人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.通过对六个简单的常用函数的求导，体会导数求解的一般方法以及特殊到一般的思想． 2.掌握基本初等函数的导数公式． 1．数学运算：求简单函数的导数．
2．直观想象：利用导数求曲线的切线．
情境导入
根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
2.算比值：
1.求增量：
3.取极限：
求导数不能每次都求极限，有没有更直接出结果的方法？
如何利用定义求出 y＝c ，y＝x，y＝x2， 的导数？
课堂探究
1 、求函数y=c (c 是常数)的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
c-c
x
=0,
y′=
lim
x→0
y
x
=0,
=
lim
x→0
0
y' = 0 表示函数 y = c 图像上每一点处的切线的斜率都为0．
若 y = c 表示路程关于时间的函数，则 y' = 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
o
x
y
函数 导数
y = c y' = 0
2 、求函数y＝f(x)=x的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
x+ x-x
=1,
y′=
lim
x→0
y
x
=1,
=
lim
x→0
1
o
x
y
函数 导数
y = x y' = 1
y' = 1 表示函数 y = x 图像上每一点处的切线的斜率都为1．
若 y = x 表示路程关于时间的函数，则 y' = 1 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3、求函数y＝f(x)=x2的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
(x+ x)2-x2
=2x+ x,
y′=
lim
x→0
y
x
=2x,
=
lim
x→0
(2x+ x)
函数 导数
y = x2 y' = 2x
o
x
y
y' = 2x 表示函数 y = x2 图像上点(x, y)处的切线的斜率都为2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化．
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 x＜0时，随着 x 的增加，函数 y = x2 减少得越来越慢；当x＞0时，随着 x 的增加，函数 y = x2 增加得越来越快．
4、求函数y＝f(x)=x3的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
(x+ x)3-x3
=3x2+3x· x+( x)2,
o
x
y
y′=
lim
x→0
y
x
=3x2,
=
lim
x→0
(3x2+3x· x+( x)2)
函数 导数
y = x3 y' = 3x2
y'=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5、求函数y＝f(x)= 的导数.
1
x
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
x+ x
1
x
1
-
-
x2+x· x
1
=
y′=
lim
x→0
y
x
-
x2+x· x
1
( )
= ,
=
lim
x→0
1
x2
-
函数 导数
y = y' =-
1
x
1
x2
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
(1)f(x)＝c f′(x)＝0
(2)f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝n·xn－1
(3)f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
(4)f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
(5)f(x)＝ax f′(x)＝axlna
(6)f(x)＝ex f′(x)＝ex
(7)f(x)＝logax f′(x)＝
(8)f(x)＝lnx f′(x)＝
题型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝ ；(4)y＝ ；(5)y＝log3x.
π
3
1
x4
(1)y'＝0
(2)y'＝(5x)′＝5xln 5
(5)y′＝(log3x)′
= ,
1
xln3
(4)y′＝(x )′
3
5
3
5
x
-
2
5
＝
已知 f (x) = cosx，g (x) = x，求适合 f ' (x)＋g'(x) ＝ 0 的 x 的值
f ' (x)=-sinx,g'(x)=1,
f ' (x)＋g'(x) ＝ 0即sinx=1.
表面终边落在y的正半轴
{x｜x＝ ＋2kπ，k∈Z}
π
2
f′(1)＝1，
所以ln a＝1，所以a＝e.
题型二　利用导数公式求切线方程
因为切线与y＝2x－4平行，
即16x－8y＋1＝0.
已知函数 y＝x3－3x，过点 A (0，16) 作曲线 y＝f (x) 的切线，求此
切线方程．
解：点 A (0, 16) 不在曲线上．设切点为 M (x0, y0) ，则有 y0 ＝ x03－ 3x0 ．
因 f '(x0)＝3(x02－1)，故切线的方程为 y－y0 ＝3(x02－1)(x－x0) ．
点A (0, 16)在切线上，则有16－(x03－ 3x0) ＝3(x02－1)(0－x0) ．
化简得 x03 ＝－8，解得 x0 ＝－2．
所以，切点为M (－2, －2)，切线方程为 9x－y＋16＝0．
过点要设切点，切点满足已知函数解析式，切点满足切线方程。
设切点为(x0，lnx0)，
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1.
y′|x＝x0＝ ＝1，
1
x0
x0＝1，
所以切点为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.
题型三　导数的综合应用
例3(链接教科书第75页例2)(1)质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝ 时的速度为________；质点运动的加速度为________；
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
(1) v(t)＝S′(t)＝cos t，
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
(2)由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
由y＝ex得y′＝ex，曲线在点(0，1)处的斜率k1＝e0＝1，
设P(m，n)，
由题意知k1k2＝－1，所以k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，
即点P的坐标为(1，1)，k2＝－1.所以点P处的切线方程为x＋y－2＝0.
设曲线 y＝xn＋1(n∈N*) 在点(1, 1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则 a1＋a2＋…＋a99 的值为________．
∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，y′ | x＝1＝n＋1.
∴曲线在点(1, 1)处的切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y=0，
xn=
n+1
n
故an＝lg n－lg (n＋1)．
∴a1 ＋ a2 ＋…＋ a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．