第2课时 复数的乘方与除法运算
探究点1 复数的乘方运算
设ω＝－＋i，求证：
(1)1＋ω＋ω2＝0；
(2)ω3＝1.
【证明】 (1)因为ω2＝(－＋i)2＝－i－＝－－i，
所以1＋ω＋ω2＝1＋(－＋i)＋(－－i)＝0.
(2)ω3＝ωω2＝(－＋i)(－－i)＝(－)2－(i)2＝＋＝1.
复数的乘方运算，主要是根据复数的乘法进行计算，需要注意(1±i)2＝±2i 等类似结论．
1．已知a，b∈Z，复数z＝a＋bi满足z3＝－2＋2i，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．z3＝(a＋bi)2(a＋bi)＝(a2－b2＋2abi)(a＋bi)＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i＝－2＋2i，所以①＋②得，a3－3ab2＋3a2b－b3＝0，即(a－b)3＝0，所以a＝b，即3a3－a3＝2，所以a＝1，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2，故选B．
2.＝( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
解析：选C．3＝2×
＝×＝－－＝－1，
故选C．
探究点2 复数的除法运算
计算：
(1)；
(2).
【解】 (1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＝＝＝
＝＝＝1－i.
解决复数的除法运算问题的思路
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
1.＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
解析：选D．＝＝＝＝－＋i，故选D．
2．计算：(1)＋；(2).
解：(1)＋＝＋＝i－i＝0.
(2)＝
＝＝＝＝－1＋i.
探究点3 在复数集内解方程
已知复数z＝＋1＋i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的值．
【解】 (1)因为复数z＝＋1＋i＝＋1＋i＝1－2i＋1＋i＝2－i，
所以＝2＋i.
(2)因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，
所以(2－i)2＋m(2－i)＋n＝0，
所以4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，所以(3＋2m＋n)－(m＋4)i＝0，
所以解得m＝－4，n＝5.
实系数的一元二次方程的虚数根是成对出现的，并且两根互为共轭复数．
关于x的实系数方程x2－ax＋ab＝0.
(1)设x＝1－i(i是虚数单位)是方程的根，求实数a，b的值；
(2)证明：当>时，该方程没有实数根．
解：(1)因为x＝1－i是方程的根，所以1＋i也是方程的根，
由根与系数的关系得1－i＋1＋i＝a，
＝ab，
解得a＝2，b＝2.
(2)证明：因为>，
所以－＝>0 4a>0 4ab－a2>0，
所以Δ＝a2－4ab<0，
所以原方程无实数根．
1．复数(i为虚数单位)的虚部是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：选B．因为＝＝
－＝＝i，所以虚部是1，故选B．
2．设z＝，复数z的共轭复数＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D．因为z＝＝＝＝＝＝－1＋i，
因此＝－1－i.故选D．
3．已知＝a＋3i，则a＝( )
A．－2＋3i B．2－3i
C．2＋3i D．－2－3i
解析：选D．由题知a＝－3i＝－3i
＝－3i＝－2－3i.故选D．
4．计算：
(1)＋；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i).
解：(1)＋＝＋
＝i(1＋i)＋＝－1＋i＋(－i)1 009
＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
[A 基础达标]
1．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i) B．i(1－i)2
C．i2(1＋i)2 D．i＋i2＋i3＋i4
解析：选C．对于A，i(1＋i)＝i－1不是纯虚数；对于B，i(1－i)2＝－2i2＝2是实数；
对于C，i2(1＋i)2＝－2i为纯虚数；对于D，i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0不是纯虚数．
故选C．
2．若复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则( )
A．2z2－2z－1＝0 B．2z2－2z＋1＝0
C．z2－2z－2＝0 D．z2－2z＋2＝0
解析：选D．因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝2i，2z＝2(1＋i)＝2＋2i，
所以z2－2z＋2＝0.故选D．
3．设i是虚数单位，则2 020＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析：选C．由于＝＝＝－i，
所以2 020＝2 020＝4×505＝1.
故选C．
4．已知复数z＝，则复数z的共轭复数＝( )
A．－＋i B．－＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选C．因为z＝＝＝－1＝－1＝－1＋i，所以＝－1－i.
故选C．
5．已知1＋i是关于x的方程 ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
解析：选A．实系数的一元二次方程的虚根成对(互为共轭复数)出现，所以1±i为方程两根，1＋i＋1－i＝－，(1＋i)(1－i)＝，所以a＝1，b＝－2，a＋b＝－1，故选A．
6．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z＝________．
解析：依题意，得z＝＝i，所以＝－i，所以
z＝i·(－i)＝1.
