人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.2排列数 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
6.2.2 排 列 数
新课程标准解读 核心素养
1.能利用计数原理推导排列数公式. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 1.数学抽象：排列数公式的推导.
2.数学运算：排列数公式的应用.
情境导入
在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
探究点1 排列数
思考1：在A、B、C、D四位候选人中选举正、副班长各一人共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD　CA CB CD DA DB DC 共12种
思考2：写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的所有排列．
解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列,共20个.
若改为:写出从5个元素a,b,c,d,e中任取3个元素的所有排列,结果如何呢？
方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”.
研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式．
1.排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。
An
m
“排列数”与“排列”的区别
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．
排列数的计算：
思考1中是求从4个不同的元素中取出2个元素的排列数，记为 ，已经算得=4×3=12，
A4
2
思考2中是求从5个不同的元素中取出2个元素的排列数，记为 ，已经算得=5×4=20，
A5
2
从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少
对 假定有排好顺序的两个空位置
An
2
第1位
第2位
n种
n-1种
由乘法原理得
对 假定有排好顺序的m个空位置
An
m
第1位
第m位
第2位
第3位
n种
(n-1)种
(n-2)种
(n-m+1)种
2.排列数公式（1）：
An
m
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n)
全排列的定义：
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不同元素的一个全排列.
An
n
=n(n-1)(n-2)…3·2·1
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示.
An
n
=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n!
排列数公式（2）：
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：0!=1.
(m,n∈N*,m≤n)
题型一　排列数的计算
因为18×17×16×…×9×8是从18开始，表示11个数字的乘积的一个式子，
化简得2n＝10，所以n＝5
题型二　与排列数有关的证明及解方程(或不等式)
故原等式成立．
＝
＝1·3·5·…·(2n－1)，
化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
因为0其中2即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，
∴x<8或x>13.又2题型三　排列的应用
探究1　特殊元素或特殊位置问题
例3　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
(1)方法一(位置分析法)：因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有 种站法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有 种站法，由分步乘法计数原理知，共有 ＝480种站法．
方法二(元素分析法)：因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有 种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有 种站法，由分步乘法计数原理知，共有 ＝480种站法．
方法三(间接法)：在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有 种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2 ，于是共有 －2 ＝480种站法．
(2)方法一(元素分析法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有 种站法，根据分步乘法计数原理，共 ＝48种站法．
方法二(位置分析法)：首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有 种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有 ＝48种站法．
(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有 种，乙在右端的站法有 种，而甲在左端且乙在右端的站法有 种，故共有 －2 + ＝504种站法．
方法二(直接法)：从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有 种站法；第2类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有 种站法，故共有 ＋ ＝504种站法．
对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安排甲、乙时有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端，再考虑其他的情况．
特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑：
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．
探究2　相邻问题
例4　已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出满足条件的排列方法数．
(1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻；
(1)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，和C，D，E共四个元素进行排列，其排列方法有 种；第二步，对“捆绑到一起”的A，B这2个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有 种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有 ＝48(种).
(2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻；
(2)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，把C，D，E这3名同学看成一个整体，故这两个整体排成一列的方法有 种；第二步，对“捆绑到一起”的A，B这2个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有 种，对“捆绑到一起”的C，D，E这3个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有 种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有 ＝24(种).
(3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B必须相邻．
(3)第一步，先看成A，B，C，D，E这5名同学带着座位排列，而且满足A，B相邻的要求，由(1)可知，其排列方法有48种；第二步，把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学中间(包括两端)插空，且不能插在A，B之间，其排列方法有 种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有 ＝240(种).
A
B
C
D
E
空
空
空
空
空
解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法
(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方
(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有
探究3　不相邻问题
例5　已知A，B，C，D，E五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数．
(1)把5名同学排成一排且A，B不相邻；
(1)方法一：第一步，先排不受限制的同学C，D，E，其排列方法有 种．第二步，由于已经排好的C，D，E间(包括两端)形成了4个空，把有限制条件(不相邻)的同学A，B插到这4个空中，其排列方法有 种．由分步乘法计数原理知，满足条件的排列方法有 ＝72(种).
C
D
E
空
空
空
空
方法二：先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学全排列有 种排列方法，其中A，B相邻的排列方法有 种，故满足条件的排列方法有 ＝72(种).
(2)把5名同学排成一排且A，B都不与C相邻；
(2)第一步，先排不受限制的同学D，E，其排列方法有 种．第二步，由于已经排好的D，E之间(包括两端)形成了3个空，把有限制条件(不相邻)的同学A，C插到这3个空中，共有排列方法 种．第三步，由于已经排好的A，C，D，E之间(包括两端)形成了5个空，但由于B不能与C相邻，所以把B插入已经排好的A，C，D，E中时只有3种选择，其排列方法有 种．由分步乘法计数原理知，符合条件的排列方法有
＝36(种).
(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B不相邻．
把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且A，B相邻的排列方法有
(3)方法一(间接法)：先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有
所以满足条件的排列方法有
方法二(直接法)：先排A，B，C，D，E，再将剩余的空位插到中间．①当A，B不相邻时，由(1)知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，由分步乘法计数原理知，其排列方法有6×72＝432(种)；②当A，B相邻时，其排列方法有 种，然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中，欲使A，B不相邻，其插入方法只有1种，故其排列方法有 ×1＝48(种).由分类加法计数原理知，共有432＋48＝480种排列方法．
解决不相邻问题用“插空法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有
(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有
探究4　排列中的定序问题
例6　(1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
若顺序任意，
而顺序一定的排法数占总排法数的
故符合条件的七位数有
(2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻).这样的排列方法有________种(用数字作答).
5个元素无约束条件的全排列有 种排法，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有
解决“定序”问题用“倍缩法”．有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，
然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，
其中只有一个排列是我们需要的，
种满足条件的不同排法．
(1)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有(　　)种参赛方案．(　　)
A．120　　　B．240 C．300　　　D．360
第2类，甲参赛，
可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种排法，然后安排其他三棒，
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有
从位置角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中选2人
其余两棒从剩余4人中选，
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒参赛方案共240(种).
(2)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　)
A．504种　　B．960种 C．1 008种 　D．1 108种
依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10
月1日值班的方案共有
满足甲、乙两人值班安排
在相邻两天且丁排在10月7日值班的方案共有
满足甲、乙两个值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有
因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种).
(3)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　)
A．144　 　　B．120 C．72　　　　D．24
先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把三人带椅子插在这四个位置中，
空
空
空
空
(4)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有(　　)
A．144种　 　B．288种 C．360种　 　D．720种
第1步，将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首诗词进行排列，由于《将进酒》排在《望岳》前面，故不同排法有
第2步，排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，由于第1步中的4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，安排方法有
由分步乘法计数原理知，后六场的排法有12×12＝144(种).
课时总结 核心提炼
排列数两个公式的选取技巧：
(1)排列数的第一个公式 ＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)适用于具体计算及解当m较小时含有排列数的方程和不等式．