人教A版（2019）选择性必修第三册6.1.2分类加法计数原理与分步计数原理应用 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册6.1.2分类加法计数原理与分步计数原理应用 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-06 20:33:46 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理应用
新课程标准解读 核心素养
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题． 3．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步． 1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养．
2．通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养.
用4种颜色的花装点花坛，每个区域种植一种
颜色的花，若要求相邻(有公共边)区域不同色，
那么不同的种植方法有多少种呢？
你能用上节学过的知识解决这个问题吗？
情境导入
D
C
A
B
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步.
(1)分类要做到“ ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 ，得到总数.
(2)分步要做到“ ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数 ，得到总数.
不重不漏
求和
步骤完整
相乘
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．( )
因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．
(2)有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球．若每次从中取两个不同颜色的小球，则共有36种不同的取法．( )
分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30(种)取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35(种)取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42(种)取法．
所以由分类加法计数原理共有30＋35＋42＝107(种)不同的取法
2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A．30 B．20 C．10 D．6
从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6(种)取法．
3．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法________种．
若取的两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；
一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；
一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．
共有90＋72＋80＝242(种)不同取法.
一、组数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字.
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
解 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个).
(2)可以排成多少个三位数？
解 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
解 被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.
因而有12＋18＝30(种)排法.
即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
对于组数问题，应掌握以下原则
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.
(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
跟踪训练1 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？
解 完成这件事可分为三类：
第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.
第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.
第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.
对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).
二、选(抽)取与分配问题
例2：(1)两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
综上可知，共有2＋6＋12＝20种．
比赛局数最少为3局，至多为5局．
当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种情形；
当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；
当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12种
(2)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
从1,3,5,7,9中取出两个不同的数分别赋值给a和b，共有5×4＝20种，而得到相同值的是1,3与3,9以及3,1与9,3两组，
所以可得到lg a－lg b的不同值的个数是18，
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
三、涂色与种植问题
例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
1
2
3
4
由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.
第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.
1．用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
A
B
D
C
涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，
由分步乘法计数原理知将A，B，C，D四个区域涂色，
共有3×2×2×2＝24种不同方案．
2．在上题中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18种不同的方案．
例4将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
A
B
C
D
E
法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理知共有48＋24＝72种不同涂法．
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.
在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少种？
将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号．由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论．
当A种在B左边时(括号内为田垄的序号)，
①间隔6垄时，(1,8),(2,9)，(3,10)；
②间隔7垄时，(1,9),(2,10)；
③间隔8垄时，(1,10)．
总的选垄方法数为6＋6＝12种.
课时小结
1．合理分类，准确分步
(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．
(2)分类时要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．
(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
2．特殊优先，一般在后
解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．
6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理应用
新课程标准解读 核心素养
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题． 3．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步． 1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养．
2．通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养.
用4种颜色的花装点花坛，每个区域种植一种
颜色的花，若要求相邻(有公共边)区域不同色，
那么不同的种植方法有多少种呢？
你能用上节学过的知识解决这个问题吗？
情境导入
D
C
A
B
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步.
(1)分类要做到“ ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 ，得到总数.
(2)分步要做到“ ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数 ，得到总数.
不重不漏
求和
步骤完整
相乘
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．( )
因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．
(2)有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球．若每次从中取两个不同颜色的小球，则共有36种不同的取法．( )
分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30(种)取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35(种)取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42(种)取法．
所以由分类加法计数原理共有30＋35＋42＝107(种)不同的取法
2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A．30 B．20 C．10 D．6
从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6(种)取法．
3．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法________种．
若取的两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；
一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；
一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．
共有90＋72＋80＝242(种)不同取法.
一、组数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字.
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
解 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个).
(2)可以排成多少个三位数？
解 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
解 被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.
因而有12＋18＝30(种)排法.
即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
对于组数问题，应掌握以下原则
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.
(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
跟踪训练1 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？
解 完成这件事可分为三类：
第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.
第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.
第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.
对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).
二、选(抽)取与分配问题
例2：(1)两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
综上可知，共有2＋6＋12＝20种．
比赛局数最少为3局，至多为5局．
当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种情形；
当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；
当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12种
(2)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
从1,3,5,7,9中取出两个不同的数分别赋值给a和b，共有5×4＝20种，而得到相同值的是1,3与3,9以及3,1与9,3两组，
所以可得到lg a－lg b的不同值的个数是18，
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
三、涂色与种植问题
例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
1
2
3
4
由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.
第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.
1．用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
A
B
D
C
涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，
由分步乘法计数原理知将A，B，C，D四个区域涂色，
共有3×2×2×2＝24种不同方案．
2．在上题中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18种不同的方案．
例4将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
A
B
C
D
E
法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理知共有48＋24＝72种不同涂法．
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.
在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少种？
将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号．由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论．
当A种在B左边时(括号内为田垄的序号)，
①间隔6垄时，(1,8),(2,9)，(3,10)；
②间隔7垄时，(1,9),(2,10)；
③间隔8垄时，(1,10)．
总的选垄方法数为6＋6＝12种.
课时小结
1．合理分类，准确分步
(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．
(2)分类时要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．
(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
2．特殊优先，一般在后
解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．