人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.2超几何分布 课件（共19张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.2超几何分布 课件（共19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-06 20:43:53 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
7.4.2超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1．理解超几何分布及其推导过程； 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 数学抽象、数学建模：超几何分布的概念及应用.
情境导入
在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量．假定一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如何？用怎样的数学模型刻画上述问题？
已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).
P(X＝k)＝ k＝0，1，2，3,4
C4
k
0.08k
(1-0.08)4-k
如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？
X
P
4
3
2
1
0
1.超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝___________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
N—总体中的个体总数
M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
n—样本容量
k—样本中的特殊个体数(如次品数)
2.超几何分布的均值
则p是N件产品的次品率，
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令
是抽取的n件产品的次品率，
np
1.怎样判断一个变量是否服从超几何分布
①总体中含有两类不同的个体；
②不放回地抽取，且无先后顺序；
③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
2.超几何分布与二项分布有什么联系？
一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,
而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.
超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时,每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似表示.
探究点1 超几何分布的辨析
例1下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
【解】 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.
超几何分布的判定
满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成,如男生与女生、正品与次品、优与劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.
探究点2 超几何分布的概率和均值
例2 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．
由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
例3在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝
因此X的分布列为：
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
因此随机变量Y的分布列为：
从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．
解析：由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，
则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝
故至少有一件次品的概率为
已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
次品数服从超几何分布，
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为__________；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E(X)＝__________.
依题意，得甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝
探究点3 超几何分布的综合应用
例4(2021·天津高二期中)某校选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年
级”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望
(1)由已知有P(A)＝
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望为
袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X大于6分的概率．
X的可能取值为5,6,7,8.
故X的分布列为
所以得分大于6分的概率为
P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝
课时小结
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式(*)求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．
7.4.2超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1．理解超几何分布及其推导过程； 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 数学抽象、数学建模：超几何分布的概念及应用.
情境导入
在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量．假定一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如何？用怎样的数学模型刻画上述问题？
已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).
P(X＝k)＝ k＝0，1，2，3,4
C4
k
0.08k
(1-0.08)4-k
如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？
X
P
4
3
2
1
0
1.超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝___________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
N—总体中的个体总数
M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
n—样本容量
k—样本中的特殊个体数(如次品数)
2.超几何分布的均值
则p是N件产品的次品率，
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令
是抽取的n件产品的次品率，
np
1.怎样判断一个变量是否服从超几何分布
①总体中含有两类不同的个体；
②不放回地抽取，且无先后顺序；
③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
2.超几何分布与二项分布有什么联系？
一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,
而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.
超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时,每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似表示.
探究点1 超几何分布的辨析
例1下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
【解】 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.
超几何分布的判定
满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成,如男生与女生、正品与次品、优与劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.
探究点2 超几何分布的概率和均值
例2 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．
由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
例3在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝
因此X的分布列为：
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
因此随机变量Y的分布列为：
从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．
解析：由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，
则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝
故至少有一件次品的概率为
已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
次品数服从超几何分布，
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为__________；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E(X)＝__________.
依题意，得甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝
探究点3 超几何分布的综合应用
例4(2021·天津高二期中)某校选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年
级”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望
(1)由已知有P(A)＝
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望为
袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X大于6分的概率．
X的可能取值为5,6,7,8.
故X的分布列为
所以得分大于6分的概率为
P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝
课时小结
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式(*)求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．