人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及几何意义 课件（共28张PPT）

5.1.2导数的概念及
几何意义
新课程标准解读
核心素养
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．
1．通过导数概念和导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养．
2．借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.
情境导入
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
水滴沿伞边切线飞出
2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛，中国选手谢震业以19秒88夺冠，这不仅刷新了全国纪录，还创造了新的亚洲纪录．赛后各国教练都在研究他的弯道技术，通过回放录像分析其弯道时的运动方向．这需要求运动曲线在任一点的切线．怎样求曲线的切线？
一、导数的概念
1．函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值 ，即 ＝______________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
?y
?x
?y
?x
2．函数在x＝x0处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
?y
?x
?y
?x
对导数概念的再理解
(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；
(3)导数的实质是一个极限值．
1.已知f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________．
解析：
lim
?x→0
4x
f(x0+x)-f(x0+x-4x)
=4
二、导数的几何意义
导数f '(x)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？
平均变化率表示什么？
表示割线PP0的斜率
当点P(x,f(x))沿着曲线f(x)无限接近于点P0(x0,f(x0)) ，
割线P0P无限接近于一个确定的位置，
这个确定的位置的直线P0T
称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
当点P(x,f(x))沿着曲线f(x)无限接近于点P0(x0,f(x0)) ，
割线P0P无限接近于一个确定的位置，
这个确定的位置的直线P0T
称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
当点P(x,f(x))沿着曲线f(x)无限接近于点P0(x0,f(x0)) ，
割线P0P无限接近于一个确定的位置，
这个确定的位置的直线P0T
称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
当点P(x,f(x))沿着曲线f(x)无限接近于点P0(x0,f(x0)) ，
割线P0P无限接近于一个确定的位置，
这个确定的位置的直线P0T
称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
当点P(x,f(x))沿着曲线f(x)无限接近于点P0(x0,f(x0)) ，
割线P0P无限接近于一个确定的位置，
这个确定的位置的直线P0T
称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
当点P(x,f(x))沿着曲线f(x)无限接近于点P0(x0,f(x0)) ，
割线P0P无限接近于一个确定的位置，
这个确定的位置的直线P0T
称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
割线P0P 的斜率
当 时,k 无限接近函数
y=f(x)在x=x0的导数f '(x0)
导数的几何意义：f '(x)是函数 y=f(x) 在x=x0处切线P0T的斜率.
(1)曲线的切线与割线
①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．
②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想．
(2)曲线的切线与导数
①函数f(x)在x＝x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．
②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝ 在x＝0处有切线，但不可导．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
3
三、导函数
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝________________.
题型一
求函数在某点处的导数
简称：一差、二比、三极限
设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为(　　)
A．(0，－2) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
设点M(x0，y0)，
∴k＝
＝2x0＋1，
令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.
题型二
求曲线的切线方程
[例2]　(链接教科书第70页练习2题)已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x02，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
相应的切线方程为3x－4y＋1＝0.
求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
设切点为Q(a，a2＋1)，
∵在点Q处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)，*
把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．
题型三
导数几何意义的应用
探究1　求切点坐标
例3　已知曲线y＝x2＋6的切线分别符合下列条件，求切点．
(1)平行于直线y＝4x－3；
(2)垂直于直线2x－y＋5＝0.
设切点坐标为(x0，y0)．f′(x)＝
∴过(x0，y0)的切线的斜率为2x0.
(1)∵切线与直线y＝4x－3平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝x02＋6＝10，
即过曲线y＝x2＋6上点(2,10)的切线与直线y＝4x－3平行．
(2)∵切线与直线2x－y＋5＝0垂直，
∴2x0×2＝－1，
即过曲线y＝x2＋6上点
的切线与直线2x－y＋5＝0垂直．
探究2　与曲线的切点相关的问题
例4　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形面积．
(1)y′＝
所以y′|x＝1＝2×1＋1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，
1．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
o
x
y
P
5
点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，
∴f(5)＝－5＋8＝3.
且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.
2.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．0>f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)>f′(xB)>0
o
x
y
B
A
3.李华在参加一次同学聚会时，用如图所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图象可能是 (　)
o
t
h
o
t
h
o
t
h
o
t
h
h0
h0
h0
h0
t0
t0
t0
t0
由于圆口杯是“下细上粗”，则开始饮料高度增加较快，以后饮料高度增加得越来越慢，仅有B符合．
A
B
C
D
1.导数的定义
如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
?y
?x
?y
?x
2.导数的几何意义
曲线y=f(x)在点(x0，y0)的切线斜率为.