答案：1
7．计算：＋＝________．
解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以＋
＝＋
＝＋＝＋i＝2i.
故答案为2i.
答案：2i
8．已知＝(x＋yi)i(其中i是虚数单位，x，y∈R)，则x＋y＝________．
解析：因为＝(x＋yi)i，所以＝＝－i＝(x＋yi)i＝－y＋xi，
所以即
所以x＋y＝－.故答案为－.
答案：－
9．计算：(1)i2 021＋(＋i)8－50＋；
(2)＋.
解：(1)i2 021＋(＋i)8－50＋
＝i4×505＋1＋4－25＋
＝i＋4－25＋＝i＋256－＋i＝256＋3i.
(2)＋＝＋3－i＝2－i＋3－i＝5－2i.
10．已知复数z＝1＋mi(m∈R)，是实数．
(1)求复数z；
(2)若复数z0＝m＋z－1是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的根，求实数b和c的值．
解：(1)因为z＝1＋mi(m∈R)，
可得＝＝＝＋i，
由是实数，可得＝0，解得m＝－4，所以z＝1－4i.
(2)因为z0＝m＋z－1＝－2－4i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的根，
所以(－4i－2)2＋b(－4i－2)＋c＝0，即(16－4b)i－2b＋c－12＝0，
可得解得b＝4，c＝20.
[B 能力提升]
11．下面是关于复数z＝的四个结论，其中正确的是( )
A．z＝1＋2i B．z2＝3－4i
C．z－1为纯虚数 D．z的共轭复数为1－2i
解析：选C．因为z＝＝＝＝1－2i，
所以其共轭复数为＝1＋2i，z2＝1＋4i2－4i＝－3－4i，z－1＝－2i.故选C．
12．计算()2 021＋()2 021＝( )
A．－2i B．0
C．2i D．2
解析：选B．因为＝＝＝i，＝－i，
所以()2 021＋()2 021＝(i4)505·i＋[(－i)4]505·(－i)＝i－i＝0.故选B．
13．设z＝，f＝x2－x＋1，则f＝( )
A．i B．－i
C．－1＋i D．1＋i
解析：选A．因为z＝，所以z＝＝＝－i.
因为f＝x2－x＋1，所以f＝2－＋1＝i，故选A．
[C 拓展探究]
14．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A． B．
C． D．
解析：选BC．根据题意，在M＝{m|m＝in，n∈N*}中，当n＝4k时，in＝1；
当n＝4k＋1时，in＝i；当n＝4k＋2时，in＝－1；
当n＝4k＋3时，in＝－i，所以M＝.
选项A中，＝2 M；选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；选项D中，2＝－2i M.故选BC．
15．已知ω＝－＋i(i为虚数单位)，求：
(1)2＋2；
(2)ω2＋；
(3)类比i，探讨ω(ω3＝1，ω为虚数)的性质，求ωn的值．
解：(1)因为ω＝－＋i，
所以ω2＝－－i＝，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω·＝1，
所以＋2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋ω4
＝5ω2＋5ω＋8＝3.
(2)ω2＋＝＝＝＝－1.
(3)由(1)可知ω2＝－－i＝，ω3＝1，
所以ωn＝12．2 复数的运算
第1课时 复数的加、减和乘法运算
探究点1 复数的加、减法运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
解决复数加(减)运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
(3)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R).
解：(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
(3)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
探究点2 复数的乘法运算
计算：
(1)(－8－7i)(－3i)；
(2)(4－3i)(－5－4i)；
(3)(1＋i)；
(4)；
(5)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i).
【解】 (1)(－8－7i)(－3i)＝24i＋21·i2＝－21＋24i.
(2)(4－3i)(－5－4i)＝－20－16i＋15i＋12·i2＝－32－i.
(3)(1＋i)＝－－i＋i＋·i2＝－＋i.
(4)＝－i＋·i2＋－i＝－－i.
(5)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i＋i－i2－1＋i＝1＋i.
解决复数乘法运算问题的思路
复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.
计算下列各式的值．
(1)(1－2i)(2＋i)(3－4i)；
(2)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R.
解：(1)根据复数的乘法运算法则，展开化简可得
(1－2i)(2＋i)(3－4i)＝(2＋i－4i－2i2)(3－4i)
＝(4－3i)(3－4i)＝12－16i－9i＋12i2＝－25i.
(2)根据复数的乘法运算法则，展开化简可得
(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4.
