＋144－92.16×2＝23.68.
3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 设至少需要清洗n次，由已知得
(1－)n≤1%即≤.
∴4n≥100 ∴n≥4，故选B.
4．某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；
②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；
③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；
④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．
你认为较合理的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．②③
[答案] D
5．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
[答案] D
[解析] 从A地到B地的来回时间分别为：
＝2.5，＝3，
x＝ 故选D.
6．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入－800元，税率见下表：
级数 全月纳税所得额 税率
1 不超过500元部分 5%
2 超过500元至2 000元部分 10%
3 超过2 000元至5 000元部分 15%
… … …
9 超过10 000元部分 45%
某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于( )
A．800～900元 B．900～1 200元
C．1 200～1 500元 D．1 500～2 600元
[答案] C
[解析] 解法1：(估算法)由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1 300～1 400元之间，故选C.
解法2：(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A，B，D，故选C.
7．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为( )
A．180 B．160
C．140 D．120
[答案] D
[解析] 设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则，解得，故这两筐椰子原来共有120个．
8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中正确的是( )
[答案] C
[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A、D；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A、D)，故选C.
二、填空题
9．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
[答案] 甲
[解析] 代入x＝3，可得甲y＝10，
乙，y＝8.显然选用甲作为拟合模型较好．
10．长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x＝________，最大面积S＝________.
[答案] 1
[解析] S＝(4＋x)＝－＋x＋12
＝－(x－1)2，当x＝1时，Smax＝.
11．某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的________倍．
[答案]
[解析] 设原来鱼重a，四年后鱼重为a(1＋200%)(1＋100%)(1＋50%)(1＋25%)＝a，＝.
12．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝()t－a(a为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，回答问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室．
[答案] (1)y＝ (2)0.6
[解析] (1)设0≤t≤时，y＝kt，
将(0.1,1)代入得k＝10，
又将(0.1,1)代入y＝()t－a中，得a＝，
∴y＝.
(2)令()t－≤0.25得t≥0.6，∴t的最小值为0.6.
三、解答题
13．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度x(cm) 40.0 37.0
桌子高度y(cm) 75.0 70.2
(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？
[解析] (1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系式为y＝kx＋b.
将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，
得∴
∴y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入上述函数关系式中，
有y＝1.6×42＋11＝78.2.
∴给出的这套桌椅是配套的．
[点评] 本题是应用一次函数模型的问题，利用待定系数法正确求出k，b是解题的关键．
14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，解得
所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－·150＋＝100 (元/102kg)．
15．某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这些原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元．生产一件B种产品，需用甲种原料4 kg，乙种原料10 kg，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请设计出来．
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
[分析] 设生产A种产品x件，则生产B种产品(50－x)件，据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg即可．
[解析] (1)设生产A种产品x件，则生产B种产品为(50－x)件，
依题意得解得30≤x≤32.
∵x是整数，∴只能取30,31,32.
∴生产方案有三种，分别为A种产品30件B种产品20件；A种产品31件B种产品19件；A种产品32件B种产品18件．
(2)设生产A种产品x件，则B种产品(50－x)件．
y＝700x＋1 200(50－x)＝－500x＋600 00，
∵k＝－500<0，∴y随x增大而减小，
∴当x＝30时，y最大＝－500×30＋600 00＝45 000.
∴安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获利润最大，最大利润为45 000元．
[方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决，第(2)问是利用一次函数增减性解决问题，要注意第(2)问 与第(1)问相互联系．即根据实际问题建立好函数关系式后，特别要注意函数的定义域．
16．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．
由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．
g(x)＝2(x≥0)．
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.∴总利润y＝8.25万元．
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.
∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.
∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．
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一、选择题
1．函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50(x∈Z) B．y＝1 000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝·ex
[答案] D
[解析] 指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x
[答案] A
[解析] y＝2×2x＝2x＋1.
4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
[答案] D
[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案．
5．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20 g付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮0.80元(信的质量在100 g以内)．某人所寄一封信的质量为72.5 g，那么他应付邮费( )
A．3.20元 B．2.90元
C．2.80元 D．2.40元
[答案] A
[解析] 由题意，得20×3<72.5<20×4，则他应付邮费为0.80×4＝3.20(元)．
6．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(单位：万元)．已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
[答案] B
[解析] 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
7．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法：( )
①前5分钟温度增加越来越快；
②前5分钟温度增加越来越慢；
③5分钟后温度保持匀速增加；
④5分钟后温度保持不变．
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
[答案] C
[解析] 前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；
5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．
8．已知某食品厂生产100 g饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100 g 300 g
包装费 0.5元 0.8元
售价 3.00元 8.40元
下列说法中，正确的是( )
①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多 ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．
A．①④ B．①③
C．②③ D．②④
[答案] D
[解析] 小包装平均每元可买饼干克，大包装平均每元可买饼干>克，因此买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．
二、填空题
9．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
[答案] 甲
10．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．
[答案] (1＋p)12－1
11．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
[答案] y1
[解析] 从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
12．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________________．
[答案] ax>xn>logax
三、解答题
13．甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年 30个减少到第6个10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．
[解析] (1)由题意，得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y1＝0.2x＋0.8，图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点．从而求得其解析式为y2＝－4x＋34.则当x＝2时，y1＝0.2×2＋0.8＝1.2，y2＝－4×2＋34＝26，y1×y2＝1.2×26＝31.2，所以第2年全县有鱼池26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．
(2)设当第m年时，出产量为n，那么n＝y1·y2＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，所以当m＝2时，n有最大值为31.2，即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．
14．试比较函数y＝x200，y＝ex，y＝lgx的增长差异．
[解析] 增长最慢的是y＝lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝ex增长得快；当x较大(如x>1 000)时，y＝ex要比y＝x200增长得快．
15．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解析] 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
16．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x eq \s\up15( ) 的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点)．
[解析] 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x eq \s\up15( ) ，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1
g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
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一、选择题
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
[答案] A
2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
[答案] D
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] B
4．(2012～2013山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)为( )
A．一定有零点 B．可能有两个零点
C．一定有没有零点 D．至少有一个零点
[答案] B
[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D
若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)>0，f(b)>0，则否定A，故选B.
5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5
B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6
D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．
∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．
D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，
∴f(1)·f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]内有零点．
6．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )
A．4 B．2
C．1 D．0
[答案] D
7．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
[答案] B
[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
8．(2010·福建理，4)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1；
∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2，
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
二、填空题
9．已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有________个零点．
[答案] 3
10．(上海大学附中2011～2012高一期末)方程10x＋x－2＝0解的个数为________．
[答案] 1
[解析] 画函数y＝10x与y＝2－x的图象，只有一个交点，故方程只有一解．
11．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则m的取值范围是______________．
[答案] (－∞，－]
[解析] ∵f(x)在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，
∴(－6m－4)(－4)≤0，解得m≤－.
∴实数m的取值范围是(－∞，－]．
12．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．
[答案] －3
[解析] 设另一个零点为x1，则x1＋1＝－2，∴x1＝－3.
三、解答题
13．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x 1 2 3
f(x) 136.136 15.552 －3.92
x 4 5 6
f(x) 10.88 －52.488 －232.064
求函数f(x)含有零点的区间．
[解析] 由表格知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，故零点分布的区间应是(2,3)，(3,4)，(4,5)．
14．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝3x＋1－7；
(5)f(x)＝log5(2x－3)．
[解析] (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.
(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3.
(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.
15．若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a在(－1,0)及(0，)内各有一个零点，求实数a的范围．
[解析] 由y＝f(x)在(－1,0)及(0，)各有一个零点，只需即，解得16．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
[解析] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
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