人教A版（2019）选择性必修第三册7.1.2 全概率公式 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
7.1.2全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1．了解全概率公式和贝叶斯公式的概念．(重点) 2．掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法．(难点) 3．能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题． 1．通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习，体会数学抽象素养．
2．借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率，提升数学运算和逻辑推理素养.
新课引入
从a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不放回．显然，第一次摸到红球的概率为
那么第二次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
探究点1 全概率公式
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi表示事件
“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R2可按第1次可
能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥
事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法
公式和乘法公式,得
P(R1)
R1
P(R2|R1)
R2
…
R1R2
B2
…
R1B2
P(B1)
B1
R2
…
B1R2
B2
…
B1B2
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
=
×
a+b-1
a-1
+
a+b-1
a
a+b
a
×
=
A=“第一次取到红球” B=“第二次取到红球”
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝
n
i=1
Σ
P(Ai)
P(B|Ai)
例1:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。
解：设A1=“第1天去A餐厅”用餐，B1=“第1天去B餐厅”用餐，
A2=“第2天去A餐厅”用餐,则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，
P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得
P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
解：设B=“任取一个零件为次品”，
Ai=“第i台车床加工”(i=1,2,3),则
Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，
P(B|A1)=0.06,
P(B|A2)=P(B|A3)=0.05,
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525
(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
P(A1|B)
P(A1B)
P(B)
=
P(B)
=
P(A1)P(B|A1)
0.0525
=
0.25×0.06
2
7
=
P(A2|B)
P(A2B)
P(B)
=
P(B)
=
P(A2)P(B|A2)
0.0525
=
0.3×0.05
2
7
=
P(A3|B)
P(A3B)
P(B)
=
P(B)
=
P(A3)P(B|A3)
0.0525
=
0.45×0.05
3
7
=
P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台机床加工所占的比例，称为先验概率，当已知的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自于
第i台机床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
探究点2　贝叶斯公式
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
1
2
3
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
求P(A1|B).
P(A1|B)
P(A1B)
P(B)
=
=
P(A1)P(B|A1)
3
i=1
Σ
P(Ai)
P(B|Ai)
贝叶斯公式
　 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则
P(A1|B)
P(A1B)
P(B)
=
=
P(A1)P(B|A1)
n
i=1
Σ
P(Ai)
P(B|Ai)
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
Bayes公式的使用
我们把事件B看作某一过程的结果，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
而且每一原因对结果的影响程度已知，
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
例2 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
解:设事件A表示“取到的产品为正品”，B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，
P(A|B1)=0.95, P(A|B2)=0.90, P(A|B3)=0.80,
3
i=1
Σ
P(Bi)
P(A|Bi)
P(A)=
=0.2×0.95+0.3×0.90+0.5×0.80=0.86,
P(B1|A)
P(B1A)
P(A)
=
=
P(B1)P(A|B1)
P(A)
0.86
=
0.2×0.95
=0.2209
P(B2|A)
P(B2A)
P(A)
=
=
P(B2)P(A|B2)
P(A)
0.86
=
0.3×0.9
=0.3140
P(B3|A)
P(B3A)
P(A)
=
=
P(B3)P(A|B3)
P(A)
0.86
=
0.5×0.8
=0.4651
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。
例3:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收的信号为0”，则
A=“发送的信号为1”, B=“接收的信号为1”
P(A)=P( A)=0.5,
P(B|A)=0.9,
P( B|A)=0.1,
P(B| A)=0.05,
P( B| A)=0.95,
P(B)=P(A)P(B|A)+P( A)P(B| A)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475
P( B)=1-P(B)=0.525
*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
P( A|B)
=
P( A)P(B| A)
P(B)
0.475
=
0.5×0.05
=
1
19
1．车险中考虑两类投保人的问题.如果假设易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4，不易出事故的人则为0.2,且第一类人占总人口的比例是30%，
(1)那么随机选取一名投保人，他会在一年内出事故的概率是多少？
(2)假设他在一年内出了事故，则他属于易出事故的人的概率为多少？
令A为“他是易出事故者”，A1为“他在一年内出事故”．
第一个问题用全概率公式：
P(A1)＝P(A1|A)P(A)＋P(A1|)P( A)＝0.4×0.3＋0.2×0.7＝0.26.
第二个问题用贝叶斯公式：
全概率公式和贝叶斯公式的使用策略
若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式.　
2.试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为0.85.(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
设A表示“该考生会做这道题”，B表示“该考生选出正确答案”，则
(1)由全概率公式得
＝0.85×1＋0.15×0.25＝0.887 5.
(2)由贝叶斯公式得
课堂小结
1．在运用全概率公式时的已知、未知条件为
(1)划分后的每个小事件的概率，即P(Bi)，i＝1,2，…，n；
(2)每个小事件发生的条件下，A发生的概率，即P(A|Bi)，i＝1,2，…，n；
(3)求解目标是计算A发生的概率，即P(A)．
2．在运用贝叶斯公式时，一般已知、未知条件为
(1)事件B的多种情况中到底哪种情况发生了是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Bj)，j＝1,2，…，n；
(2)事件A是已经发生的确定事实，且已知每种事件B发生条件下事件A发生的概率，即P(A|Bj)，j＝1,2，…，n；
(3)P(A)未知，需要使用全概率公式计算得到．