探究点3 共轭复数
(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
(2)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z.
【解】 (1)选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
由复数相等的条件知，得a＝2，b＝1，
所以z＝2＋i.
共轭复数性质的巧用
(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(2)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
已知z∈C，z－为z的共轭复数，若z·z－－3iz－＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有
解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：选C．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.
2．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B．因为(x－i)i＝y＋2i，所以1＋xi＝y＋2i，
所以y＝1，x＝2，所以x＋yi＝2＋i.
3．i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．0或1
解析：选C．因为(1＋mi)(1＋i)＝(1－m)＋(1＋m)i是纯虚数，所以即m＝1，故选C．
4．z＝的共轭复数为( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
解析：选D．因为z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以＝3－i.故选D．
[A 基础达标]
1．(3＋4i)＋(1－2i)＝ ( )
A．4＋2i B．4－2i
C．1＋4i D．1＋5i
解析：选A．(3＋4i)＋(1－2i)＝＋i＝4＋2i.故选A．
2．若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z的值为( )
A．－2＋10i B．－1＋5i
C．－4＋10i D．－1＋10i
解析：选A．因为z＋5－6i＝3＋4i，所以z＝3＋4i－＝－2＋10i，故选A．
3．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别为( )
A．3，－2 B．3，2
C．3，－3 D．－1，4
解析：选B．由题意可知(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，即a，b的值分别为3，2.故选B．
4．计算(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
解析：选B．＝2－1＋3i＝1＋3i，选B．
5．若复数z满足3z＋＝－4＋2i，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选D．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则3z＋＝3(a＋bi)＋a－bi＝4a＋2bi＝－4＋2i，所以a＝－1，b＝1，故z＝－1＋i.故选D．
6．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：因为(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i，令a－2＝0得a＝2.
答案：2
7．已知复数z＝＋i，z的共轭复数为，则z＝________．
解析：复数z＝＋i的共轭复数为＝－i，所以z＝(－i)＝＋＝1.故答案为1.
答案：1
8．(1)计算：＋(2－i)－；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
解：(1)＋(2－i)－(－i)＝(＋2－)＋(－1＋)i＝1＋i.
(2)因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝－＝4＋i.
9．已知复数z与－8i都是纯虚数，求复数z.
解：因为复数z为纯虚数，所以设z＝bi(b∈R且b≠0)，
则－8i＝－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i，
由于－8i是纯虚数，所以得b＝－2，所以z＝－2i.
[B 能力提升]
10．已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，若3－2i＝mz1＋nz2，则mn＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D．因为z1＝1＋i，z2＝1－i，则mz1＋nz2＝m(1＋i)＋n(1－i)＝(m＋n)＋(m－n)i＝3－2i，
所以解得m＝，n＝，从而mn＝.故选D．
11．已知i是虚数单位，复数(1－2i)2的共轭复数的虚部为( )
A．4i B．3
C．4 D．－4
解析：选C．因为(1－2i)2＝－3－4i，所以复数(1－2i)2的共轭复数为－3＋4i，因此虚部为4，故选C．
12．若z1＝2－3i，z2＝3＋2i，则( )
A．z1＋z2的实部为1 B．z2＝iz1
C．z1＋z2的虚部为1 D．z2＝－iz1
解析：选B．因为z1＝2－3i，z2＝3＋2i，
所以z1＋z2＝5－i，所以z1＋z2的实部与虚部分别为5，－1，所以A，C选项错误．
因为iz1＝3＋2i，所以z2＝iz1，所以B正确，故选B．
[C 拓展探究]
13．(多选)若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ的值可能是( )
A．0 B．
C．π D．
解析：选BD．因为z2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，
所以cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，所以2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以θ＝kπ＋(k∈Z)，
令k＝0，得θ＝，令k＝1，得θ＝，故选BD．
14．(1)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.
①当a＝1时，求z12的值；
②若z1－z2是纯虚数，求a的值；
(2)若复数z1满足(z1－2＋i)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.
解：(1)①当a＝1时，z12＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i.
②由题意z1－z2＝(a－1)＋2i为纯虚数，则a－1＝0，所以a＝1.
(2)由已知，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则(z1－2＋i)(1＋i)＝(x＋yi－2＋i)(1＋i)＝x－y－3＋(x＋y－1)i＝1－i，
所以解得所以z1＝2－2i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝2(1－i)(a＋2i)＝2[a＋2＋(2－a)i]，
因z1z2是实数，所以2－a＝0，即a＝2，所以z2＝2＋2i.
