人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.1二项分布 课件（共29张PPT）

7.4.1二项分布
新课程标准解读
核心素养
1.了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
1.数学抽象：伯努利试验及二项分布的概念.
2.数据分析：二项分布的应用.
情境导入
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是中国民间广为流传的一句谚语，从上面的事实来看，这句谚语是很有道理的，下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题.
　　假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团，假定对某事进行决策时，每名谋士决策正确的概率为0.7，诸葛亮决策正确的概率为0.85．现在为某事能否可行而征求每位谋士的意见，并按多数人的意见做出决策．试比较诸葛亮和智囊团决策正确的概率．
伯努利试验
　　我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
n重伯努利试验特征:
1.每次试验在相同的条件下进行；有关事件的概率保持不变；
2.同一个伯努利试验重复做n次;
3.各次试验的结果相互独立;
　　【例】判断下列试验是不是n重伯努利试验：
　　(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面朝上；
　　(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次未中；
　　(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好取出4个白球.
(1)由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验；
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；
(3)依次从中抽取5个球，不是有放回地抽样，每次白球出现的可能性不同，因此不是n重伯努利试验.
二项分布
　　一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，称记作 X~B(n，p)．
事件A发生的概率
事件?A发生的概率
试验总次数
事件A发生的次数
P(X＝k)＝
　　二项分布与两点分布的区别与联系
　　(1)区别：两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种：事件A发生(X=1)或不发生(X=0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次，每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生,试验结果有n+1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次.
　 (2) 均值和方差公式：
两点分布，若X~B(1，p)，则E(X)=p， D(X)=p (1-p).
二项分布，若X~B(n，p)，则E(X)=np， D(X)=np (1-p).
　　(3)联系：二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1的二项分布．
【方法技巧】判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下两个条件：
①在一次试验中只有两种试验结果，而且事件A发生的概率为p，事件?A发生的概率为1－p.
②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数p，事件?A发生的概率都是1－p.
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）
(1）在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　　）
(2）在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　　）
(3）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k）＝ pk(1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.(　　）
(4）两点分布是二项分布的特殊情况．(　　）
2．一个袋中有除颜色外其他都相同的5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止．设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于(　　)
“ξ＝12”的含义是前11次红球出现9次，第12次摸出的球是红球
探究点1　伯努利试验的概率
(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击3次，相当于3次伯努利试验，
故P(A1)＝1－P(?A1)＝
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，
由于甲、乙射击相互独立，
伯努利试验概率求法的三个步骤
判断
分析
计算
依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为伯努利试验
判断所求事件是否需要分拆
就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算
2．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为
则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是(　　)
x
y
o
1
2
2
-2
1
3
由题意，可知质点P左移2个单位，右移3个单位后可到达点(1,0)，因此质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是
3．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5重伯努利试验．
2次准确的概率
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
所求概率为1－P2＝1－0.006 72≈0.99.
(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确．
探究点2　二项分布概率的计算
二项分布和二项式定理之间有什么联系？
(1)二项分布的公式P(X＝k)
k＝0，1，2，…，
n中，若把p看成b，1－p看成a，则有a＋b＝1，
k＝0，
1，2，…，n就是二项定理中(a＋b)n展开式的通项.
(2)根据二项式定理，P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n)＝1可得分布列P(X＝k)满足性质 pk(1－p)k＝1.
Σ
n
k=0
Cn
k
例2(1)(2021·贵州省思南中学高二期末)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝(　　)
(1)因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率
从中取3次，X为取得次品的次数，
P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝
2.口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为(　　）
每次摸球中奖的概率为
由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，
所以3次摸球恰有1次中奖的概率
【方法技巧】
二项分布中需要注意的问题和关注点
(1）当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p.
(2）解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k）＝
必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
探究点3　二项分布的综合应用
与二项分布有关的应用题
例3某校有关研究性学习小组进行一种验证性试验，已知该种试验每次成功的概率为
(1）求他们做了5次这种试验至少有2次成功的概率．
(2）如果在若干次试验中，累计有两次成功就停止试验，求该小组做了5次试验就停止试验的概率．
(1)设5次试验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少成功2次为事件C，
则P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)
(2)该小组做了5次试验后停止，所以前4次有且只有一次成功，且第5次成功．设该事件为D，
可转化为与二项分布有关的应用题
例4甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，
乙队中每人答对的概率分别为 且各人答对正确
与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1）求随机变量ξ的分布列．
(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.
(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，
所以ξ的分布列为
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A发生的概率为：
(2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0，1，2，3，4).
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的概率为
二项分布的均值与方差
(1)如果X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)如果X～B(n，p)服从二项分布，那么E(X)＝ ，D(X)
＝ ．
np
np(1－p)
例5　一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η，
由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则E(ξ)＝25×0.6＝15，
D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是
(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．
(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
1．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则E(η)，D(η)分别是(　　)
A．4和2.4 B．2和2.4
C．6和2.4 D．4和5.6
∵ξ～B(10,0.4)，∴E(ξ)＝10×0.4＝4，D(ξ)＝10×0.4×0.6＝2.4.∵η＝8－ξ，∴E(η)＝E(8－ξ)＝4，D(η)＝D(8－ξ)＝2.4.
2．某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)．
(1)求直方图中x的值；
(2)从学校全体高一学生中任选4名学生，这4名学生中自主安排学习时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)
20
40
60
80
时间
频率/组距
100
0
0.003
0.065
0.025
x
(1)由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得20×(x＋0.025＋0.006 5＋0.003×2)＝1，解得x＝0.012 5.
(2)由频率分布直方图可知，全体高一学生中，自主安排学习时间少于20分钟的学生的频率为20×0.012 5
X的可能取值为0,1,2,3,4，
随机变量X的分布列如下表所示：
课堂小结
1．运用伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等．
2．求二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟记其公式．对于二项分布的解答，采用E(X)＝np，会大大减少运算量．
3．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值公式、方差公式计算．