人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-06 19:50:49 | ||
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
7.3.1离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
1.理解离散型随机变量的均值的意义、性质并能简单应用. 2.会用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 1.数学抽象、数学运算：离散型随机变量的均值的意义和计算.
2.数学建模：离散型随机变量的均值的实际应用.
情境导入
某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,该商品的价格定为多少元才合理
平均1 kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是 kg, kg, kg,因此混合糖果的合理价格应该为:18× +24× +36× =23(元/kg).
在上述问题中,若每一颗糖的质量相等,将原单价看成离散型随机变量X,写出其分布列.
X
P
18
24
36
1
2
1
3
1
6
观测商品的合理价格与分布列的关系,你能得出什么结论
混合糖果的合理价格=18× +24× +36× .
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).
即均值=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
1.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝
Σx ipi
n
i=1
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质：若X是离散型随机变量，则：①E(X＋b)＝___________；
②E(aX)＝___________；③E(aX＋b)＝___________.
E(X)＋b
aE(X)
aE(X)＋b
1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
2.离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位．
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
.设ξ的分布列为:
又设η=2ξ+5,则E(η)=________
ξ 1 2 3 4
P
E(ξ)=1× +2× +3× +4× =
1
6
1
6
1
3
1
3
17
6
E(η)=2E(ξ)+5=
32
3
2.两点分布的均值
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
X 0 1
P 0.2 0.8
=0×0.2+1×0.8 =0.8
所以 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)
变式1:如果将题目中概率0.8改成p,那么他罚球1次得分X的均值是多少呢？
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
X 0 1
P 1－ p p
E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
如抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为________．
类型1
求离散型随机变量的均值
例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
解：X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列(有时也可省略)．
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．
依题意，ξ的可能取值为0,1,2.
2.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，， ，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值.
根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6.
所以X的分布列为
类型2
求离散型随机变量的均值公式及性质
例2已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
(1)由随机变量分布列的性质，
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝
已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
所以E(ξ)＝－
所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝
得a＝2.
(2021·河北邢台高二月考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的均值为( )
ξ 0 1 2
P 0.4 2k k
A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8
解析：由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ＋1，所以E(η)＝3E(ξ)＋1＝3×0.8＋1＝3.4.
类型3
求离散型随机变量的均值的应用
例3(2021·新高考卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
利用离散型随机变量求解实际问题的步骤
(1)把实际问题概率模型化；
(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列；
(3)利用公式求出相应均值；
(4)对照实际意义，根据所求均值下结论.
体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各位体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解：(1)方案甲中，化验的次数一定为5次.方案乙中，若记化验次数为X,则X的可能取值为1，6.因为5人都不患病的概率为(1－0.1)5＝0.590 49，所以P(X＝1)＝0.590 49，
P(X＝6)＝1－0.590 49＝0.409 51，
从而E(X)＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
(2)若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E(Y)＝100E(X)＝304.755，
即方案乙的平均化验费用为304.755元.
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
故X的分布列为：
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
7.3.1离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
1.理解离散型随机变量的均值的意义、性质并能简单应用. 2.会用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 1.数学抽象、数学运算：离散型随机变量的均值的意义和计算.
2.数学建模：离散型随机变量的均值的实际应用.
情境导入
某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,该商品的价格定为多少元才合理
平均1 kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是 kg, kg, kg,因此混合糖果的合理价格应该为:18× +24× +36× =23(元/kg).
在上述问题中,若每一颗糖的质量相等,将原单价看成离散型随机变量X,写出其分布列.
X
P
18
24
36
1
2
1
3
1
6
观测商品的合理价格与分布列的关系,你能得出什么结论
混合糖果的合理价格=18× +24× +36× .
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).
即均值=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
1.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝
Σx ipi
n
i=1
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质：若X是离散型随机变量，则：①E(X＋b)＝___________；
②E(aX)＝___________；③E(aX＋b)＝___________.
E(X)＋b
aE(X)
aE(X)＋b
1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
2.离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位．
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
.设ξ的分布列为:
又设η=2ξ+5,则E(η)=________
ξ 1 2 3 4
P
E(ξ)=1× +2× +3× +4× =
1
6
1
6
1
3
1
3
17
6
E(η)=2E(ξ)+5=
32
3
2.两点分布的均值
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
X 0 1
P 0.2 0.8
=0×0.2+1×0.8 =0.8
所以 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)
变式1:如果将题目中概率0.8改成p,那么他罚球1次得分X的均值是多少呢？
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
X 0 1
P 1－ p p
E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
如抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为________．
类型1
求离散型随机变量的均值
例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
解：X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列(有时也可省略)．
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．
依题意，ξ的可能取值为0,1,2.
2.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，， ，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值.
根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6.
所以X的分布列为
类型2
求离散型随机变量的均值公式及性质
例2已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
(1)由随机变量分布列的性质，
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝
已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
所以E(ξ)＝－
所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝
得a＝2.
(2021·河北邢台高二月考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的均值为( )
ξ 0 1 2
P 0.4 2k k
A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8
解析：由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ＋1，所以E(η)＝3E(ξ)＋1＝3×0.8＋1＝3.4.
类型3
求离散型随机变量的均值的应用
例3(2021·新高考卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
利用离散型随机变量求解实际问题的步骤
(1)把实际问题概率模型化；
(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列；
(3)利用公式求出相应均值；
(4)对照实际意义，根据所求均值下结论.
体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各位体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解：(1)方案甲中，化验的次数一定为5次.方案乙中，若记化验次数为X,则X的可能取值为1，6.因为5人都不患病的概率为(1－0.1)5＝0.590 49，所以P(X＝1)＝0.590 49，
P(X＝6)＝1－0.590 49＝0.409 51，
从而E(X)＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
(2)若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E(Y)＝100E(X)＝304.755，
即方案乙的平均化验费用为304.755元.
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
故X的分布列为：
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.