人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.1变化率问题 课件（共16张PPT）

5.1.1变化率问题
新课程标准解读
核心素养
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念．
1．通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习，培养数学抽象的核心素养.
2．通过求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
牛顿是17世纪的物理巨匠。 有一天，他观察到了一个现象：一辆汽车按照路程与时间的关系： s=t2 向前行驶。
小车1s时走了1m； 2s时走了4m；
3s时走了9m；4s时走了16m；……
小车速度越来越快，显然做了一个变速运动。
4s
1s
2s
3s
5s
6s
1
4
9
16
25
36
第5s到第6s，路程是25m到36m，它的平均速度是多少呢？
一、导入问题情境
5s
6s
25
36
你能求出由5s到5.1s的平均速度吗？由5s到5.01s呢?
1.平均变化率:
二、新知探究
一般地，函数f(x)在区间 [x1 , x2] 上的平均变化率为
注意:（1）平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能不同．
（2）若设?x=x2-x1，?y=y2-y1，则函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率可写为 .平均变化率的实质就是 .
函数值的改变量与自变量的改变量之比
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
?y
?x
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式:
例1　已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
＝4＋Δt.
Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt在1之前．
平均变化率的几何意义
x
y
o
x2-x1
f(x2)-f(x1)
连接函数图象上对应两点的割线的斜率
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
如果用运动员在某段时间内的平均速度V
描述其运动状态，那么：
(1)在0?t?0.5 这段时间里，
(2)在1?t?2 这段时间里，
计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
平均速度不能准确反映该段时间的运动状态.
2.瞬时变化率:
瞬时速度
(1)物体在 的速度称为瞬时速度.
某一时刻
一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为
如果Δt无限趋近于0时，
无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，
这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝
( )
( )
( )
( )
极限
瞬时变化率
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
对函数在x0处的瞬时变化率的理解
(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢，物体在某一时刻的瞬时速度是函数瞬时变化率的物理意义.
(4)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关.
(1)在 ，Δx可正，可负，但不可为0.但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数.
(2)在 中，当Δx趋向于0时， 也趋于一个定值.
例2　如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度．
Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2，
故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s.
①在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
②求出 的表达式后，Δx无限趋近于0，可令Δx＝0，求出结果即可．
一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(1)t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，所以Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)
＝3Δt－(Δt)2，
所以物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，所以Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，
( )
抛物线的切线的斜率
当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0.
x
y
o
P0
P
例3　求抛物线y＝2x2＋4x在点(3,30)处的切线方程．
Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx
∴在点(3,30)处的切线方程为：y－30＝16(x－3)即：16x－y－18＝0.
求抛物线y＝x2＋3在点(2,7)处的切线方程．
Δy＝[(2＋Δx)2＋3]－(22＋3)＝4Δx＋(Δx)2
∴在点(2,7)处的切线方程为：y－7＝4(x－2)
即：4x－y－1＝0.
课时总结
1．平均速度只能粗略地反映物体在一段时间内里的运动状态，并不代表物体在每时每刻的运动情况，但是它是求瞬时速度的基础，瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值．
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．