12.1　复数的概念 学案

12．1　复数的概念
探究点1　复数的概念
下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
【解析】　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．
【答案】　D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
[提醒]　解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．　
对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
解析：选C．对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.故选C．
探究点2　复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？
【解】　(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.　
1．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1　 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C．复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故选C．
2．复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i (其中a∈R).
(1)若复数z为实数，求a的值；
(2)若复数z为纯虚数，求a的值．
解：(1)因为复数z为实数，所以a2－3a－4＝0，所以a＝－1或a＝4.
(2)因为复数z为纯虚数，所以所以a＝2.
探究点3　复数相等
(1)已知2x－y＋1＋(y－2)i＝0，其中i为虚数单位，求实数x，y的值；
(2)已知(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，其中i为虚数单位，求实数x，y的值．
【解】　(1)因为2x－y＋1＋i＝0，
所以解得
(2)由(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i得解得
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
[注意]　在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．　
1．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
解析：因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
答案：5
2．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以即
所以a＝－1.
1．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有(　　)
A．b＝0　 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
解析：选B．z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：选D．因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝____________．
解析：因为z＜0，所以解得m＝－3.
答案：－3
4．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．
解析：因为x∈R，所以∈R.
由复数相等的条件得
解得x＝3.
答案：3
[A　基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　)
A．1－i　　 B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
解析：选A．－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
2．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则　(　　)
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
解析：选B．因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B．由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．下列四个复数中，实部大于虚部的是(　　)
A．1＋2i B．1＋i
C．i2－2i D．2i
解析：选C．复数1＋2i的实部为1，虚部为2，实部小于虚部；
复数1＋i的实部与虚部相等，都是1；
复数i2－2i＝－1－2i的实部为－1，虚部为－2，实部大于虚部；
复数2i的实部为0，虚部为2，实部小于虚部．
故选C．
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A．在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A．
6．设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，则a＋bi＝________．
解析：由2＋ai＝b－3i，得a＝－3，b＝2，则a＋bi＝－3＋2i，故答案为－3＋2i.
答案：－3＋2i
7．下列命题中，真命题的个数是________．
①实数集与虚数集的交集是{0}；
②若x2＋y2＝0且x，y∈C，则x＝y＝0；
③若z＝1－2i，则复数z的虚部是2.
解析：①实数集与虚数集的交集是空集，所以①是假命题；②当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0同样成立，所以②是假命题；③复数z的虚部是－2，所以③是假命题．故真命题的个数为0.
答案：0
8．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．
解析：因为z为虚数，所以log(3－m)≠0，
故解得－1答案：(－1，2)∪(2，3)
9．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)若复数z是实数，求实数m的值；
(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；
(4)若复数z是0，求实数m的值．
解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
所以m＝5或m＝－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．
所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
(3)当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
(4)当时，复数z是0，所以m＝－3.
10．已知a是实数，b是纯虚数，且满足ai－b＝3＋bi，求a2＋b2的值．
解：设b＝xi，x∈R且x≠0，则ai－xi＝3＋xi2，即(a－x)i＝3－x，
所以解方程组，得那么a2＋b2＝32＋(3i)2＝0.
[B　能力提升]
11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．因为1－a＋a2＝＋＞0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数，故选B．
12．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是(　　)
A．若a≠0，则ai是纯虚数
B．虚部为－的虚数有无数个
C．实数集在复数集中的补集是虚数集
D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
解析：选BCD．对于A，若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；对于B，虚部为－的虚数可以表示为m－i(m∈R)，有无数个，故B正确；根据复数的分类，判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确．故选BCD．
13．已知sin θ＋icos θ＝－i，θ∈[0，2π]，则θ＝________．
解析：因为sin θ＋icos θ＝－i，故
又θ∈[0，2π]，故θ＝.
故答案为.
答案：
[C　拓展探究]
14．已知复数z＝m2＋3m＋1＋(m2＋5m＋6)i<0(m∈R)，则m的值为________．
解析：因为z<0，所以z∈R，
所以m2＋5m＋6＝0，
解得m＝－2或m＝－3.
当m＝－3时，z＝1>0，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．
故m的值为－2.
答案：－2
15．实数m为何值时，复数z＝＋i是：
(1)纯虚数？
(2)等于3＋6i
(3)复数z≤0
解：(1)由题意可得解得m＝3.
(2)由复数相等可得解得m＝6.
(3)解得m＝5.